站在“平面几何”的肩上学习“立体几何”

杨曦

摘 要 高中“平面”是从局部学习立体几何的起始，对后续学习有重要作用，文章探讨了“平面”教学的重点，并对教学过程进行了设计，而设计的重要角度之一是类比“平面几何”的学习，将“立体几何”的学习与“平面几何”进行沟通，在学生已有知识的基础上进行教学设计。

关键词 平面几何 立体几何 教学设计

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0005-02

一、教学设计重点

对于“平面”这一课时的教学设计，重点应放在对“平面”概念的理解感受和对“三个公理”的理解上。

1.平面概念

平面是最基本的几何概念，是立体几何区别平面几何的重要元素，平面是一个描述性的定义，重点在于理解其性质，对平面概念的理解可以通过与直线进行类比的方式深化，并且可以贯穿在“三个公理”的教学中。

2.三个公理

对空间图形问题的研究经常都是借助或转化为平面的问题来解决的。“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，而这种转化又是空间图形中解决许多问题的一种重要思想方法，这种转化的最基本依据就是三个公理，可以说，刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题时进行逻辑推理的基础。

二、教学过程设计

1.平面概念与表示方法教学设计

（1）概念引入

“平面”是学习立体几何引入的新要素，在引入的时候可以联系之前学过的平面图形，如将长方形与长方体的概念进行比较，引入长方体的知识。具体的过程如下：

①提出问题：长方体是什么几何图形？它是由哪些几何元素构成的？它与长方形有什么不同？

②引导学生观察分析：长方体是由六个平面围成的封闭几何体，是由点、直线、平面三种几何元素组成的。（由此引出“平面”，长方体与长方形的不同让学生自由发现。）

（设计意图：通过对长方形和长方体的对比实现由平面几何到立体几何的过渡，初步直观地感受空间中“平面”这一重要元素。）

（2）概念深化

①列举生活中“平面”的例子，如桌面、黑板面、海面等，再让学生自己举例，直观感知生活中的平面，使这一概念更加具体形象化。

②进一步发现问题：如何表示平面？让学生讨论交流，然后师生共同概括得出结论，再提出问题：平面这种重要的几何元素能定义吗？教师再加以点拨：平面和其他几何元素点、直线一样，是只描述而不定义的数学原名，平面内有无数个点，则平面可以看成点的集合。

③类比“直线”得到“平面”的性质。通过类比直线的无限延伸性理解平面的无限延展性，并且类比直线“没有粗细”这一特点理解平面“没有厚薄”。也可以类比“直线将平面分成两个部分”思考“一个平面可以将空间分成几个部分？”（再一次从“平面几何”角度出发思考新问题。）

2.公理1教学设计

（1）提出问题：思考直线与平面的关系？（可联系“平面几何”中点与直线的关系思考），再让学生通过直观想象，并且结合生活中的经验思考问题，在学生得出结论后，教师给予评价，并且用教具直观演示直线与平面的各种关系。

（2）继续提出问题：那么在什么情况下能判断直线在平面€%Z内？如果直线与平面有一个公共点P，直线是否在平面€%Z内？如果直线l与平面€%Z有两个公共点呢？（结合生活实例，引导学生思考该问题：实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放在桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。）

（3）引出公理1并且将公理1符号化：由对上面的两个问题的解答可引出公理1，再指导学生将公理1转化成符号语言。

（4）深化问题：公理1可以推广到曲面吗？若不能，请举例说明。（提出该推广性问题的目的在于加深学生对“平面”的形象理解，感受平面是平的，也是对于平面概念的又一次深化。）

3.公理2教学设计

（1）类比平面几何中学过的“直线”相关知识点思考问题：两点能确定一条直线，那么两点能确定一个平面吗？若不能，要几点？（引导学生结合实例思考该问题：例如门、窗被两个合页点固定在门、窗的框架上，但门、窗代表的平面，可以绕两合页所在的直线转动。）

（2）进一步提问：三个定点能唯一确定平面的位置吗？

（3）引出概括公理2：在思考问题2时可先思考该问题：过三个定点能唯一确定圆的位置吗？学生则能发现过三个不在同一直线上的定点能唯一确定圆的位置，再进一步思考这能否说明过三个不共直线的定点能唯一确定平面位置吗？（因为圆本身就是封闭的平面图形，这三个定点唯一确定圆的位置就确定了圆所在的平面位置。）再举出生活中的例子：如三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等，并且通过这些例子体会公理2的简单应用。

（4）再将该公理推广到曲面提出问题：不在一条直线上的三个已知点，能否唯一确定曲面的位置？通过直观想象，让学生发现不在一条直线上的三个已知点不能唯一确定球面的位置，它只能确定过这三点的球面的一个截面图。（让学生充分理解公理2是平面的一个基本性质，不能推广到曲面，则进一步对平面有深刻的感知和理解。）

4.公理3教学设计

（1）实物操作并思考问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？

（2）观察长方体，发现两个平面相交成直线，这条直线叫做两个平面的交线，并且，相邻两个平面有一个公共点，且经过该点有且只有一条过该点的公共线，由此引出公理3。再指导学生将公理3用符号语言描述。

三、实施要点分析

1.类比“平面几何”相关知识学习新知

以上所设计的教学过程中很重要的一个角度是从“平面几何”的相关知识出发，从而引出新知识。通过提出问题，让学生联想学习平面几何时的类似问题及解答，从而得出自己的结论，并且向学生渗透“在解决立体几何问题时可以通过转化成平面几何的问题进行解决”的思想。endprint

但需要注意的是，平面几何只是作为学习立体几何的基础，并不是要在立体几何的教学过程中过分重视回到平面几何，从而弱化学生的空间几何观念，在教学中培养学生的空间想象能力也尤为重要。

2.“平面”的概念深化及其教学应贯穿在“三个公理”教学中

平面概念是学生相对陌生的概念，虽然掌握了平面几何的相关知识，但是对于空间中存在的各个平面的理解还是存在陌生感，尤其是平面的无限延展性等，因此在对平面概念进行教学时可以类比直线，将直线的性质拓展到平面。另外很重要的一点是区分平面和曲面，要能充分感受理解“平面是平的”，因此在教学中可以将“三个公理”推广到曲面，让学生思考平面与曲面的区别，从而深化对平面的理解。

3.教学应注重直观形象性

另外重要的一点是在高中立体几何教学的初始要注意直观形象性，因此借助实例来引入平面的概念是必要的，让学生感受生活中的平面。教科书给出的平面画法，主要是从“直观性”来考虑的，教学时要引导学生注意：画的平行四边形表示的是整个平面，需要时，可以把它延展开来，如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时却只画出一条线段来表示。

4.“三个公理”的教学

所谓公理，就是不必证明而直接承认的真命题，是进一步推理的出发点和根据。在进行三个公理教学时，要让学生尽快熟悉立体几何中的各种语言表述方法，因此在给出三个公理时，要同时使用三种语言的描述。

另外，在给出公理之前，先提出“思考”，引导学生的思维，并结合生活中的例子说明公理所描述的事实，以帮助学生更好地领会公理，并且要引导学生通过直观感知、操作确认、理性思考，以及三种语言的描述和相互转换，经历公理的归纳、概括过程，形成对公理的完整认识。

三个公理的各自作用也是在教学中需要让学生思考的，并且公理教学的过程中要穿插对平面概念的深化。为了使学生更好地掌握三个公理，教学中应当多给学生提供观察实物，用三个公理进行判断的机会，特别是要充分利用长方形这个模型。

参考文献：

[1]编写组.普通高中课程标准实验教科书数学必修（2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]编写组.普通高中课程标准实验教科书数学必修（2）教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]薛红霞.让学生体会立体几何学习的愉悦感——由高中数学《平面》课例说起[J].教育理论与实践，2009，（7）.

（责任编辑 曾 卉）endprint