基于解析法的凸轮机构参数化建模与仿真

曹智臣，李浩莹，周恩龙

(苏州大学 机电工程学院，江苏 苏州 215005)

通常用解析法设计凸轮廓线时[1-2]，先利用相对运动原理，求出凸轮轮廓在动坐标系中的方程，此过程一般会运用运动合成与分解法[3]、极坐标法等，之后再根据位移变换矩阵[4]，求出定坐标系中的方程。本文以直动平底从动件盘形凸轮为例，综合利用三心定理[2]和位移变换矩阵的解析法设计凸轮廓线。

很多研究者运用CAD/CAE软件建立凸轮机构的虚拟样机并进行仿真分析[5-7]，以及二次开发工作[8-9]。在研究他们的基础上，运用了全参数化设计的方法，期望建立变量与虚拟样机间的全相关性，便于后续设计的阅读、修改和二次开发。

1 解析法确定凸轮轮廓

根据相对运动原理，将凸轮的角速度叠加到从动件上[1]，建立定坐标系和动坐标系如图1。

图1 直动平底从动件盘状凸轮相对运动原理

在初始位置，从动件与凸轮接触于B0点，基圆半径rb,偏距为e，此时s0=|O1B0|=rb。凸轮以角速度ω逆时针旋转，设凸轮静止，由相对运动原理可知，从动件不仅沿原来的导轨作往复直线运动，还相对于凸轮作角速度为-ω的转动。当转角为φ时，动坐标系O2-x2y2z2中从动件与凸轮接触于B点，过B作x2轴的垂线，垂足为P，则此时|PB|=s0+s，s为转角为φ时从动件的位移。

根据平面高副两构件的瞬心概念[2]，瞬心必在过接触点B的公法线上，即PB上。又由于凸轮是转动副，其瞬心在O1(O2)点，从动件是移动副，其瞬心在垂直于其移动方向的无穷远处。根据三心定理[2]，三个瞬心必位于同一条直线上，即P点，则在P点处凸轮与从动件相对速度为0，绝对速度相等。对于凸轮：

vP=ω·|O2P|

(1)

对于从动件：

(2)

由式(1)、式(2)联立可得：

(3)

所以在动坐标系O2-x2y2z2中，B点的坐标为：

(4)

利用两坐标系之间的位移变换矩阵[5]：

(5)

将式(4)变换到定坐标系O1-x1y1z1中，即B点在该坐标系中的轨迹方程，也就是凸轮轮廓曲线方程：

(6)

展开为:

(7)

式中：s0为初始状态时凸轮与从动件接触点到凸轮旋转中心的垂直距离；φ为凸轮转角；s为转角为φ时从动件的位移。

2 基于UG的仿真分析

设计一个直动平底从动件盘形凸轮机构作为实例进行仿真，参数如表1。

表1 凸轮机构参数

2.1 基于UGNX表达式和规律曲线生成凸轮轮廓及曲线特性分析

2.1.1UGNX表达式内容

由余弦加速度运动曲线(简谐运动曲线)推程规律方程[1]可得从动件位移：

(8)

式中，φ0为与h相对应的凸轮转角，此处就为φW。从动件速度：

(9)

从动件加速度：

(10)

将式(8)对φ求导，得：

(11)

将式(8)、(11)带入式(7)可得凸轮推程廓线方程：

(12)

式中，s1即为推程从动件位移。

由圆的方程可得从动件位移：

s=h=20mm

(13)

从动件速度：

v=0

(14)

从动件加速度：

a=0

(15)

显然：

(16)

将式(13)、式(16)带入式(7)可得凸轮远休程廓线方程。

由正弦加速度运动曲线(摆线)回程的规律方程可得从动件位移：

(17)

从动件速度：

(18)

从动件加速度：

(19)

将式(17)对φ求导，得：

(20)

将式(17)、式(20)带入式(7)可得凸轮回程廓线方程。

从动件位移：

s=0mm

(21)

其余与远休程类似。

综上所述，将各参数和曲线方程转化为UGNX表达式语言(Tools→Expression)，将曲线的各物理量参数及其值用变量名和变量值表示，如表2。此表达式输入方法实现了全参数化，只要修改凸轮基本参数的其中任意一个值，其余值及曲线跟随变动，无需再重新计算方程式、逐行修改表达式，此方法比方程直接输入具体数值更体现了参数化的思想，设计效率更高。

表2 UGNX表达式内容

2.1.2 利用规律曲线生成凸轮轮廓曲线

利用UGNX规律曲线功能(Insert→Curve→Law Curve)，建立由以上表达式确定的凸轮轮廓方程，再通过草图画出基圆、标出各转角，如图2(a)。

2.1.3 曲线特性分析

根据方程生成的曲线，还要依据从动件类型及其预定运动方式，计算曲线的曲率半径[10]，检查曲率过渡是否均匀，有无冲击及冲击类型等。运用UGNX进行曲线特性分析，则可以简化理论计算过程。

1) 利用UGNX的曲率梳分析功能[11](Analysis→Curve→Combs)，查看凸轮廓线的曲率梳，如图2(b)。

可以得到该廓线曲率梳位于同侧，没有内凹现象。推程(余弦加速度运动)与远休程之间有柔性冲击，远休程与回程(正弦加速度运动)、回程与近休程之间均无冲击，这一分析特征符合该运动规律的运动特征。

2) 利用UGNX的峰值点分析功能[11](Analysis→Curve→Peaks)，查看凸轮廓线的峰值点，如图2(c)。

可以从图4中看到，轮廓上标小三角的为峰值点，这些点也是从动件加速度的变化点，这将在本文2.2部分验证。

3) 利用UGNX的偏转点分析功能[11](Analysis→Curve→Inflections)，查看凸轮廓线有无偏转点，如图2(d)。

图2 凸轮廓线及曲线特性

可以得到该轮廓曲线没有偏转点，说明曲线函数不存在凹凸性的变换，这与式(12)等凸轮廓线方程是一致的，从动件加速度也不存在正负号的变换，这也将在本文2.2部分得到验证。

2.2 基于UGNX的凸轮机构运动仿真

根据表1的凸轮机构参数，利用草图功能(Sketch)建立凸轮机构平面模型，如图3。

图3 平面机构模型

图4 定义连杆及运动副

进入运动仿真模块(Start→Motion Simulation)，新建仿真(New Simulation)，选择运动学(Kinematics)。分别定义凸轮和从动件为连杆L001和L002，定义凸轮为绕其旋转中心逆时针旋转的转动副，角速度为：

ω=10degrees/s

(22)

定义从动件为绝对移动副，定义凸轮和从动件之间为“线在线上(Curve on Curve)”的高副，定义完成如图4。

建立解算方案，设时间为36s，步数为360，然后解算。运动仿真动画，如图5。

图5 机构运动仿真动画

输出从动件位移数值列表及曲线，如图6(a)。可发现与理论计算的从动件位移，即式(8)，式(13)，式(17)，式(21)相吻合。

图6 从动件运动参数的数值列表和函数曲线

输出从动件速度曲线，如图6(b)。可发现与理论计算的从动件速度，即式(9)、式(14)、式(18)相吻合。

输出从动件加速度曲线，如图6(c)。可发现与式(10)，式(15)，式(19)相吻合。且在0°，14°，120°，122°，135°，236°，311°等处有加速度突变，这也与图2(c)所示的曲线峰值点相吻合。还可以从图6(c)中发现加速度没有负值，这也与图2(d)所示的曲线无偏转点相吻合。

3 结语

采用的解析法思路清晰且较为简便，并基于UG进行数字化样机的建立和仿真分析，只要改变表达式中变量的值，曲线方程、模型随之改变，而无需重新设计和输入表达式，此过程体现了参数化的思想，缩短了设计修改的周期，提高了效率。当利用表达式和规律曲线生成轮廓曲线后，可以对曲线的特性进行分析，查看有无与预定运动和控制相悖的重大缺点，减少了理论计算曲线特性的过程。最后通过运动分析，分析整个旋转周期从动件的运动参数，查看是否符合预定运动。由于本文实例中的凸轮机构是平面机构，故并未拉伸为实体，而是直接对曲线做了仿真和分析，简化了研究过程。

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