2014年高考数学安徽卷理科第14题亮点赏析

湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 (邮编：430312)

好的试题不一定总能吸引读者的关注，尤其是那些看似平淡的试题，它们没有华丽的外衣，不张扬，很多时候容易被我们忽略，可当我们静心思考，细细品味，有时会有不少意想不到的发现与感悟.

这是2014年高考数学安徽卷理科第14题，笔者觉得此题看似平淡，其实意蕴不凡，值得研究，现将笔者的思考草拟成文，和大家一起交流.

亮点1平和亲切，注重传承

初看这道试题，学生倍感亲切，背景很熟悉．细细品味，一道道曾经熟悉的试题浮现在眼前：

题2(2010年全国卷Ⅰ) 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴一个端点，线段BF延长线交C于点则C的离心率e为________.

题5(2008年全国卷Ⅱ) 已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点，设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|比值为________.

我们知道，高考命题有时取材于往年高考试题，这种命题方式使考生对题目有亲切感，充分体现命题者对考生的人文关怀．往届高考试题是新高考试题的重要来源之一，我们的高考命题专家一直重视传承和相互借鉴，他们坚持“命题是一种自然的发展，不会有突变，不能隔断历史”的观点，本题充分说明了这一点．

亮点2小巧活宽，解法多样

我们的命题专家一直倡导：高考命题应该遵循“活”与“宽”的原则，即解题运用的不是死知识，而是将熟悉的、基本的东西“拿”来解决陌生的问题．好的试题能体现小中见大，知识覆盖面广，解题入口宽，解法思路广等特点．本题在解法上具有较强的灵活性与多样性，内涵丰富，解法多样，精彩纷呈，给考生提供了充分展现自己才华和能力的空间，下面枚举4种优美解法与大家共享：

解法2(几何法) 如图2，过A、B分别作左准线的垂线，垂足分别为M、N，过B作BH⊥AM于H，不妨设|AF1|=m，|BF1|=n，则m=3n，设椭圆离心率为e，由椭圆的定义知：设∠AF1x=θ，则∠BAH=θ，在Rt△BAH中：易知A(c,b2)，在Rt△AF1F2中，又θ为锐角，则所以又b2+c2=1，解之得：故椭圆的方程为：

解法1将向量条件坐标化，凸显了坐标法的思想；解法2突出图形直观，体现了椭圆第二定义以及平面几何知识在解析几何中的重要作用；解法3运用极坐标的方法，极坐标是新课标的选修内容，符合新课改的大趋势；解法4关注椭圆第一定义，借助余弦定理在焦点三角形中解决问题，引导学生学习要重视课本基本概念和基本方法．真可谓不同的角度展示了不同的方法，不同的方法演绎着同样的精彩！

亮点3稳中求变，凸显创新

比较思考，我们不难发现，本文所举的题1、题2和题3，说明“已知圆锥曲线焦点弦上焦半径长度之比和焦点弦所在直线的倾斜角，则离心率可求”；题4、题5说明，“已知圆锥曲线离心率和焦点弦所在直线的倾斜角，则焦点弦上焦半径长度之比可求”；题6说明，“已知圆锥曲线离心率和焦点弦上焦半径长度之比，焦点弦所在直线的倾斜角可求”．这些高考试题不断的变换着设问角度，传承中有创新，从中我们可以总结出这样一个结论：圆锥曲线焦点弦上的焦半径长度之比、圆锥曲线离心率、焦点弦所在直线的倾斜角三者知二可求一．至此，似乎这类试题已经“山穷水尽”，可命题人并没有止步于此．本题虽然只给出三个要素中的一个，求不出另外两个量，但可以得到它们之间的一个关系，进而建立一个方程，要彻底解决问题于是再增设一个条件，这看似细小的创意，却为这类试题的命制注入了新的活力，我们佩服命题专家对高考试题研究的力度之深，感叹他们的智慧与良苦用心．

亮点4导向鲜明，启示深刻

首先，高考一直彰显着支持并服务于新课标

的意向，课程改革的不断推进，对高考命题也提出了更高的要求，要求试题在创新的同时更能全面考查学生的数学素养，这样的试题仅靠模式训练的题海战术难以做到，这就要求一线教师要摆脱死教书的习惯，少做点机械的训练，多做点深入的研究．对于直线和圆锥曲线试题，不少人还沉迷于机械的重复训练，将直线的方程和圆锥曲线联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式等程式训练，这样的方法只能事倍功半．作为一道填空题，本题也能按此法求解，如先设出直线方程，代入椭圆，进而用韦达定理得到坐标间的关系，然后解方程组，消元，整个过程下来，耗时耗力,作为填空题，极不划算．本文的4种解法就显得小巧、灵活，由此我们不难感悟到：高中数学课堂教学中，我们要抛弃“记题型、背套路”“重解题方法，轻数学本质”的应试教育的旧观念，只有让学生掌握数学的本质，提高学生分析问题和解决问题的能力才是唯一出路．

其次，高考复习中我们用的大部分是陈题和高考题，如何从研究题目中获得启发，这就需要我们挖掘试题的内涵，拓展其价值．以此题为例，我们在教学中还可以作一些变式：如将“焦点弦上的焦半径长度之比”换为“椭圆离心率”或“焦点弦所在直线的倾斜角”，求椭圆方程．将这些问题和变式放在一起，不断能让学生看清问题的联系，洞悉问题的本质，而且能激发学生的学习兴趣，培养他们深入思考问题的习惯．

最后，对于教师，要积极以习题为载体构建知识网络，努力从历年高考题的整体研究中找到共性，从近几年高考题中找到高考的变化趋势，从对同类试题的研究中找到变化，不断提升复习效率，本文对这7道姊妹题的分析也充分体现了这点．