铀矿堆浸分形动力学模型

宋键斌，丁德馨，叶勇军，李广悦，扶海鹰，胡 南，王永东

(南华大学 铀矿冶生物技术国防重点学科实验室，湖南 衡阳 421001)

堆浸是现代工业回收金属矿物最常用的技术之一[1-2]，它是一将有用元素从矿石转移到浸出液中的固液转移过程[3]，有投入低、见效快、操作管理简单、环境友好等诸多优点[4]，所以在低品位铀矿的回收利用方面得到了广泛应用[5]。

可靠的工艺数据参数需从综合的柱浸试验程序中按比例获取，因此，许多学者在堆浸模型和理论方面展开了大量研究。Box等[6]首次提出堆浸的数学模型，该模型主要体现了颗粒大小及孔隙率与浸出率的关系。Dixon等[7-8]在扩散模型的基础上，考虑了渗流速率、矿堆高度、溶浸液浓度以及颗粒孔隙度、粒径等因素对浸出的影响，建立了从球形颗粒中浸取多种固体反应物的数学模型。Lizama[9]对堆浸矿石粒度的影响进行了研究，在对各小范围离散粒径分布的矿石开展的浸出试验中，分别取其粒径平均值和标准差进行了数值模拟。Mellado等[10]基于伯努利方程建立了堆浸的多个解析模型，用于识别不同规模浸堆的浸出时间特征。

目前国内外众多堆浸模型在研究矿石颗粒大小对浸出的影响时，大多采用矿石平均粒径代替全矿粒径，或只考虑小范围离散型粒径分布矿石的浸出效果，这与生产实际相差甚远。事实上，矿石经破碎机破碎后，粒径分布更广泛，且具有其特定的粒径分布特征，分布规律取决于破碎机的参数和矿石的性质。自Mandelbrot创立分形几何学以来，分形理论已被广泛运用于各个领域，矿物冶金方向也有所涉及。Fazeli等[11]认为可用粒径分维数来描述具有特定粒径分布特征的矿石，曾晟等[12]研究了矿岩破碎块度分形分布对铀浸出的影响，这些研究表明形状与大小各异的岩体颗粒具有其特定的分形特性，且不同的分维数和有用元素的浸出有着密切的联系。

本试验将基于Mellado等于2009年建立的堆浸解析模型，对具有不同粒径分布特征的铀矿石散体开展室内柱浸试验研究，分析铀矿石浸出率变化规律与分维数的关系，并建立不同粒径分维数铀矿石的浸出动力学方程。

1 动力学分析

Mellado等研究了矿石堆浸的规律，建立了如下动力学方程：

(1)

(2)

Mellado等提出，当堆浸过程中溶剂的DAe、ε0、εh等不变时，不同粒径矿石的浸出率与时间的函数关系式为：

(3)

他们用该方程对Dixon等的实验数据进行了拟合，取得了良好的拟合结果。值得注意的是，在拟合过程中Mellado等用平均粒径代替了全矿粒径，显然这和实际不相符，一个生产矿堆的矿石具有其特定的粒径分布特征，不能简单地用平均粒径代替。

Fazeli等认为可用粒径分维数来描述具有特定粒径分布特征的矿石，其假设在某一三维空间内，不小于某一粒径R的颗粒构成的全体体积V为：

V(r>R)=Cv[1-(R/λv)3-D]

(4)

式中：Cv和λv分别为描述岩块体积形状和尺寸的常数；V(r>R)为颗粒尺寸不小于R的颗粒体积；D为粒径分布分维数，D∈(0，3)。

若不同颗粒大小的矿石密度ρ相同，将式(4)变形，得到小于粒径R的矿石的质量M(r

(5)

式中：MT为所有矿石的总质量；RL为矿石的最大粒径。

这里，将质量为M(r

πNρR3

(6)

(7)

对式(7)继续简化，得粒径R和分维数D的函数关系为：

(8)

(9)

将式(8)、(9)代入式(2)得：

(10)

其中：q=3(1-εh)DAe；kτ′=kτDAe/ε0。

而Mellado等[14-15]又认为由于堆浸过程中，矿堆不同深度存在不同程度的沟流、沉淀、结块等现象，极大地影响了内扩散和外扩散，使得有用元素不可能完全浸出，那么y∞→1不成立，则提出y∞随矿堆深度的变化关系如式(11)所示，并已证实其符合事实规律。

(11)

同样地，我们认为不同分维数的铀矿石也存在着上述现象，y∞也将因分维数的变化而变化，这里先假设y∞随分维数的变化关系如式(12)所示：

y∞=y∞(D)

(12)

α=α(D)

(13)

那么，在不考虑堆浸过程中DAe、ε0、εh等变化时，不同粒径分维数矿石的浸出动力学方程即为式(14)：

y(t)=R∞(D)(1-(1-α(D))·

(14)

2 试验

2.1 试验材料

试验用铀矿石取自我国南方某铀矿山，破碎后粒径分布在0～9 mm之间，经标准的实验分析，其主要化学成分列于表1。由表1可知，矿石化学成分复杂，脉石矿物主要是硅酸盐类矿物，由于该铀矿企业工业生产中采用酸法浸矿，所以本文也采用酸法浸出开展试验研究。

表1 试验铀矿石的主要化学成分

2.2 试验方法

用标准筛将铀矿石原矿筛分成10个不同粒级范围(0/-0.5、+0.5/-1、+1/-2、+2/-3、+3/-4、+4/-5、+5/-6、+6/-7、+7/-8、+8/-9 mm)，设定每组分维数铀矿石样重为10 kg，根据式(5)对各粒级铀矿石称取相应的质量，分别配制成5组分维数为1.6、1.8、2.0、2.2、2.4的试验矿样。例如分维数为2.4的矿样，各粒级铀矿石称取量分别为1.77、0.91、1.38、1.12、0.97、0.88、0.81、0.76、0.72、0.68 kg，然后充分混合均匀。5组矿样相对应的各级铀矿石含量累积百分比如图1所示，根据试验分析，相应的品位分别为0.172%、0.173%、0.175%、0.179%、0.180%。

试验柱示意图如图2所示。柱长106 cm、内径88 mm，材质为耐酸有机玻璃。装矿前、后，为了消除端部效应，在试验柱的底部和顶部分别铺设3 cm厚、粒径1～2 mm的石英砂。装矿过程中，将试验柱倾斜，缓慢倒入铀矿石，尽量减弱铀矿石因从高处倒入而产生的偏析现象。顶部石英砂铺设完后，在其表面正中央放1块扁平鹅卵石，然后盖上密封盖。

图1 不同粒径分布分维数铀矿级配图

图2 试验柱示意图

布液前用适量清水将每根试验柱的铀矿石润湿，随后按液固比为0.1 L/kg的比例，每天配置1 L一定浓度的稀硫酸溶液，并连续布液8 h，硫酸浓度根据试验柱浸出液pH值的变化做相应调整，确保后期浸出液pH值在1～2之间。布液记录如表2所列，稀硫酸浓度平均值为16.4 g/L。持续的监测随即展开，在第2天布液前，分别从各集液池取样，监测样品的pH值、电位、铀浓度等。

2.3 试验结果与讨论

5组具有不同粒径分维数特征的铀矿石对应的铀累积浸出率随布液时间的变化趋势如图3所示。由图3可知，浸出初期浸出率缓慢上升，且分维数越大浸出率上升越慢，持续时间也越长；浸出中期浸出率先迅速增大而后放缓，分维数不同浸出速率和持续时间皆不同；而中、后期速率稳定且分维数高的试验柱的浸出率逐渐超过分维数低的试验柱的浸出率。

表2 布液记录

图3 不同粒径分布分维数矿样铀累积浸出率随布液时间的变化

观察布液终点铀累积浸出率的值随分维数的变化趋势，并结合y∞∈(0，1)，假设y∞随分维数的变化如式(15)所示，且同时假设α随分维数的变化关系如式(16)所示：

(15)

(16)

当然，y∞和α与分维数的关系式有很多种选择，对于不同分维数的铀矿石，不论浸出条件如何，y∞和α均须满足y∞∈(0，1)、α∈(0，1)，依据此条件方能判定式(15)、(16)是否能正确表示铀浸出规律和不同分维数的关系。

将式(15)、(16)代入式(14)得：

(17)

用Matlab6.5将图3中的实测值对式(17)进行拟合。拟合前首先将已知条件代入式(17)中：由稀硫酸平均浓度16.4 g/L换算得硫酸体积分数为0.009 1，即εb=0.009 1；拟合时以天为基本时间单位，则由布液量除以截面积再除以时间得到布液强度us=49.35 cm3/(cm2·d)；试验柱装矿高度z=100 cm；铀矿石最大颗粒半径R=0.45 cm。然后设定拟合的边界条件：p∈(1，∞)，q∈(0，∞)，m∈(0，∞)，n∈(0，∞)，kθ∈(0，∞)，kτ′∈(0，∞)。需指出的是，5组数据需同时拟合，这样获得的方程方能用作其他分维数情况下的插值计算或验证，本文利用Matlab6.5的面拟合工具。

拟合结果如图4所示，参数p=5.766，q=448.5，m=3.102，n=1.102，kθ=0.001 376，kτ′=0.144，拟合相关系数为0.977 8。

图4 不同分维数铀矿石铀累积浸出率随布液时间变化的面拟合图

将拟合结果代入式(15)、(16)，当分维数取不同值时，y∞和α相应的计算值分别为：y∞(D=1.6)=0.813 9、y∞(D=1.8)=0.834 6、y∞(D=2.0)=0.851 1、y∞(D=2.2)=0.864 7、y∞(D=2.4)=0.876；α(D=1.6)=0.493 9、α(D=1.8)=0.550 2、α(D=2.0)=0.595 1、α(D=2.2)=0.631 9、α(D=2.4)=0.662 6，这些均符合y∞∈(0，1)、α∈(0，1)的要求，说明式(15)、(16)能正确表达y∞和α关于分维数的关系。

2.4 试验验证

为验证式(17)作为不同粒径分维数铀矿石的浸出动力学方程是否合理，另称取1组总重约10 kg的原矿，该组铀矿石相应的各粒级铀矿石含量累积百分比如图5所示，将图5中的数据转换后按式(5)拟合得到原矿的分维数为1.902。

图5 铀矿石原矿级配图

与其他试验柱相同，装铀矿石前、后，在试验柱的底部和顶部分别铺设3 cm厚、粒径1～2 mm的石英砂，用适量清水润湿后，按液固比为0.1 L/kg的比例，每天配置1 L一定浓度的稀硫酸溶液，并连续布液8 h，硫酸浓度根据试验柱浸出液pH值的变化做相应调整，确保后期浸出液pH值在1～2之间，柱浸35 d后，获得1组浸出率实测数据。同时将2.3节中拟合出的参数代入式(6)，令D=1.902，获得1组分维数为1.902的铀矿石浸出率的预测值，将预测值和实测值相比较，结果如图6所示，两者标准差按下式计算：

图6 铀矿石原矿累积浸出率实测值与预测值的比较

(18)

计算得到d=0.057 1，这表明拟合值与实测值的平均相对偏差为5.71%，相对偏差较小，其主要是由试验误差及拟合中各参数的变化引起的。很显然，拟合结果能很好地反映不同分维数铀矿石浸出率随时间的变化规律，也即表明式(17)可作为不同粒径分维数铀矿石的浸出动力学方程。

3 结论

1) 本文基于分形理论，用堆浸铀矿石的粒径分布分维数代替其平均粒径，对Mellado等提出的矿石堆浸动力学模型进行了改进，进一步通过柱浸试验，采用拟合法确定了铀矿堆浸分形动力学模型参数y∞和α与分维数的关系，从而建立并验证了如下铀矿堆浸分形动力学模型：

2) 依据试验结果，该铀矿堆浸分形动力学模型不论是对不同分维数铀矿石浸出规律的拟合，还是对其他任意分维数铀矿石浸出规律的预测，都有较好的精度。

3) 由于破碎设备、工艺等不同，实际生产中的铀矿石具有不同的分维数，其堆浸效果也不尽相同，建立铀矿堆浸分形动力学模型，研究不同分维数铀矿石的浸出规律，对指导调控破碎条件、提高铀浸出率有一定的现实意义。

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