再谈数列不等式的解决策略

安徽省六安市金安区教育局 (邮编：237000)

文[1]从证明的视角阐述了解答题中数列不等式的一些经典证法，所选例题具有很好的代表性，所选方法具有普适性、思想性，方法的分析简明而深刻，笔者读后很受启发，也引发了笔者对数列不等式问题的进一步思考：实际上，数列不等式问题并非只有证明这一类问题，求解型数列不等式问题也占有一席之地，有时甚至较证明型问题更加难以解决，原因主要是求解型数列不等式一般没有明确的解题目标，需要深入地探索，对学生的知识与经验形成极大的挑战；至于数列不等式的证明也绝非只有文[1]所提供的这几种证法. 文[1]在以上问题上没有涉及，作为对文[1]的补充，本文以近三年全国及各省部分数列解答题为例，对以上问题作分析与总结，供大家参考.

1 注重不等式知识运用

(Ⅰ)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

(Ⅲ)若a1，a2，…，ak成等差数列，且a1+a2+…+ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…，ak的公差.

因q>1，故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2qn-2>0.

对于不等式qn+1-3qn+2≤0，令n=1，得1≤q≤2，当1

故qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0，

故1

2 注重分析法分析功能

例2(2012重庆卷理21)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0.

(Ⅰ)求证：{an}是首项为1的等比数列；

(*)

当a2=1时，上式等号成立.

评注上述证明过程中，想到

3 注重等价转化思想运用

例3(2012安徽卷理21)数列{xn}满足n∈N*.

(Ⅰ)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；

(Ⅱ)求c的取值范围，使{xn}是递增数列.

分析数列单调性最常用的判断方法是定义，而定义本身具有充要性，即等价性.

所以用等价转化可以减小本题难度.

略解(Ⅱ)当数列{xn}是单调递增数列时，xn+1>xn≥x1=0恒成立.

xn+2-xn+1=-(xn+1-xn)(xn+1+xn-1)>0

⟺xn+1+xn-1<0.

知xn+1+xn-1<0成立；

4 注重高等数学知识背景

例4(2014重庆卷理22)设

(Ⅰ)若b=1，求a2、a3及数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若b=-1，问：是否存在实数c使得a2n

分析“存在型”问题一般都应从假设结论成立开始考虑(即考虑结论成立的必要条件)，先用特殊情况把待求值“逼”出来，但考虑本题中的递推式较复杂，不可能求出通项，因此，只能考虑极限(不等式两边都是项，且相邻)两边夹出c.

下面可用数学归纳法证明加强命题：a2n

评注本题中的c来自于下列极限思想：若a2n

例5(2014安徽卷理21)设实数c>0，整数p>1，n∈N*.

(Ⅰ)证明：当x>-1且x≠0时，(1+x)p>1+px；

(Ⅱ)数列{an}满足

5 注重间接放缩法的使用

例6(2012广东卷理19)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列.

(Ⅰ)求a1的值；

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；

分析(Ⅲ)中的不等式右边是常数，无法实现归纳递推，所以数学归纳法不好使用(但并不是不能使用，只是技巧性强)，本题使用了特殊的放缩法.

略解(Ⅲ)因为an=3n-2n=3(3n-1-2n-1)+(3·2n-1-2n)=3an-1+2n-1

评注间接放缩主要采取一种整体思维，本题中Sn的范围不是直接放缩出来的，而是将Sn当成整体，通过“递推式放缩”得到关于Sn的不等式，进而解出要证的不等式.

这种“递推式放缩”可以有效解决“和式小于常数”的不等式，弥补数学归纳法不足.

6 注重利用数列的函数性

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

分析本题以函数为背景，考查数列问题. 但(Ⅱ)中到底要用函数的哪个形式，需要结合待证不等式从单调性中自行寻找.

评注借助函数不等式证明数列不等式，其关键还是找到合适的函数，以及选取此函数合适的特殊情形，两者缺一不可. 如何能够有效地做到呢？笔者认为，积累解题经验和善于分析待证数列不等式特征是不可或缺的.

故fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0，由第(Ⅰ)问知fn+1(x)在(0,+∞)上递增，

得xn+1

①

②

评注本题方法充分体现了回归定义的重要性. 实际上，广大考生曾绞尽脑汁试图想出妙法都未成功. 当然，成功整理“和式”并利用有界性放缩也是关键一步.

5 结语

从以上几例的分析、评注可以看出，数列不等式由于具有数列和不等式的“二重性”，因而其解决方法应与二者息息相关. 如，数列是特殊的函数，因而函数的一切方法都可以考虑应用于数列不等式：单调性、有界性、极限、零点、不动点等；数列与正整数有关，因而数学归纳法、递推、迭代等也可使用；数列有通项公式、前n项和公式，因而通项分析、前n项和分析也是必备手段. 至于不等式，有基本性质、重要不等式模型等，它又可以营造出千变万化的不等式技巧，如传递性就是放缩法的理论依据；不等式既可求解也可证明，它们的方法又可以迁移到数列不等式中来，如分析法，等等. 总之，以上只是结合近三年高考考题作了一番梳理，实际上，数列不等式类型多种多样，其解决策略亦多种多样，有时呈现单一性，有时呈现复合性，相信它还会随着高考新题的出现继续演绎着更迷人的精彩.

1 章政权.例说数列不等式的证明[J]. 中学数学教学，2014(4)：45-48