逐点伪轨跟踪性质与混沌

曹 毅

(江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001)

0 引言

伪轨跟踪性质是动力系统中的一个重要概念，它与系统的稳定性和混沌有密切的关联[1－3]。随着动力系统研究的不断深入，学者发展了各种不同的跟踪技术[4－7]。文献[8]给出了一种新的跟踪性概念——逐点伪轨跟踪性质。它与传递性，Ruelle－Takes混沌，性质P等动力系统有密切的联系。因此，对具有逐点跟踪性质系统的研究是一件有意义的工作。本文证明了:若X连通，f是具有逐点伪轨跟踪性质的链可迁映射，则(1)f是Ruelle－Takes意义下混沌的;(2)f是拓扑混合的;(3)f具有性质P。

1 定义和引理

定义1设{xi}+∞i=0是X中的序列，如果对于任意i≥0，有d(f(xi)，xi+1)＜δ，则称序列{xi}+∞i=0为f的一个 δ伪轨。如果 x，y∈X，ε ＞0，存在 X 上的一个有限 ε 伪轨{x0，x1，…，xn}，使得 x0=x，xn=y，则称{x0，x1，…，xn}为一个从x到y的ε链，n+1称为该ε链的长度。如果∀ε＞0，∀x，y∈X都存在一个从x到y的ε链，则称f是链可迁的。

定义2 设f:X→X是连续映射，若对于任意ε＞0，总存在一实数δ＞0，使得f的任意δ伪轨{x0，x1，…}，对于某个N＞0，有{xN，xN+1，…}总能被X中某点相对于fε跟踪，则称f满足逐点伪轨跟踪性质。

定义3 设动力系统(X，f)，若对于每一对X的任意非空开集U，V，总存在一个n＞0，使得fn(U)∩V≠Ø，则称f是拓扑可迁的;若对于每一对X的任意非空开集U，V，都存在一个正整数N，使得当n＞N，有fn(U)∩V≠Ø，则称f是拓扑混合的。

定义4 对于x∈X，若存在 ε＜0，对于任意 δ＞0，总存在 y∈X及 n∈ℕ，当 d(x，y)＜ε时，有d(fn(x)，fn(y))＞δ，则称f敏感依赖初始条件。如f:X→X是拓扑可迁的和敏感依赖于初始条件的，则称f是Ruelle－Takes意义下混沌的。

定义5 如对于X的任意两个非空开集U0，U1，总存在N∈ℕ，对于任意k≥2及任意s={s(1)，s(2)，…，s(k)}∈{0，1}k，存在 x∈X，使得 x∈Us(1)，fN(x)∈Us(2)，…，f(k－1)N(x)∈Us(k)，则称 f具有性质P。

引理1 设f:X→X是连续映射，且具有逐点伪轨跟踪性质，则对于任意l∈ℕ，则fl也具有逐点伪轨跟踪性质。

证明:设∀l∈ℕ ，{xi}+∞i=0是fl的一个 δ伪轨，即对于任意i≥0，有d(f(xi)，xi+1)＜ δ，则{x0，f(x0)，f2(x0)，…，fl－1(x0)，x1，f(x1)，f2(x1)，…，fl－1(x1)，x2，f(x2)，f2(x2)…}，即 yli+m=fm(xi)(0≤m≤l－1，i≥0)为f的一个δ伪轨。由于f具有逐点伪轨跟踪性质，所以对于∀ε＞0，存在X中的一点z，使得对某个 N ＞0，d(fi(z)，yN+i)＜ ε(当 i≥0)。设 N mod l=k(0≤k≤1 －1)，对∀I≥0，取 i=lI+l－k亦成立，即d(flI+l－k(z)，yN+lI+l－k)＜ ε。而，即＜ε，即存在 N1=及点z1=fl－k(z)，有 d(flI(z1)，xN1+I)＜ε，所以fl也具有逐点伪轨跟踪性质。

引理2[1]若X连通，f:X→X链可迁，则f是链混合的。

引理3[8]设X是紧致度量空间，若f具有逐点伪轨跟踪性质，对∀n∈ℕ，fn链可迁，则f敏感依赖于初始条件。

引理4[8]若f具有逐点伪轨跟踪性质，对∀n∈ℕ，fn链可迁，则fn是拓扑可迁的。

引理5[9]若fl是拓扑混合的，l∈ℕ ，则fl是链混合的。

引理6[8]设X是紧致度量空间，f:X→X是具有逐点伪轨跟踪性质的连续映射，且f是拓扑混合的，则f具有性质P。

2 定理

定理1 若f:X→X具有逐点伪轨跟踪性质，∀l∈ℕ，fl是链混合的，则fl是拓扑混合的。

证明 设∀x，y∈X，B(x，ε1)={Z∈X:d(x，z)＜ε1}，B(y，ε2)={Z∈X:d(y，z)＜ ε2}。设 f具有逐点伪轨跟踪性质，由引理1知，对∀l∈ℕ，fl也具有逐点伪轨跟踪性质。故对于0＜ε＜min{ε1，ε2}，存在δ＞0，使得fl的任一δ伪轨，存在一正整数N∈ℕ，能被X中某点相对于flε跟踪。由于fl是链混合的，存在N1∈ℕ，当n≥N1时，总存在一个长度为n的x到y的δ1链，也存在N2∈ℕ，当n≥N2时，总存在一个长度为n的y到x的δ2链。设及，取 δ=max{δ1，δ2}，则 A 是 fl的一 δ伪轨，且(zN，zN+1，…)被 X 中的某点 ωε 跟踪。则存在 i＜j∈Z+，使得 zN+i=x，zN+j=y满足 d(fli(ω)，zN+i)＜ ε，d(flj(ω)，zN+j)＜ ε，故fl(j－i)(B(x，ε1))∩B(y，ε2)≠Ø，而 j－i=N1，即 flN1(B(x，ε1))∩B(y，ε2)≠Ø。

所以存在 N1＞0，对∀n≥N1，有 fln(B(x，ε1))∩B(y，ε2)≠Ø，故 fl是拓扑混合的。

推论1 若f:X→X具有逐点伪轨跟踪性质，则fl是拓扑混合的当且仅当fl是链混合的。证明 由引理5和定理1即得。

此结论推广了文献[9]中的推论1。

定理2 若X连通，f是具有逐点伪轨跟踪性质的链可迁映射，则

(1)f是Ruelle－Takes意义下混沌的;

(2)f是拓扑混合的;

(3)f具有性质P。

证明 由引理2可知f是链混合的，从而∀n∈ℕ，fn链可迁。由引理3，若f具有逐点伪轨跟踪性质，则f敏感依赖于初始条件。由引理4即得f是Ruelle－Takes意义下混沌的.由定理1，可由f是链混合和具有逐点伪轨跟踪性质推出f是拓扑混合的，而f具有性质P可由引理6得到。

定理3 设(X，d)是紧致度量空间，f:X→X连续，若f是X上的具有逐点伪轨跟踪性质的等度连续映射，φ=K⊂X，f(K)⊂K，则f|K具有逐点伪轨跟踪性质，且对于任给ε＞0，存在δ＞0，存在一N＞0，K中任一δ伪轨{xi}ni=0(0＜n≤+∞)总被xNε逐点跟踪。

证明 因为f等度连续，则对于任给ε＞0，存在0＜δ＜ε，使得任意给定 x，y∈X，当 d(x，y)＜δ，有由于f具有逐点伪轨跟踪性质，对于，存在 δ1＞0，对 X 中的任一 δ1伪轨，总存在 N ＞0，(zN，zN+1，…)被 X 中某点跟踪。设{xi}ni=0(0＜n≤+∞)是 K中任一 δ1伪轨，故存在N ＞0，存在 y∈X，使得 d(fi(y)，xN+1又因为xN∈K，f(K)⊂K，所以任给 n∈Z+，fn(xN)∈K。而d(y，xN)，所以对于任给的n∈Z+，有d(fl(y)，fi(xN))，从而d(fi(xN)，xN+1)＜ε，即xN相对于f|K逐点伪轨跟踪δ1伪轨{xi}ni=0(0＜n≤+∞)。由ε，n的任意性知f|K具有逐点伪轨跟踪性质。

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