一类圆锥曲线中的定值、定点问题探究式教学设计

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(苏州工业园区第二高级中学 江苏苏州 215121)

1 内容简介、教法和目标分析

圆锥曲线的定值、定点问题是近几年高考的热点和难点问题之一，要求学生在变化的曲线或者方程中找到不变的因素，即动中有静，静中有动，动中窥静，以静制动.这类问题综合性强，计算量大，很多师生感觉无从下手.笔者重点研究了一类圆锥曲线的定值求法、应用以及由此产生的定点问题.

本节课采用探究式教学法，探究式教学法又称发现法、研究法，是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法.在高三教学中，单纯让学生自己探索不太现实.在教师的精心预设和导引下，师生共同探索问题的结论、规律，提炼研究的方法，应用研究的结论探索新的问题是可行的.这既符合素质教育的要求，也能培养学生应试的能力.

本节课课前教师给出3个问题供学生预习，提炼结论和方法，主要让学生体验类比推广、一般化的研究思路，也让学生学会设而不求的思想方法.课堂共同探究则给出了更为一般的情形，并且类比猜想出相应双曲线的结论，进一步培养学生一般化、类比猜想的能力.

考题链接主要是结论的应用，这是应试教育的需要.节外生枝则是在应用结论的同时产生圆锥曲线的定点问题.定值和定点问题的完美链接是本节课的亮点之一，探究这类问题不仅渗透了“无关”(和参数无关)的思想方法，还进一步培养了学生一般化和类比推广的能力，同时培养了学生对数学美的鉴赏能力.

2 教学过程

2.1 课前预习

问题1

已知AB是圆O的直径，点P是圆O上异于A,B的点，k1，k2是直线PA,PB的斜率，则k1k2=______.

问题2

图1

问题3

设计意图

设计3个递进的问题让学生课前完成，让学生体验圆与椭圆的可类比性，提炼一个常用结论，学会设而不求的思想方法.

2.2 合作探究

问题4

问题5

设计意图

进一步一般化，达到和圆中的结论完美类比，可以让学生先猜测再验证.该结论揭示了圆和椭圆的内在联系：圆可以看成椭圆的特殊形式(即a=b).同时把这个结论类比推广到双曲线，扩大了类比的范围.

2.3 考题链接

问题6

(2)略.

(2012年天津市数学高考理科试题)

分析

问题7

(2012年江苏省南通市第二次数学模拟考试题)

分析

反思

本题还可以建立直线BD的方程，和椭圆方程联立求出点D的坐标，从而求得CD的斜率.

图2 图3

问题8

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.

(2011年江苏省数学高考试题)

分析

(1)(2)略.

即

kAP=2kAB，

故

kPAkPB=-1.

设计意图

3道考题的难度拾级而上，体现了问题4所得出结论的重要性以及应用的广泛性.

2.4 节外生枝

问题9

已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切.

(1)求直线l1的方程.

(2)设圆O与x轴交于点P,Q，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点的坐标.

(2010年江苏省徐州、淮安、盐城、连云港第三次

数学模拟考试题)

分析

(1)略.

反思

在解决有关定点问题时，常采用“无关”的思想，即与除主元x,y外的参数无关，只需令这些参数的系数为0，便可得到定点.

设计意图

由定值问题生成定点问题，定点问题和定值问题完美链接，体现数学的规律之美、奇异之美.

图4

问题10

分析

本题把圆换成了椭圆，类似于问题9的方法也能解决本题.

设计意图

进一步类比迁移到椭圆之中，巩固问题9所得到的方法，也为学生提出更为一般、更有创意的问题作铺垫.

2.5 提出问题

鼓励学生提出一些问题，选择一些有价值的问题供学生课后探索.当然，教师要精心预设一些有价值的问题：

问题11

问题12

(一般化推广1)直线l改为x=m，定点的坐标是什么？

问题13

问题14

(类比推广)问题10中椭圆方程换成双曲线x2-y2=1，圆C是否过定点？

问题15

设计意图

有了前面一般化推广和类比推广的范例，学生可能提出以上一些有价值的问题.教师精心预设是必需的，这样可以从容应对课堂上出现的各种“意外”.

2.6 总结反思

引导学生从结论、方法等各方面进行总结，争取达到理性的升华.本节课的基本结构如下：

3 几点思考

3.1 教师角色的定位

首先，教师要成为教学活动的引导者，合理地设计教学过程，规划课堂教学内容，创设问题探究情境，鼓励学生大胆地进行怀疑、批判，培养他们获取、分析和运用知识的能力和积极探索的精神.本节课教师精心设计的问题为学生探索发现提供了蓝本，学生从中学会了“类比”和“一般化”2种推广方式.

其次，在探究的过程中，师生成为探究过程的合作者.学生在独立探索的基础上，和教师、学生交流自己的成果.教师在探究过程中与学生建立友好的师生关系，为学生提供必要的辅导和帮助，平等地与学生进行探讨，共同解决学习难题.

最后，教师是教学活动的有效评价者，不应只关心探究学习的结果，也不应仅关注探究教学的过程，而应该以促进学生发展为中心目标，树立全面、正确的评价观.教师要客观地对学生在探究学习中的表现作出适当评价，又要引导学生进行自我评价，使学生形成正确的自我认识，从而激发学生学习的内驱力.学生限于知识层次和视野，可能提出一些比较幼稚的问题，教师应当发掘其合理成分，积极引导学生向更深入的层次探索.

3.2 学生探究能力的培养

新的《高中数学课程标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

本节课主要采用“类比探究”和“一般化探究”2种方式.“类比探究”是根据2个对象之间在某些方面的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同.本节课由圆的性质联想到椭圆的性质，再类比联想到双曲线的性质.这里既有结论的类比，也有解题方法的类比.“一般化探究”可使人们对问题认识深化，不仅有举一反三、触类旁通之效；还可以培养人们观察、分析、比较、归纳、总结、发现的素养，从而启迪人们的智慧，培养科学研究能力，发挥创造精神，这对于数学学习、研究以及将来的工作，无疑是十分重要的.因此高考特别重视推广能力的考查.

3.3 学生提问能力的培养

杨振宁教授在比较中、外留学生有哪些不同时曾提出，中国学生普遍成绩比较出色，特别是在数学运算和推理方面比国外学生有明显优势，但中国学生最大的缺憾就是不善于提出问题，缺乏创新精神.这一方面是现行的教育制度造成的，另一方面也与教师的教学方式有关.本节课的问题情境为学生提出更多的问题提供了方法和途径.教师有选择性地选取学生提出的一些有价值的问题作为课后习题继续探索，当然问题有无价值还在于教师的精心预设和合理引导.