《2.2 圆的一般方程》教学设计

赵琳

【教学分析】

本节内容研究圆的一般方程是在学习了圆的标准方程的基础上将圆的方程展开，化成二元二次方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，从而得出：任何一个圆的方程都可以写成这种形式.教材讨论二元二次方程所表示的曲线运用了“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想，这种思想要求学生理解与掌握.

【三维目标】

1.理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.

2.通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和几何分析法求圆的方程，同时渗透数形结合、类比与转化等数学思想方法，提高学生分析解决问题的实际能力.

【重点难点】

教学重点：一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程的系数D、E、F.

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

【教学过程设计】

一、复习回顾

我们已经学习了圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心（a，b），半径r.

问：几个量确定方程？（a，b），r的作用？学生：a，b，r三个量确定方程，圆心定位，半径定圆的大小.

问：每个圆都有标准方程吗？学生：都有，放在平面直角坐标系中可以確定圆心的坐标。

师：学习了圆的标准方程，可以将几何问题代数化，通过方程更好地研究圆.

今天继续学习圆的方程.

二、探索新知

通过类比直线方程一般式引导学生展开圆的标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心（a，b），半径r.

把圆的标准方程展开，并整理：

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

取D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0

师：每个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

问：下列方程表示圆吗？

（1）x2+y2-2x+4y+1=0

（2）x2+y2+2x-2y+2=0

（3）x2+y2-2x-4y+6=0

学生：（1）表示圆，圆心（1，-2），半径2；（2）表示点（-1，1）；（3）不表示任何图形。

师：x2+y2+Dx+Ey+F=0满足什么条件才能表示圆？

（x+ ）2+（y+ ）2= 这个方程是不是表示圆？

（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（- ，- ）为圆心， 为半径的圆；

（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=- ，y=- ，即只表示一个点（- ，- ）；

（3）当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.

深入分析一般方程：

（1）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了，

（2）标准方程更能体现圆形的几何特征，圆心（a，b），半径r.

一般方程更能体现方程的代数特性：二元二次方程.

（3）标准方程和一般方程可以互相转化。

三、知识应用

例1.方程x2+y2+4kx-2y+5k=0表示圆的条件是（ ）

A.1 C.k< D.k>1

例2.求过点M（-1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的方程.

例3.求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

例4.如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？

四、课堂小结

（1）任何圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0形式，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定都是圆，当D2+E2-4F >0时，方程表示（- ，- ）为圆心， 为半径的圆；

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；

（3）求圆的方程，根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆经过的点的坐标，则宜用一般方程。

五、作业布置

1.三维设计相关内容；2.课本习题2-2A组3.

（作者单位 陕西省西安中学）

编辑 王团兰