有关“反比例函数(第1课时)”若干问题问答

●

(象山教育局教科研中心 浙江象山 315700)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标(2011年版)》)倡导培养学生智慧的“过程教育”——关注数学结果的形成与应用的过程(特别是活动的内化过程)和蕴含的数学思想方法．但调研后发现大多数教师的课堂教学不符合“过程教育”的要求．“过程教育”指导下的浙教版课标教材八年级下册“6.1反比例函数(第1课时)”的教学应该怎样操作？本文以问答的形式呈现这节课的几个节点问题及参考答案,供读者参考、研究．

问

数学结果是课程内容的主要组成部分．这节课涉及哪些数学结果？其逻辑关系是什么？其地位与作用分别是什么？

答

数学结果是具有显性特征的数学活动成果(思维的结果、经验的结果)，它包括数学中的事实、概念、性质、定理、公式、法则、规律、方法、问题与结论等．根据数学结果的含义，可从反比例函数的概念体系中析出这节课涉及的数学结果有：产生反比例函数的方法；反比例函数的概念(包括名称、定义、属性、示例、一般形式、自变量的取值范围等)和定义反比例函数的步骤；用反比例函数解决具体问题的思想方法．其逻辑关系可用图1表示．

图1

反比例函数也是一种有代表性的具体函数，它在现实生活中有丰富的情景；这节课涉及的用反比例函数知识解决具体问题的思想方法是函数思想方法的具体化；具体到抽象和一般到特殊的研究方法对认识数学有指导作用．从“生活现实”中抽象出反比例函数的过程和蕴含的生活常识、函数思想方法；定义反比例函数的步骤和蕴含的归纳思想；用反比例函数知识解决实际问题的过程和蕴含的解题策略、方法和技巧等，这些对发展学生智力、能力和个性有积极的影响．

问

数学结果的形成、应用的过程和蕴含的数学思想方法也是课程内容的有机组成部分．这节课的认知过程、认知条件及认知价值分别是什么？

答

认知过程是指获得有关数学结果的步骤．必要条件是学习中不可缺少的条件——学习新知识必须具有的先决条件；支持性条件是对学习起“催化剂”作用的条件——数学认知策略、数学思想方法、数学活动经验、态度等．运用学习任务分析理论，获得反比例函数概念的认知过程和认知所需要的条件的分析结果可用图2表示．

图2

从图2可以看出：获得反比例函数概念的基本步骤是：①从“生活现实”中抽象出具体反比例函数；②观察并归纳反比例函数的特征；③用文字和符号定义反比例函数．获得反比例函数概念的必要条件是：能理解生活中的特定变量关系问题．获得反比例函数概念的支持性条件是：列函数关系式的经验、多角度观察研究对象特征的经验、归纳思想和定义研究对象的经验．尽管反比例函数可以看成是来源于生活世界，也可以看成是数学自身逻辑的产物，但采用从“生活现实”中产生反比例函数的方式能体现函数思想方法．类似地分析获得其他数学结果的认知过程和认知条件，可以析出“反比例函数(第1课时)”的认知价值有：从“生活现实”中抽象出反比例函数的过程、定义反比例函数的过程、用数学结果解决实际问题的过程等，其蕴含的生活常识、函数思想、定义的步骤及归纳思想、解题的策略、方法和技巧等，对发展学生的智力有积极的影响.

问

学习结果是教学目标的基本成分．这节课涉及哪些学习结果？

答

依据《课标(2011年版)》倡导的学习结果分类理论，从涉及数学结果的逻辑结构和获得数学结果的认知结构中可以析出其“结果性”学习成果有：事实性知识——反比例函数的名称；概念性知识——反比例函数的概念；程序性知识——产生具体反比例函数的方法，定义反比例函数的步骤，用反比例函数解决实际问题的方法；元认知知识——研究反比例函数采用的具体到抽象和一般到特殊的思维策略，产生反比例函数蕴含的函数思想方法，定义反比例函数蕴含的归纳思想，用反比例函数解决实际问题蕴含的函数思想方法等;知识技能——能在具体情境中识别反比例函数；理解概念——能陈述反比例函数与一次函数的区别与联系；运用规则——会用求函数值的方法求反比例函数的函数值；解决问题——会用反比例函数解决简单的实际问题[1]．其“过程性”学习成果可能有：在产生并感悟反比例函数过程中的个性化表现和个性化感悟；在定义反比例函数过程中的个性化想法和个性化表现；在用反比例函数解决具体问题过程中的个性化想法与个性化表现；在获得数学结果之后反思过程中的个性化体验及对学习反比例函数意义的感触等．

问

教学内容是实现教学目标的关键．依据全面的内容观和辨证的哲学观，这节课的教学内容应该是什么？

答

全面的内容观指数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成与应用的过程和蕴含的数学思想方法．辨证的哲学观指在诸多的教学内容中，要选择最基本、最核心、最主要、最关键、有广泛应用的内容，且要根据学生的现实来确定能满足学生需求的教学内容．由此可知这节课的教学内容可以是：产生反比例函数的方法和蕴涵的函数思想方法；反比例函数的概念(包括名称、定义、属性、示例、一般形式、自变量的取值范围等)及定义反比例函数的步骤和蕴涵的归纳思想等；用反比例函数解决有代表性问题的过程及蕴涵的解题策略、方法和技巧；反比例函数与一次函数的区别与联系，研究反比例函数的思路．

问

答

一定的教学结构反映了一定的教学思想，基于“过程教育”的教学结构应当是逻辑连贯的，并且要符合数学的发展规律(数学的发现、数学的完善、数学的应用)、学生学习数学的认知规律(特殊到一般、具体到抽象、现象到本质、实践到理论、简单到复杂、局部到整体、较弱的结论到较强的结论等)和教育的规律(在数学学习活动的过程中，理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想、发展能力和个性)．按这个观点，这节课的教学结构可用图3表示．这是一个“简单、自然、动态、和谐”的数学教育过程，能使学生经历完整的数学思考过程，对促进学生认知与情感的变化与发展有积极的影响．

问

依据“过程教育”，“经历产生并感悟反比例函数的过程”的教学怎样操作？

答

首先，教师指出：我们知道，现实生活中许多变量关系问题可以转化为一次函数问题．一次函数够用了吗？请大家根据下列问题中的条件列出函数关系式．

根据浙江省象山县旅游资料记载：石浦码头到鹤浦码头的距离是4海里，一艘航船从石浦码头开往鹤浦码头，记航船全程的行驶时间为x小时，航船行驶的平均速度为每小时y海里．问：y关于x的函数关系式是什么？当x=2时，y的值是多少？其实际意义是什么？

其次，教师组织学生交互反馈，并在反馈交流的基础上引导学生反思:

(1)解决这个问题经历了哪几个步骤？

(2)你对这种函数有何感触？

第三，教师在学生合作研讨的基础上进行总结性讲解．

(1)解决这个问题经历了3个步骤：①分析——析出常量和变量及变量之间的关系；②列式——根据变量关系列函数解析式；③求值——根据自变量的值求出对应的函数值．

(3)正因为这种形式的函数在生活中有丰富的应用，所以就决定了认识这种函数的必要．这节课的研究对象就是这种新形式的函数——反比例函数(揭示课题).

评析

尽管产生反比例函数有多种方式，但从“生活现实”中抽象出反比例函数能体现函数思想方法，并有助于学生感悟反比例函数生活情景的广泛存在性．这个经历性数学活动的内容不仅包括具体反比例函数及其产生方法，也包括蕴含的生活常识、研究反比例函数的必要性等；教学采用了“先行组织者”引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师总结性讲解的方式．这符合“过程教育”——既有认知过程的前半段：创设有价值的情境、合作解答问题，以产生符合题意的反比例函数；也有认知过程的后半段：解答具体问题之后的反思，以满足学生感悟蕴含的函数思想方法、反比例函数现实情景的广泛存在性和研究反比例函数的必要性．这种关注“两段”的认知过程，能建立新旧知识之间的内在联系和激发学生的学习兴趣．

问

依据“过程教育”，“参与定义反比例函数的活动”的教学怎样操作？

答

第四，教师引导学生反思：定义反比例函数的基本步骤是什么？你认为反比例函数还应该研究什么？

教师在学生合作研讨的基础上进行总结讲解．

(1)定义反比例函数的基本步骤：①从“生活现实”中抽象出具体反比例函数；②观察并归纳反比例函数的特征；③用文字和符号定义反比例函数．

在这个过程中蕴含的数学思想有：变化与对应思想、符号表示思想、归纳思想等．

(2)像研究一次函数一样，我们还应该研究反比例函数的图像和性质及其在实际中的应用．

评析

尽管反比例函数概念教学要求是了解，但教材将反比例函数概念的定位处于“归纳”层次，并且定义反比例函数步骤对以后学习其他研究对象有指导作用．这个参与式数学活动的内容不仅包括反比例函数概念，也包括形成反比例函数概念的过程和蕴含的数学思想；教学采用了“有导学味问题”引导下的先“放”后“收”的适度开放的方法．这符合“过程教育”——既有认知过程的前半段：合作观察并归纳反比例函数的特征，以形成反比例函数的概念；也有认知过程的后半段：获得反比例函数概念之后的反思，以感悟定义反比例函数的步骤、蕴含的归纳思想及进一步需要研究的问题．这种关注“两段”的认知过程，能使学生经历获得反比例函数概念的思维“站点”．

问

依据“过程教育”，“参与尝试概念应用的活动”的教学怎样操作？

答

首先，教师要求学生合作解答下列问题．

(1)下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？

教师在学生合作解答的基础上追问：判断给定函数是不是反比例函数的依据是什么？求函数的值有几种方法？

其次，教师引导学生解决下列问题．

图4

如图4，阻力为1 000 N，阻力臂长为5 cm.设动力y(N)，动力臂为x(cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计．当杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂),问：

(1)y关于x的函数解析式是什么？自变量x的取值范围是什么？

(2)当x=50时，函数y的值是什么？其实际意义是什么？

第三，教师引导学生反思：解决这个问题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？

教师在学生合作研讨的基础上进行总结性讲解．

(1)策略：运用转化思想将实际问题转化为函数问题．

(2)方法：①引进2个表示变量的字母；②建立函数解析式；③根据自变量的值求出对应的函数值；④用求出的函数值回答实际问题的答案．

(3)技巧：①分析——析出涉及的常量、变量及变量关系；②列式——根据变量关系列出函数解析式；③求值——根据自变量的值求对应的函数值；④回答——根据求出的函数值回答实际问题的答案．

评析

用反比例函数概念解决具体问题是整节课认知过程的后半段，并且其学习结果类型有“知识技能”、“运用规则”、“解决问题”．这个参与式数学活动的内容不仅包括用获得的数学结果解答有代表性的问题，也包括解题的过程和蕴含的解题策略、方法和技巧；教学采用了“有代表性问题”引导下的学生独立学习基础上的汇报交流和汇报交流基础上的教师反思性追问的方法．这符合“过程教育”——既有认知过程的前半段：引导学生经历独立学习基础上的交流与评价解法的过程，以再认反比例函数概念和发展智慧技能；也有认知过程的后半段：解决具体问题之后的反思性追问，以明确判断的依据、再认求函数值的方法和用函数解决实际问题的策略、方法和技巧．这种关注“两段”的认知过程，能发展学生智慧技能和进一步认识函数思想方法．

问

依据“过程教育”，“参与回顾与思考的活动”的教学怎样操作？

答

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考．

(1)本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

(2)反比例函数的本质特征是什么？定义反比例函数经历了哪几个步骤？

(3)用反比例函数解决实际问题的基本步骤是什么？

(4)类比研究一次函数的经验，你认为反比例函数还应该研究什么？

其次，教师要求学生交互反馈，同时教师进行激励与评价．

第三，教师在学生交互反馈的基础上总结本节课的研究内容和研究方法．

评析

课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义．这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容，也包括回顾研究方法；教学采用了“问题清单”引导下的学生独立回顾与思考基础上的交互反馈和交互反馈基础上的教师总结性讲解的方式．这符合“过程教育”——既有认知过程的前半段：“问题清单”引导下的学生独立学习基础上的交互反馈，以回顾研究内容和研究方法；也有认知过程的后半段：学生交互反馈基础上的教师总结性讲解，以总结研究内容和研究方法．这种关注“两段”的认知过程，有助于学生深化认识、增强反思意识和发展语言表达能力．

高效能的课堂教学应该既有认知过程的前半段，也有认知过程的后半段．对整节课来说，前半段的主要任务是获得数学结果，后半段的主要任务是用获得的数学结果解决问题．对每个教学环节来说，认知过程前半段是感性到理性的认识过程，以获得数学结果，认知过程后半段是通过反思的形式来加深理性认识并反作用于实践．但当前课堂教学中，每个教学环节的前半段认知过程短暂——没有经历必要的思维“站点”，后半段的认知过程缺失——砍掉了获得数学结果之后的反思过程，导致学生失去了欣赏数学结果、感悟蕴含的数学思想方法等的机会．这不能满足学生全面、和谐发展的需要．

以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面,但对帮助教师理解《课标(2011年版)》倡导的“过程教育”及其操作方法有积极的作用，对发展教师的实践性智慧也有积极的影响．

参 考 文 献

[1] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2011年版)[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．