两食饵-两捕食者捕食-食饵系统的持久性与全局渐近稳定性*

王 锐， 王 奇， 张友梅

(1.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601；2.合肥职业技术学院，安徽 巢湖 238000)

0 引 言

在多种群生物系统中，多个种群是否能够保持持续生存是一个值得关注的问题，很多学者通过建立微分方程的模型，对多种群生物动力系统进行了系统的研究.常见生物种群可以分为捕食-食饵关系、竞争关系、互惠互利关系等.此处讨论一类两食饵-两捕食者捕食-食饵系统：

(1)

其中，xi(t)和yi(t)，i=1，2分别代表t时刻食饵和捕食者的种群密度；函数ai(t)，bi(t)，ci(t)，di(t)，hi(t)，gi(t)，ki(t)，pi(t)，qi(t)，ri(t)，i=1，2均为t∈[0，+∞)上的连续有界正函数.

1 预备知识

xi(t0)>0，yi(t0)>0，i=1，2，t0≥0

(2)

则称系统(1)是全局渐近稳定的.

证明系统(1)等价于

引理3 系统(1)满足初值条件(2)的解(x1(t)，x2(t)，y1(t)，y2(t))，若满足条件

(3)

则有

是系统(1)的最终有界集.

那么，由引理1得到

1) 若x1(t0)≤N1，则对t≥t0，有x1(t)≤N1.

2) 若x1(t0)>N1，则存在τ>0，当t∈[t0，t0+τ]时有x1(t)>N1，由已知条件知

故存在T1≥t0≥0，当t≥T1时，有x1(t)≤N1.

类似的讨论可以得到

由系统(1)的第3个方程知

那么，由引理2得到

类似前面的讨论，若y1(t0)≤M1，则对t≥t0，有y1(t)≤M1；否则，存在T2≥t0≥0，当t≥T2时，有y1(t)≤M1.

同理，可以得到

以及y2(t)≤M2.于是，存在T≥0，当t≥T时，有0

2 主要结果

定理1 设条件(3)成立，若存在常数n1，n2，m1，m2，满足

(4)

则

证明由引理3知，存在T≥0，当t≥T时，集合Ω0是系统(1)的最终有界集.

于是，由系统(1)的第1个方程知

1) 若x1(t0)≥n1，则对t≥t0，有x1(t)≥n1.

2) 若x1(t0)0，当t∈[t0，t0+τ]时有x1(t)

故存在T3≥t0≥0，当t≥T3时，有x1(t)≥n1.

类似讨论得到

以及x2(t)≥n2.

由系统(1)的第3个方程知

仿照前面的讨论，若y1(t0)≥m1，则对t≥t0，有y1(t)≥m1；否则，存在T4≥t0≥0，当t≥T4时，有y1(t)≥m1.类似以上讨论得到

以及y2(t)≥m2.

综合以上讨论，在式(3)(4)之下，存在T>0，当t>t0+T时，恒有(x1(t)，x2(t)，y1(t)，y2(t))∈Ω，因此，Ω是系统(1)的正不变集和最终有界集，故系统(1)是一致持久的.

定理2 设式(3)(4)成立，若

(5)

计算V(t)沿着系统(1)的解的右上导数，有

由条件(5)知，存在常数ε>0，使得

(6)

其中，

将式(6)两边从t0+T到t积分，有

那么就得到

因此

由系统(1)解的一致性及其导数的有界性可知，在[t0+T，+∞)上，有

是一致连续的，由Barbalat引理[10]知

参考文献：

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