地震总输入能量谱峰值估计

李亚楠，王国新

(大连理工大学建设工程学部工程抗震研究所，辽宁大连116024)

随着结构抗震理论研究的深入，目前对结构地震破坏比较一致的看法是:基于最大位移反应首次超越和塑性累积损伤的双重破坏准则比较符合震害和试验实际。基于能量的抗震设计理论把地震作用看成是一种能量的传递、转化与耗散的过程，该方法概念清晰，形式简单，能够同时反映出地震动强度、频谱和持时方面的特征，因此正日益朝着实用化设计的方向发展。

基于能量抗震设计方法的总体思路是使结构的耗能能力大于地震波输入的能量。结构耗能能力的计算实际上是滞回耗能的计算，目前大多采用简化方法，如推覆分析算法、模态分析算法等［1-3］。而在地震输入能方面，一部分研究致力于建立瞬时输入能与最大位移的关系［4-6］，试图通过采用能量和位移双参数对结构进行抗震设计与评估;另一部分研究则专注于地震动输入能的估计和输入能谱的建立上，希望以单自由度(single degree of freedom，SDOF)体系的地震输入能来表示多自由度(multi-degree of freedom，MDOF)体系的地震输入能［7-11］。然而，对于指定的结构，地震动的特性是影响地震输入能量的主要因素，一些学者也试图在地震动与输入能之间建立直接的简化关系。目前已有的研究表明，对于SDOF体系的地震输入能，线性系统与非线性系统的差别不大［12-13］，对特定的地震动过程而言，输入能是一个相对稳定的量［14-15］，这说明该地震动对不同周期结构的输入能最大值也是个相对稳定的量。因此，在地震动过程中，有可能存在某种与能量谱峰值相关性很强的特定参数。

虽然之前研究人员从场地条件和结构特性等方面对能量谱的影响因素做了许多研究，但研究并不深入。本文在已有研究滞回模型对SDOF体系输入能影响时发现，当选用若干条持时大致相当、且将峰值加速度(peak ground acceleration，PGA)统一调整到400 cm/s2后的地震时程来计算地震动能量时，所得到的这些地震动能量谱曲线的峰值有较大的差别。为深入研究造成此现象的原因，并进一步分析和探究能量谱与地震动输入之间的关系，本文从傅里叶幅值谱的角度，探究了地震动输入能量谱峰值与地震波频谱之间的关系，用以建立简化的计算方法。通过选取其他未参与统计的地震时程验证了本文提出方法的有效性。

1 问题的描述

1.1 能量方法基本概念

SDOF体系在地震作用下的运动学方程为

式中:m是SDOF体系的质量;c为体系的粘滞阻尼系数;k是体系的刚度，对弹性SDOF体系，k是常数，对弹塑性SDOF体系，k由滞回模型定义;x分别是体系相对于地面的位移、速度和加速度;为地面运动的加速度。对式(1)用相对位移x积分，可得到结构的相对能量方程:

也可表示为

为了消除结构质量的影响，可令

即

式中:VI称为总输入能的等价速度。一般情况下均以VI表示能量值大小。在进行能量求解时，取适当的时间步长Δt，对式(2)进行微分方程逐步积分，可得到各时刻结构反应的结果。以结构初始周期作为横坐标，各周期下时程中的最大输入能值作为纵坐标，就得到输入能谱。

1.2 能量谱计算

为减少由于不同地震间的差别对分析结果的影响，本文从美国西部强震数据库中选取了一次地震中(面波震级MS=8.1，1985年9月19日)在15个台站记录到的29条水平方向地震时程作为分析样本，这些地震动时程记录均是在Ⅰ类自由场地上(详细信息见表1)所获取。为区分持时、PGA与其他主要因素对结果的影响，本文所选用的这29条地震动持时均在40～60 s。同时，将29条地震动的PGA统一调整为400 cm/s2。虽然基于能量的抗震设计方法不同于基于力与位移方法的重要一点是加入了持时的影响，然而持时主要影响滞回耗能而对总输入能影响较小［16］，可近似认为排除了持时对能量谱的影响。根据上节阐述的能量方程，用MATLAB编制了计算弹塑性SDOF体系能量的程序，取结构的滞回模型为双线型，第二刚度系数取0.1，阻尼比取 0.05，用VI谱方式来表示能量谱［15］。

图1 12条地震动时程VI谱Fig.1 VIspectrum of 12 records

为了图示清晰便于判别，图1是输入能峰值前6条和后6条共12条地震动的VI谱曲线。可以明显看出，在相同的场地条件，且PGA相同、持时相差不大的情况下，VI谱出现了巨大差异。其他未绘出的地震动VI谱曲线与这12条VI谱的变化趋势相同，但分布均位于图1的中部。本文认为，该差异与地震波峰值速度(peak ground velocity，PGV)和峰值加速度比值(PGV/PGA)有较大的相关性，与震中距的关系并不突出。

表1 29条地震记录Table 1 29 Earthquake records

2 VI谱差异的探讨

2.1 地震波傅里叶加速度幅值谱

由上节可以看出，在一次地震中，在相同场地条件但不同台站记录的地震动在PGA相同、持时相当的情况下，VI谱曲线在一定频段出现了数倍的差异，这种现象比较常见。为深入探究这一现象的产生原因，本研究首先采用MATLAB对各地震动时程做离散傅里叶变换，然后取变换后复数实部和虚部的平方和作为幅值，得到傅里叶加速度幅值谱(以下简称幅值谱)。为了更进一步清楚地对比和观察，这里仍采用上节的12条地震动时程，并对每条时程进行线性插值，使采样间隔为0.005 s。根据奈奎斯特采样频率，在200 Hz的采样频率下，可以记录到的最大频率为100 Hz。因此，计算每条地震动从0～100 Hz的幅值谱，计算结果如图2所示。从图2中可以看出，前6条地震动的频率比较集中且主要在低频处，而且幅值谱较大。后6条地震动的频率分布则较分散，且幅值谱较小。

图2 12条地震波的傅里叶幅值谱Fig.2 Fourier spectrum of 12 records

2.2 VI谱峰值参数与公式的建立

从图2可以推断VI谱极值与幅值谱的低频集中程度和幅值大小有较强的相关性。经过多次的尝试，本文最终选定地震加速度时程的幅值谱集中度乘以幅值谱最大值作为衡量VI谱的参数。计算公式如下

式中:α0-f表示VI谱峰值的参数;P0-f是0～1的数，代表了幅值谱的集中度;M是0～100 Hz的幅值谱最大值;S0-f表示幅值谱在0～fHz的谱值和;T表示幅值谱在0～100 Hz的谱值总和。

f取不同的值，可以得到不同的α值。为保证分析结果的稳定性和可靠性，本文在上节所用的29条地震时程的基础上，又增加I类场地条件下自由场地的40条共计69条地震时程作为基础数据库。表2列出了用选取的69条地震时程计算得到的VI谱极值VImax和不同f下的α0-f的Pearson相关性系数。当取幅值谱0～10 Hz区间上的值作为计算参数时，α与VImax具有最大相关性。

图3所示为VImax和α0-10的拟合关系图。图中显示随α0-10的增加，VImax呈现出线性增长趋势。采用线性拟合，可以得到下式:

式中，VImax的单位为m/s。

表2 α0-f与VI max谱峰值Pearson相关系数Table 2 Pearson correlation coefficient of α0-fand VI max

图3 VImax-α0-10曲线Fig.3 Fitting relationship of VImaxand α0－10

3 方法验证

为了验证本文提出的参数的有效性，从强震数据库中另外选出9条来自不同国家和地区、具有明显区域性特征的地震动时程，用传统的能量计算方法以及本文建议的简化模型(式(7))分别估计其VI谱峰值。

表3 VI谱峰值时程计算与简化计算的比较Table 3 Comparison of peak value of VIspectrum using dynamic analysis versus simplified method

这里所有地震时程均调整为采样间隔为0.005 s且PGA为400 cm/s2。在任意 PGA下的VI谱峰值可以根据相对能量方程进行换算得出，即能量峰值增大倍数为PGA增大倍数的平方。表3给出了9条地震动VI谱峰值时程计算结果与简化计算结果，可以看出，本文建议的方法具有与时程计算结果相同的趋势，并且可忽略持时影响，即使在地震动区域性特征突出的情况下，可以简便地估计出地震动VI谱峰值。相对于方法的计算效率，该估计量的误差较小，而且结果也偏于安全。

4 结论

通过SDOF体系建立能量谱对基于能量的抗震设计方法具有深远的意义。本文总结了过去研究过程中的现象和疑问，从地震波频谱分布的角度观察了影响能量谱峰值的主要因素。该方法避免了复杂的时程计算，为进一步研究基于能量概念的抗震设计提供参考。研究结果可以得出以下结论:

1)对于指定结构，经历相同场地条件、相同PGA和相同持时的地震波后，得到的能量谱可能有巨大差异。是抗震设计挑选地震波时，应格外注意的问题。

2)地震波傅里叶幅值谱的低频集中度越高，峰值越大，得到的VI谱峰值越大。说明了地震波频谱特性的重要性。

3)地震波VI谱峰值参数中，α0-10和VI谱峰值具有最大相关性。该关联性呈线性关系，可以方便的计算出VI谱峰值，结果偏于安全。

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