对一类高考题目的研究

山东省宁阳一中 (邮编：271400)

1 函数的性质应用

例1(2014年天津卷理20)已知函数f(x)=x-aex(a∈R)，x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x1、x2，且x1

(Ⅰ)求a的取值范围；

(Ⅲ)证明：x1+x2随着a的减小而增大.

(Ⅲ)证明略.

2 函数的性质应用

(Ⅰ)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.

解(Ⅰ)略；

3 函数y=xex的性质应用

例3(基于函数性质的原创题目)已知函数

(1)若x>0时，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围；

(2)讨论f(x)-g(x)=0零点的个数．

4 函数的性质应用

例4(2014年湖北卷理22)π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.

(Ⅱ)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数.

(Ⅲ)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

当00，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)．

故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.

①

综上可得，3e

5 函数的性质应用

(1)若h(x)=f(x)+g(x)在(1,+∞)内为减函数，求实数a的取值范围；

(2)若存在x1、x2∈(1,e2]，使得f(x1)≤f′(x2)-g′(x2)成立，求实数a的取值范围．

解所以因为x∈(1,+∞)，所以lnx∈(0,+∞)，则(0,∞)，所以时，故

(2)“存在x1、x2∈(1,e2]，使得f(x1)≤f′(x2)-g′(x2)成立”等价于“x1、x2∈(1,e2]时，f(x1)min≤(f′(x2)-g′(x2))max”．

设u(x)=f′(x)-因为x∈(1,e2]，所以∞)，当时，即所以故

6 函数y=xlnx的性质的应用

(Ⅰ)求a、b；

(Ⅱ)证明：f(x)>1．

(Ⅰ)解函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

由题意可得f(1)=2，f′(1)=e．

故a=1,b=2．

综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1． 同一个地区的历年高考题目一般都保持了连续性、稳定性的特点，所以通过研究高考题目，我们积极地加以分析，进行举一反三的拓展，在增强高考预测能力的同时，还可使学生跳出题海，对提高高考应试能力大有裨益。