直线与圆锥曲线位置关系问题的解题策略

许莉

“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与技巧，对解决直线与圆锥曲线位置关系一类题目有着广泛而重要的应用.现在通过举例来说明.

一、解方程组

在解题中，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量后可得到一个二次方程，控制、讨论这个方程的根，并结合韦达定理，可以解决如下问题：

（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）；

（2）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式）；

（3）计算弦长（弦长公式为|AB|=1+k2·|x2-x1|或|AB|=1+1k2·|y2-y1|，其中k为弦AB所在直线的斜率）.

总结评述：

（1）“解方程组”是处理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题，但运算较繁，而“点差法”则显得简捷、灵活.

（2）在控制直线与圆锥曲线相交时，采用“点差法”的条件是“中点在曲线内部”，采用“解方程组”的条件是“Δ>0”.

总之，利用“解方程组”与“点差法”求解直线与圆锥曲线问题变化多端，学生要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练，多多体会，才能达到举一反三的目的.

（责任编辑 黄春香）

“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与技巧，对解决直线与圆锥曲线位置关系一类题目有着广泛而重要的应用.现在通过举例来说明.

一、解方程组

在解题中，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量后可得到一个二次方程，控制、讨论这个方程的根，并结合韦达定理，可以解决如下问题：

（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）；

（2）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式）；

（3）计算弦长（弦长公式为|AB|=1+k2·|x2-x1|或|AB|=1+1k2·|y2-y1|，其中k为弦AB所在直线的斜率）.

总结评述：

（1）“解方程组”是处理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题，但运算较繁，而“点差法”则显得简捷、灵活.

（2）在控制直线与圆锥曲线相交时，采用“点差法”的条件是“中点在曲线内部”，采用“解方程组”的条件是“Δ>0”.

总之，利用“解方程组”与“点差法”求解直线与圆锥曲线问题变化多端，学生要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练，多多体会，才能达到举一反三的目的.

（责任编辑 黄春香）

“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与技巧，对解决直线与圆锥曲线位置关系一类题目有着广泛而重要的应用.现在通过举例来说明.

一、解方程组

在解题中，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量后可得到一个二次方程，控制、讨论这个方程的根，并结合韦达定理，可以解决如下问题：

（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）；

（2）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式）；

（3）计算弦长（弦长公式为|AB|=1+k2·|x2-x1|或|AB|=1+1k2·|y2-y1|，其中k为弦AB所在直线的斜率）.

总结评述：

（1）“解方程组”是处理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题，但运算较繁，而“点差法”则显得简捷、灵活.

（2）在控制直线与圆锥曲线相交时，采用“点差法”的条件是“中点在曲线内部”，采用“解方程组”的条件是“Δ>0”.

总之，利用“解方程组”与“点差法”求解直线与圆锥曲线问题变化多端，学生要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练，多多体会，才能达到举一反三的目的.

（责任编辑 黄春香）