让数学教学留有痕迹

2014-08-15余文其浙江省余姚市肖东中学

基础教育论坛 2014年1期

余文其（浙江省余姚市肖东中学）

在倡导以人为本、注重自主探索与合作交流的过程教学的理念指导下，教师工作的最好评判者是普通学生而非名人专家.学生是教师的真正上帝.适合学生的、让学生留下深刻印象的教学，才是我们不断追求的方向和目标.作为一名数学教师，要让数学教学留有痕迹，需要我们具备哪些条件呢？

一、教师要成为感动学生的艺术家

一位出色的教师懂得教学不单是传授知识，而要有让知识变得生动活泼的能力，教师除了有科学敏锐的思维外，还要有感染力、亲和力和影响力.

（一）教师要发自内心地把学生当作“上帝”

学生是教师的工作对象，虽然他们大都因年幼而非常普通，但每一个人的发展潜力都很大，他们的前途无量.教师的一言一行，都影响着他们的发展.教师把学生当作上帝，尊重他们的个性，将给学生以充分的自信；教师像对待自己的子女一样呵护学生的健康成长，将给学生以爱的情感；同时教师要放下架子，明确自己不再是权威，而是指路人与引导者，给学生以平等的学习氛围，让学生真正体会自己是学校主人及自身肩负的读好书、做好人的重任.

（二）教师要有良好的精神状态

既自然放松，又集中注意力，是出色地完成各项工作的关键.一个人的情绪状态，影响着他的工作效率.出色的教师要有情绪的调控力，能随时转变角色，创造良好的学习氛围.这对解决数学问题、传播数学思想有较大的作用.数学上的解题，不单是一种智能活动，决心与情绪也起着很重要的作用；数学上的灵感也偏爱有强烈愿望的头脑.只有拥有积极的工作态度，才会有最佳的工作效率.

（三）教师要有极强的数学意识

首先教师要有数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力.在教学过程中，教师要注重数学语言的简洁性、数学计算的正确性、数学思维的严谨性，及教学过程的流畅性，让学生从中体会数学的特色.其次要搞清数学知识点的来龙去脉.数学教材中每个新知识点的出现，除公理外，其余都应通过旧知识的适当推导得出.教师在教学过程中，只有注重知识点的生长过程，才会使数学知识容易被学生接受.另外，教师要注重核心知识点的教学.如：懂得了用配方法解一元二次方程后，求根公式、韦达定理都可在此基础上适当变形得到.即讲授一元二次方程解法时，以配方法为重点，会使教学更有效.最后要注重数学问题是“特殊与一般的统一”.数学问题中，无论是代数，还是几何，每个问题都不仅对某一特殊情况时成立，在符合题设条件的一般情况下，都是成立的.如字母在允许取值范围内取不同值，或动点在允许变动的曲线上位置变化时，问题的结论往往不会变.为此在教学中，除了要注重问题解决外，更要注重问题的变式及开放性教学.同时，对一些问题还要注重用特殊值（或特殊位置）法，猜想结论，或说明结论的正确性.这对数学问题的可行性及解题的针对性很有帮助.

（四）教师要善于向学生学习

没有一个教或学的方法是唯一正确的.教师除了把学习作为终身的需要外，也要善于从学生中学习.在数学教学中，一题多解往往集中着不少学生的智慧.在新课程中，很多开放性的问题，是学生的答案使问题变得更丰富；如编制应用题，学生能从工程问题、行程问题、商品利润问题、物资分配问题、银行利息问题等角度，编出很有人情味的实际问题.教师只要把学生的劳动成果综合、分类，就能收到很好的教学效果.只有相信学生的能力，利用好学生的闪光点，才会使教学更贴近学生，适合学生的认知要求，才有受学生欢迎的新课程教学.

二、教师要让学生成为学习的主人

（一）教师要培养学生积极主动的思维意识

首先，会思考是解决问题的第一步.

好多问题未能解决，都是被扼杀在第一步——缺少思考，没有方法.“问题与解决问题的方法同时存在”，解决问题的方法是非思考而不可得.如数学测试的压轴题，常给学生很大的精神压力，认为这是非一般智力的人能解决的.殊不知，好多压轴题，你一旦着手做，发现它的起步还是简单的，只不过多涉及几个知识点，或多转了几道弯而已，大部分压轴题一般人都能解决.

另外，思考过的东西，是属于自己的，有着极强的生命力.

问题的解决，可通过自己的深思熟虑，也可通过参考别人的经验.但真正让你对问题举一反三的，只有经过自己的思维，唯有如此才能让知识长贮于头脑的仓库之中.确实，大脑的充实，与人身体的成长一样，都必须通过自身的努力，才会逐渐壮大.别人无法替代你成长，也无法输给你智慧.面对问题能自己解决的人，是不可战胜的.

在数学问题的教学中，学生都要经过一系列的问题训练，方可掌握相应的解决问题的方法.作为教师，要让学生清楚：我们的作业是为了更好地锻炼我们的思维，并能熟练地掌握解决问题的方法，而不是为练习而练习.如果你常依赖参考答案，或别人的方法，一方面问题训练没能达到预期的效果，另一方面，你将永远落伍.在你参考别人的方法之前，如果你已深思熟虑过，或者已有解题的思路和方法，或者仍在迷茫中，这样，你会更好地发现自己的弱点，从而清楚自己的努力方向.很多成功的学子，都少不了一本错题录，错题录中的问题，只有经过深入思考，才不会重蹈覆辙.

（二）教师要培养学生主动参与教学的全过程

教学过程是引导学生思维的过程.课堂教学中，教师要善于引导学生，给学生创设积极思维的情境，给学生以百家争鸣的空间，沿着解决问题的思路，步步深入，环环扣紧，以达到事半功倍的教学效果.

我们看过的或听过的东西，很容易变得模糊不清，而那些亲身经历过的事情却常常历历在目.数学学习也一样，学生只有主动参与教学过程，才会学有所获.

如“用替代物模拟实验中，抛一枚均匀硬币，如没有硬币，该怎么办？”除了书中指出的两张扑克，“黑桃”代表“正面”、“红桃”代表“反面”外，你还有什么办法？学生首先想到：摸两个球，一黑一白；抛一张牌看正、反面；转盘（两种颜色各占二分之一）；抓阄，两张纸上写上正、反等.然后引导学生从生活中找情境，经适当提示，学生也想到了：猜大小石子；猜盒子里有无东西；猜两根草的长短；抓一把棋子，猜单双数；掷骰子看奇偶数等.学生的思维被调动起来后，问题的答案便丰富多彩.由此可见，用替代物模拟一个实验的方法很多.面对这么多的方法，你会选择哪一种呢？经学生的七嘴八舌，最后统一为：“除了方法简单外，还要实验起来快”.接着给学生指出：下一节课用计算器模拟实验，可以在速度上来一个飞跃，让学生体会到知识纵深发展的无限性.这样，对掷一颗均匀骰子的摸拟替代物，变得简易了.接着给学生介绍民间“爬梯子”的游戏，让学生在游戏中增长知识，这样既激活了课堂，也做活了数学.

（三）教师要注重学生的动手实践

生活处处有数学.有这样一个问题：“五个苹果，平分给六个人，怎样分？”已学过分数的人很快会想到：每人分到六分之五个苹果，但六分之五却是一个难操作的问题.而家庭主妇是这样解决这个问题的：五个苹果分给六个人每人一个不够，就每人半个，还剩两个苹果，正好三人合用一个苹果.这样每人再分三分之一个苹果，使每人都得到两片苹果.这样的难题，经过家庭主妇的操作，就变得简单易行.

可见，对理论性很强的数学问题，除了严密的推理、分析外，还少不了动手实践的过程.犹如把灯泡放在盛满水的容器，用溢出的水的体积，来测灯泡容积一样，动手实践使抽象数学变得形象生动.在解决数学问题时，让学生使用画画、剪剪、拼拼、折折等方法，能使数学问题更容易理解，更容易解决.

数学的实践性，还体现在近似计算的教学中.数学教学中除了让学生会精确运算外，还要注重近似计算.它对生活实践同样有重要的意义.在生活中充满着近似计算，如你到超市购物，要估计所购物有否超出预计的费用，若光会数学中的精确计算，将会使计算变得很复杂，而一旦懂得估算法，就方便多了.另外，能利用好近似计算，还会使我们获益不少，如手套生产商，将右手的手套做得比左手稍大一些，这样的手套使用起来更舒适、更受欢迎，还会给厂家带来丰厚的利润.可见，动手实践做数学，除了解决书中的数学问题外，更多地要会解决生活中的数学问题.

三、教学过程必须联系学生的实际情况

（一）教学要符合学生的认知规律

人类在征服自然的过程中，并不是战胜了自然，而是顺应了自然.凡是按规律办事都是科学的.教学过程中，除了按数学的知识结构循序渐进地学习外，还要顺从学生的认知规律.教师不能把灌输知识作为法宝，要给学生思考问题的时间，让学生自己发现问题，讨论和研究问题并加以解决.学生即使一时不能解决问题，也能从中得到很多教益.

如在“正方形”的教学中，可以通过循序渐进、层层递进的教学方法，让学生留下深刻的印象.首先从“怎样在一张矩形纸上得到一个正方形及怎样将菱形变成正方形？”入手，得到正方形的性质及识别方法，然后提出“买方巾”的问题：有人去买方巾，觉得不够方，营业员就拿起来示范，先沿一条对角线翻折，两面重合展开后，再沿另一条对角线翻折，也重合，顾客就买了，你认为它是正方形吗？先让学生明确：这样操作说明这方巾满足什么条件？学生结合自己模拟操作，得出这方巾的四条边相等，只能说明这是菱形.然后要求学生增加适当的操作，说明方巾是正方形.再深化应用：“怎样很快地在一张纸上剪出正方形？”除了在矩形纸片上，通过一组邻边也相等的矩形剪出正方形外，利用对角线互相垂直平分且相等的特点也可以剪出正方形.再结合五角星的剪法，进一步深化学生对正多边形的认识.学生通过实际操作，一方面深化了知识点，同时也可把该问题与剪一般的正多边形联系，使抽象的正方形既活灵活现又承上启下.这样的教学总能给学生带来深刻的印象.

（二）教学中要引进科学思维中的“问题解决”

数学问题要能顺应学生的认知能力.每个问题的提出、展开，都要让学生意识到它的必要性与接受性.在数学问题中，只要追根溯源，就会发现新问题是旧问题的新组合，没有新的成分，只有新的组合.所有数学问题的解决，都可用“化归”的思想，让新问题转化为旧问题.如数学中所有的算术表达式，都以10个数字为基础.从小学中的四则运算，到代数式的化简，它的基本算理不变.所有的几何图形，都由点、线、面构成，复杂图形问题都能转化为三角形等基本图形来解决.可见，有了科学思维中的“问题解决”，无论对于解决新问题或发现新问题，都具有重要意义.

新教材汇集了老教材的许多精华，许多设计的问题都能从平淡中见新奇，如浙江版的“两点确定一条直线”这一知识点的教学，教材编排了这样一个例题：“1.过一点画直线；2.过二点画直线；3.墙上一根木条（结合图形）被一枚钉子钉住，木条位置确定吗？怎样将木条确定？”通过学生积极思维与动手操作，容易得出三个问题的答案：过一个点有无数条直线，过两点只有一条直线.第三个问题实质是前面问题的实际建模：用一枚钉子固定的木条，在墙上可任意转动（即过一点的直线有无数条），确定木条（由过两点的直线可画一条）只要再加一枚钉子，即“两点确定一条直线.”这样的设计将老教材中的难点变得形象生动.

（三）教学中要注重学生的个性化思维

最好的教学能适合所有智力品质及所有学习类型的学生.为此，教师要关注学生的学习过程，了解他们的学习水平.一方面发挥好尖子生的榜样及火车头的作用，使每堂课中，让每个学生都能“跳一跳，摘到桃子”；同时也要把握好知识点的深度，对不同的学生有不同的要求，并培养出超过教师本人的好学生为荣.这在课题学习中，尤为突出.

如在“高度的测量”的课题学习中，要求学生解决测量教学楼的高度的问题.结合所学的三角函数、相似等知识，学生思考出了很多方案.如：利用测角仪或三角板的特殊角，通过测仰角及观察点到建筑物的距离，根据解直角三角形的思路解决；利用同一时刻物体的影长与该物体高度的比是定值，测出建筑物的影长，及已知长度竹竿的影长来解决；利用光的反射定理，在人与建筑物间放一面镜子，使人看到镜子中的建筑物顶，再利用相似三角形的性质解决；有的想到通过一层的楼梯级数，及每级高度测出一层楼高，再结合层数求得总高度；还有的通过站在建筑物上方，利用测俯角或利用自由落体的方法解决等等.在具体测量时，有的同学直接利用自己脚的码数及自己的身高，不通过任何工具得到了解决，真是八仙过海，各显神通.

（四）教学中要注重学生思维的创新

教师是引导者，是领路人，教师要鼓励学生用不断更新的知识来解决数学问题.华师大版教材常用“老题新做”的思想意识，让学生在重温旧题中应用新知.如：“用给定长度的篱笆，围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域面积最大，而小亮认为不一定.你认为如何？”在学了正方形的性质后，学生通过操作、计算、比较，得出正方形的面积大，应该是小明说得对；但在学了平方差公式后，又提出了该问题.此时，学生可设一定周长为4a，如果围成正方形，那么其边长为a，面积为a2，如果围成一般矩形，设长为（a+b）（b≠0），则宽必为（a－b），而其面积为（a+b）（a－b）=a2－b2.因此围成一般的矩形比围成正方形的面积要小.这样一个典型的生活问题，通过直接解答及抽象成代数问题用巧妙的方法解决，使学生对抽象的代数也有了形象的概念，让“数形结合”的思想更生动活泼.这比单纯用常规的“二次函数求最值法”更有深远的意义.新教材注重用新知识解决旧问题的思想意识，既激励了学生的学习积极性，又使学生对数学问题的解决不只停留在能否解决上，而是要学生会用不断更新的方法来解决数学问题.