具有迁移效应和收获率的Hassell-Varley-Holling捕食者-食饵系统的周期解

刘子珍，刘秀湘

(华南师范大学数学科学学院，广州510631)

Hassell和 Varley［1］于1969年首次发现充裕的捕食者数量对捕食量有反作用的实验证据，并提出如下Hassell-Varley型的功能性反应(营养函数)

其中N和P分别是食饵和捕食者的种群数量，α是搜索效率，σ是衡量捕食者之间干扰的常数，被称为Hassell-Varley 常数．此后 Arditi和Akcakaya［2］、Schenk等［3］和 Sutherland［4］分别提出了下述 2 个营养函数

其中h＞0表示捕食时间．这2个营养函数具有一般性．如果σ=0则分别为著名的Holling(II)和(III)功能性反应，故φ2和φ3分别被称为Hassell-Varley-Holling(II)和(III)功能性反应．如果σ=1，则φ2和φ3分别称为比率相关的功能性反应，相应的数学模型具有丰富的动力学行为并得到了广泛的研究［5-7］．Cosner等［8］对 Hassell-Varley 常数给出一个分类:对具有相对固定数目个体而形成紧密团体的陆生捕食者可取σ=1/2;对具有相对固定数目个体而形成紧密团体的水生捕食者可取σ=1/3，对绝大部分捕食者而言，σ［1/2，1)．这种类型的功能性反应很快引起了学者的注意［9-12］．

种群的栖息地经常被看成几个斑块(patch)以进一步考虑到种群的迁徙［13］．本文假设被捕食者在2个斑块之间进行迁徙而捕食者没有迁徙．设xi(t)(i=1，2)表示第i板块食饵种群在t时刻的密度，y(t)表示捕食者种群在第一个斑块t时刻的密度．由于2个斑块之间有食饵者迁移，我们把这个迁移效率记为 Di(t)(i=1，2)．Ruan 等［14］指出了密度依赖的非线性死亡率对系统动力学有极为重要的影响．本文假设捕食者具有密度依赖的非线性死亡率，于是得到下述非自治的捕食者-食饵模型:

其中ai、d和β/α均为正值函数且分别代表食饵的内禀增长率、捕食者的死亡率和能量的转化率，ai/bi为食饵的环境容纳量，σ(0，1)表示捕食者的干扰．hi(t)(i=1，2，3)表示收获率．b3(t)为捕食者的密度相关的非线性死亡系数．利用基于度理论的连续定理证明了上述系统在适当条件下至少具有8个周期解．

首先给出常用的符号说明．记R+=［0，∞)，．对R+上的有界函数f(t)，定义

下面简要介绍度理论一些基本概念的相关引理．

设X，Z为实Banach空间．L:Dom L⊂X→Z为线性映射，N:X→X为连续映射．若dim Ker L=condim Im L＜∞且Im L在Z中是闭的，则称L是指标为0的 Fredholm映射．若 L是指标为0的Fredholm映射且存在连续投射P:X→X及Q:Z→Z使得 Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|DomL∩KerP:(I-P)X→Im L是可逆的并定义其逆映射 KP．设Ω是X的有界开集，若QN×［0，1］)有界且KP(I-Q)N:×［0，1］→X 是紧的，则称映射N在×［0，1］是L-紧的．因为Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L．下面的引理见文献［15］．

引理1 (连续定理)设L是指标为0的Fredholm映射且N在×［0，1］是 L-紧的．如果满足

(3)deg{JQN，Ω∩Ker L，0}≠0，则算子方程Lx=Nx在Dom上至少有一个解．

经过简单的计算有下面的引理．

有如下结论:

使用引理1来证明系统(1)正周期解的存在性．为此将系统(1)转化成相应的算子方程．作变换u1(t)=ln x1(t)，u2(t)=ln x2(t)，u3(t)=ln y(t)，则系统(1)变为

易见若方程(2)有一ω-周期解 (u*1(t)，u*2(t)，是系统(1)的正ω-周期解．因此只需证明方程(2)有 ω-周期解即可．

令 X=Z={u=(u1，u2，u3)TC(R，R3):u(t+ω)=u(t)}，‖u‖ =maxt［0，ω］|u1(t)|+maxt［0，ω］|u2(t)|+maxt［0，ω］|u3(t)|．于是 X，Z 均为Banach 空间．记ω

令 L:Dom L⊂X→Z，L u=(u'1，u'2，u'3)T，其中Dom L={u=(u1，u2，u3)TC(R，R3)}，并令 N:X×［0，1］→Z 为利用这些记号可将方程(2)写成等价的算子方程L u=N u，uX．很明显 Ker L=R3，Im L={zZ:是Z的闭集，且dimKer L=codim Im L=3．故L是指标为0的Fredholm映射．定义2个投射P:X→X和Q:Z→Z分别为

易证P，Q是连续投射且Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，于是广义逆映射KP:Im L→Dom L∩Ker P存在且为

由Lebesgue控制收敛定理知QN和KP(I-Q)N是连续的．利用 Arzela-Ascoli定理，不难证明对任意有界开集Ω⊂X是紧的，而且QN)有界，所以对任意有界开集Ω⊂X，N在×［0，1］是 L-紧的．

为了方便定理证明过程表达，我们引进下列16个正数:

其中

本文的主要结果如下:

定理1 如果下列条件成立:

则系统(1)至少存在8个ω-正周期解．

证明 首先由引理2、条件(H1)和条件(H4)可得:

同时容易证明

根据引理1，只需寻找8个合适的有界开集Ωi(i=1，2，…，8)即可．相应于算子方程 Lx=λN(x，λ)，λ(0，1)有

假设(u1(t)，u2(t)，u3(t))T是方程(3)对于某个(0，1)的一个 ω -周期解，则存在 ξi，ηiω］(i=1，2，3)，使得(t)，i=1，2，3，且 u'i(ξi)=0，u'i(ηi)=0，i=1，2，3．根据方程(3)可得

分以下2种情形进行分析．

情形(i):u2(η2)≤u1(η1)．此时由式(4)得

故得到 u2(η2)和 u1(η1)的上界

情形(ii):u2(η2)≥u1(η1)．此时由式(5)有

也得 u2(η2)和 u1(η1)的上界

于是由式(10)、(11)可得

由式(6)知

于是得到

由式(4)、(13)有

因此

进一步有

即

类似地由式(7)有

考虑到式(4)可知

结合式(12)得

于是有

利用式(7)、(12)有

根据式(14)、(16)并结合条件(H1)和条件(H4)得到u1(η1)的估计:

再根据引理2得到u1(η1)的范围

由式(15)、(17)可知

则

利用式(5)得到

所以

即

根据式(8)不难看出

由式(5)，有

从而

结合式(12)有

类似的，由式(8)、(12)不难得到

由式(20)、(22)，结合(H2)和(H4)得到 u2(η2)的估计式

再根据引理2得到u2(η2)的所在区间为

由式(21)、(23)可得

从而

由式(6)可知

进一步则为

同理由式(9)可得

根据式(13)、(18)可得

利用式(6)有

即

进一步有

因此

另根据式(9)得到

由式(26)、(28)可得

即有u3(η3)的估计区间

同理由式(27)、(29)可得

从而知u3(ξ3)的估计区间

令

显然 Ωi(i=1，2，…，8)是 X 上的开集，Ωi∩Ωj= Ø(i，j=1，2，…，8，i≠j)．从而 Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的条件(1)．现往证引理1的条件(2)也成立，即要证若u∂Ωi∩Ker L= ∂Ωi∩R3时有 QN(u，0)≠0(i=1，2，…，8)．用反证法，假设 QN(u，0)=0，则有:

即

易知代数方程组(32)有8个不同的解:

其中

由引理2，易验证:

由式(33)～(35)有

由于Ker L=Im Q，取 J=I．假设 u是式(32)在 Ωi(i=1，2，…，8)中的解，则

于是相应的Brouwer度为

从而证得Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的条件(3)，至此证明了Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的所有条件，因此方程(2)至少有8个ω-周期解，即系统(1)至少有8个ω-正周期解．定理得证．

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