高中数学反思性教学的探讨

杨春传

一、问题的提出

在数学教学中，我经常被一些问题所困惑：课堂上，教师讲解概念及解题过程，学生能听懂，但学生在作业和考试时常出现这样的情境：许多题目明明知道教师在课堂上反复讲解过，即使明白题目的意思也感到无从下手；有些学生学习数学时间花不少，精力投入较多，学习刻苦认真，但收效甚微；对许多学习上的易错问题，尽管教师反复地讲评和剖析，事后学生仍“旧病复发”，找不出问题的症结.这些问题表明学生缺乏反思意识或反思意识比较差.

究其原因大致为：学生没有反思的意识或不知道如何反思；学生由于被大量的作业压得喘不过气来，没有时间进行反思.其本质原因是教师在教学中只注重知识的传授与讲解，忽视对学生反思能力的培养；或教师反思意识不强，不知道在教学中如何培养学生的反思能力.

二、高中学生应该进行反思性学习

基于上述问题，且不论新课程突出强调创新精神和实践能力的培养，教师应将反思性教学应视为高中教学的新型教学方式，加强反思性教学，使学生真正从学习中获得能力.

（一）概念教学的反思活动

概念是最基本的思维形式，数学中的命题都是由概念构成的；数学中的推理和证明，又是命题构成的.因此，正确地理解数学概念，是掌握数学知识的前提.数学概念的理解包括概念的内涵和外延，即牢固掌握概念和灵活运用概念两个方面.学生理解和掌握数学概念的过程是一个认识的过程，必须遵循认识的规律，以唯物辩证法作指导.抓住事物的本质，对概念作辩证的分析.并注意在实践中运用概念，在运用中加深对概念的理解.

【例1】 与圆C：x2+（y+5）2=3相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（ ）.

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

错解：A或D；正解：C.

本题错解的关键在学生对“截距”概念的理解不透彻.选（A）以为“截距”不能为零；选（D）以为“截距”为距离.实际上直线在x、y轴上的截距即为原点到直线与x、y轴的交点的有向线段的数量.

可见，在进行概念教学时，要引导学生多次反思，挖掘概念的本质，研究概念形成的条件和形成的过程，这样才能使学生更深刻理解概念，更准确地掌握概念、运用概念.同时也培养了学生的反思意识，提高了学生的反思能力.

（二）解题教学的反思活动

1.解题方法上的反思

在解题过程中，不同的题存在着不同的解题方法或者存在相同的解题策略.

（1）指导学生反思一题多解的差异性.

【例2】 在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，求共有多少种安排方法？

解法一：添加的3个节目有三类办法排进去：①3个节目连排，有C17A33种方法；②3个节目互不相邻，有A37种方法；③有且仅有两个节目连排，有C13C17C16A22种方法.根据分类计数原理共有C17A33+A37+C13C17C16A22=504种.

解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入3个添加节目有A39种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A39=504种.

解法三：（消去顺序）A99A66=504.

这里应做三法优化的反思，法一可视为分组插入法（将三个不同元素分成1组或2组或3组，再插入7个空隙），可取.法二抓住整体中的不变性和可变性，但思维要求较高；法三视为相同元素排列法，具有一般性，可取.

（2）指导学生反思多题一解的共通性.

【例3】 ①6个人并排站成一排，B站在A的右边，C站在B的右边，则不同的排法总数为多少种？

②书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书本的相对顺序不变，则不同的放法有多少种？

③有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为 .

以上几个例子实际上应用例2的法一和法三的解题思路就可以解答！

2.解题思维过程的反思

即思考在问题解决的过程中，自己是否很好地理解了题意？是否弄清了题干和设问之间的内在联系？是否较快地找到了解题的突破口？在解题过程中以前曾走过的弯路，犯过的错误，以及所获得的感悟，此时能否得到较好的联想？

【例4】 （2005年浙江卷，理）已知函数f（x）和g（x）的图像关于原点对称，且f（x）=x2+2x.

（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|.

分析：由图像关于原点对称联想到点关于原点对称；含有一个绝对值联想分段；函数值大小比较联想函数图像的上方或下方等，这些是否于本题解决有助呢？

进行解题思维的反思，能达到提高学生学习效果、发展学生数学能力的目的.所以我们在教学中应坚持让学生独立思考，培养学生在解题后对思维过程进行反思的学习习惯.

3.解题结果的反思

（1）指导学生反思答案的正确性和最佳性

【例5】 从圆（x-1）2+（y-1）2=1外一点P（2，3），向该圆引切线PA、PB，切点为A、B，求直线AB的方程.

方法一：根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线方程为x=2和3x-4y+6=0.再将切线方程与圆方程联立求得切点A（2，1），B

（25，95）

.再由两点式求得直线AB的方程为x+2y-4=0.

此法易被学生采用，但求切点运算量较大，由此引导学生反思：如何求切点更简捷？

方法二：设已知圆的圆心为C（1，1），根据平面几何知识可知，切点是以PC为直径的圆与圆C的交点，以PC为直径的圆方程为

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，将③代入②，求得切点为A（1，2），B（25，95）.再由两点式可得直线AB的方程为x+2y-4=0.

此法充分运用平面几何性质，减少了运算层次，简化了解题过程.是否仍有改进之处？

方法三：设切点坐标为（x，y），由方法二知，切点坐标满足方程①和②，则也满足③，这说明方程③即为过切点A，B的直线方程.

此法避免了求切点的过程，过程更简捷，值得关注.通过上述不同角度的探讨，学生开阔了视野，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，这有利于提高学生灵活解题的能力.

（2）指导学生反思错误答案

【例6】 过点（1，2）总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则实数k的取值范围是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k<-3或k>2D.都不对

错解：C；正解：D.

反思：当二元二次方程中含参数时首先必须对参数予以关注.关键语句：“过点（1，2）总可作圆的切线”意味着点（1，2）恒在圆上或圆外.这样对错解的“错”就释然了.

4.立意的反思

通过完成解题，可否对题目进行全方位审视？题目立意的目的是什么？它是否具有现实性或普遍性？比如对下列的演变可否作为对题目立意的反思的诠释？

【例7】 点P在椭圆2x2+y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离|AP|的最大值.

变式1：将求|AP|的最大值改为求|AP|的最小值.（变结论）

变式2：将椭圆改为双曲线x2-y2=1，结论改为求|AP|的最小值.（条件、结论均变）

变式3：已知点P在椭圆2x2+y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（变条件，且具一般性）

变式4：动点Q在圆x2+y2-4y+3=0上运动，动点P在椭圆2x2+y2=1上运动，求|PQ|的最大值.（将点A以隐藏的方式给出）

（将圆方程化为x2+（y-2）2=1，则圆心A（0，2），问题就转化为原题了.）

变式5：设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率e=12，点P在椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值是45，求椭圆方程.并求|AP|取最大值时，点P的坐标.

（三）作业（或试卷）评讲教学的反思活动

作业（或试卷）评讲的结束，并非以题目评讲的终结为标志，应利用这一契机，引导学生从以下几方面进行反思.

（1）学生应依据教师提出的教学目标，结合自己实际达成的目标进行反思.这是测试后的反思的前提条件.

（2）学会正视自己.特别要正视自己在学习上存在的问题，全面分析自己的现状与自定目标之间的差距.这是一种科学的学习态度，是进行测试后的反思的思想基础.

（3）对每一次测试，首先是反思失分多寡之原因.计算自己在试卷中有哪些是不应有的失分.如，笔误、计算错误、看错题目、当时的遗忘等.其次是分类分析.高中数学考卷的题型一般分为①填空题、②选择题、③解答题三类.对于填空选择题，如有失误往往是源于对基本概念理解上的偏差.学生要做的是在反思时，细读概念、定理以及相关的变式与图形，理解老师总结出的常见结论.解答题中综合题、探究题是让学生感到头痛的题型，反思的重点就是设法掌握解决此类问题的步骤：①扫清障碍，先做好简单的问题并得出一些有用的结论；②定性分析与定量分析相结合；③反思各类答题的经验和技巧.

（4）学生在平常的学习、练习中是否做了笔记修正错误？订正错题时不仅要写出正确的解题过程，同时要反思错因及解题中自己的感受和启发，并注明.

反思能力的培养不是一朝一夕可以完成的.在数学教学中蕴藏着很多让学生进行反思的机会，只要教师善于捕捉挖掘，持之以恒地引导学生进行反思，一定能使学生由无意识的、被动的反思进入主动的、自觉的反思，从而使学生的反思能力得以提高.

（责任编辑 黄桂坚）

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，将③代入②，求得切点为A（1，2），B（25，95）.再由两点式可得直线AB的方程为x+2y-4=0.

此法充分运用平面几何性质，减少了运算层次，简化了解题过程.是否仍有改进之处？

方法三：设切点坐标为（x，y），由方法二知，切点坐标满足方程①和②，则也满足③，这说明方程③即为过切点A，B的直线方程.

此法避免了求切点的过程，过程更简捷，值得关注.通过上述不同角度的探讨，学生开阔了视野，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，这有利于提高学生灵活解题的能力.

（2）指导学生反思错误答案

【例6】 过点（1，2）总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则实数k的取值范围是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k<-3或k>2D.都不对

错解：C；正解：D.

反思：当二元二次方程中含参数时首先必须对参数予以关注.关键语句：“过点（1，2）总可作圆的切线”意味着点（1，2）恒在圆上或圆外.这样对错解的“错”就释然了.

4.立意的反思

通过完成解题，可否对题目进行全方位审视？题目立意的目的是什么？它是否具有现实性或普遍性？比如对下列的演变可否作为对题目立意的反思的诠释？

【例7】 点P在椭圆2x2+y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离|AP|的最大值.

变式1：将求|AP|的最大值改为求|AP|的最小值.（变结论）

变式2：将椭圆改为双曲线x2-y2=1，结论改为求|AP|的最小值.（条件、结论均变）

变式3：已知点P在椭圆2x2+y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（变条件，且具一般性）

变式4：动点Q在圆x2+y2-4y+3=0上运动，动点P在椭圆2x2+y2=1上运动，求|PQ|的最大值.（将点A以隐藏的方式给出）

（将圆方程化为x2+（y-2）2=1，则圆心A（0，2），问题就转化为原题了.）

变式5：设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率e=12，点P在椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值是45，求椭圆方程.并求|AP|取最大值时，点P的坐标.

（三）作业（或试卷）评讲教学的反思活动

作业（或试卷）评讲的结束，并非以题目评讲的终结为标志，应利用这一契机，引导学生从以下几方面进行反思.

（1）学生应依据教师提出的教学目标，结合自己实际达成的目标进行反思.这是测试后的反思的前提条件.

（2）学会正视自己.特别要正视自己在学习上存在的问题，全面分析自己的现状与自定目标之间的差距.这是一种科学的学习态度，是进行测试后的反思的思想基础.

（3）对每一次测试，首先是反思失分多寡之原因.计算自己在试卷中有哪些是不应有的失分.如，笔误、计算错误、看错题目、当时的遗忘等.其次是分类分析.高中数学考卷的题型一般分为①填空题、②选择题、③解答题三类.对于填空选择题，如有失误往往是源于对基本概念理解上的偏差.学生要做的是在反思时，细读概念、定理以及相关的变式与图形，理解老师总结出的常见结论.解答题中综合题、探究题是让学生感到头痛的题型，反思的重点就是设法掌握解决此类问题的步骤：①扫清障碍，先做好简单的问题并得出一些有用的结论；②定性分析与定量分析相结合；③反思各类答题的经验和技巧.

（4）学生在平常的学习、练习中是否做了笔记修正错误？订正错题时不仅要写出正确的解题过程，同时要反思错因及解题中自己的感受和启发，并注明.

反思能力的培养不是一朝一夕可以完成的.在数学教学中蕴藏着很多让学生进行反思的机会，只要教师善于捕捉挖掘，持之以恒地引导学生进行反思，一定能使学生由无意识的、被动的反思进入主动的、自觉的反思，从而使学生的反思能力得以提高.

（责任编辑 黄桂坚）

（x-32）2+（y-2）2=54

①，

又（x-1）2+（y-1）2=1②，由①-②得x+2y-4=0③，将③代入②，求得切点为A（1，2），B（25，95）.再由两点式可得直线AB的方程为x+2y-4=0.

此法充分运用平面几何性质，减少了运算层次，简化了解题过程.是否仍有改进之处？

方法三：设切点坐标为（x，y），由方法二知，切点坐标满足方程①和②，则也满足③，这说明方程③即为过切点A，B的直线方程.

此法避免了求切点的过程，过程更简捷，值得关注.通过上述不同角度的探讨，学生开阔了视野，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，这有利于提高学生灵活解题的能力.

（2）指导学生反思错误答案

【例6】 过点（1，2）总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则实数k的取值范围是（ ）.

A.k>2

B.-3

C.k<-3或k>2D.都不对

错解：C；正解：D.

反思：当二元二次方程中含参数时首先必须对参数予以关注.关键语句：“过点（1，2）总可作圆的切线”意味着点（1，2）恒在圆上或圆外.这样对错解的“错”就释然了.

4.立意的反思

通过完成解题，可否对题目进行全方位审视？题目立意的目的是什么？它是否具有现实性或普遍性？比如对下列的演变可否作为对题目立意的反思的诠释？

【例7】 点P在椭圆2x2+y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离|AP|的最大值.

变式1：将求|AP|的最大值改为求|AP|的最小值.（变结论）

变式2：将椭圆改为双曲线x2-y2=1，结论改为求|AP|的最小值.（条件、结论均变）

变式3：已知点P在椭圆2x2+y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值.（变条件，且具一般性）

变式4：动点Q在圆x2+y2-4y+3=0上运动，动点P在椭圆2x2+y2=1上运动，求|PQ|的最大值.（将点A以隐藏的方式给出）

（将圆方程化为x2+（y-2）2=1，则圆心A（0，2），问题就转化为原题了.）

变式5：设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率e=12，点P在椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值是45，求椭圆方程.并求|AP|取最大值时，点P的坐标.

（三）作业（或试卷）评讲教学的反思活动

作业（或试卷）评讲的结束，并非以题目评讲的终结为标志，应利用这一契机，引导学生从以下几方面进行反思.

（1）学生应依据教师提出的教学目标，结合自己实际达成的目标进行反思.这是测试后的反思的前提条件.

（2）学会正视自己.特别要正视自己在学习上存在的问题，全面分析自己的现状与自定目标之间的差距.这是一种科学的学习态度，是进行测试后的反思的思想基础.

（3）对每一次测试，首先是反思失分多寡之原因.计算自己在试卷中有哪些是不应有的失分.如，笔误、计算错误、看错题目、当时的遗忘等.其次是分类分析.高中数学考卷的题型一般分为①填空题、②选择题、③解答题三类.对于填空选择题，如有失误往往是源于对基本概念理解上的偏差.学生要做的是在反思时，细读概念、定理以及相关的变式与图形，理解老师总结出的常见结论.解答题中综合题、探究题是让学生感到头痛的题型，反思的重点就是设法掌握解决此类问题的步骤：①扫清障碍，先做好简单的问题并得出一些有用的结论；②定性分析与定量分析相结合；③反思各类答题的经验和技巧.

（4）学生在平常的学习、练习中是否做了笔记修正错误？订正错题时不仅要写出正确的解题过程，同时要反思错因及解题中自己的感受和启发，并注明.

反思能力的培养不是一朝一夕可以完成的.在数学教学中蕴藏着很多让学生进行反思的机会，只要教师善于捕捉挖掘，持之以恒地引导学生进行反思，一定能使学生由无意识的、被动的反思进入主动的、自觉的反思，从而使学生的反思能力得以提高.

（责任编辑 黄桂坚）