数学教师的教学图式

●

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

1 由一个例子说起

看到下列信息，你会怎么想？你会如何处理？

1650年，英国数学家约翰·沃利斯得到了一个奇妙的表达式：

提供数学教师可能出现的回答如下：

(1)此题无法证明，中考(高考)也不会考，看了弃之.

(2)是一种数学美！有数学家的创造之美，也有分数表达形式的规律之美,可以作为介绍“数学美”的材料.

( )

得到一个可用于推理与证明(归纳)教学的新题.

(4)可用算法来验证，即可用于算法的教学之中.

(5)无理数可以用分数来表示，还有其他表示吗？其他无理数也有类似的表示吗？

可见，面对同一个问题，不同的教师会有不同的处理.从心理学角度来说，是你的图式作出了决择、给出了回答！

类似的情况在数学教学中随处可见、可遇：不仅出现在选择问题、确定用题立意和解决问题中，出现在确定教学目标、选择教学途径时，还出现在课堂教学产生的教学资源的生成中，出现在教师之间、师生之间的交流时．

2 图式的含义

图式概念有过从“范畴—结构—范式”的理解变化，产生了不同的图式定义.本文引用一个直观的定义：所谓图式，是人脑中已有的知识经验的网络．人往往是经验主义的，过去的经验会对其未来认识事物的过程和结果产生影响[1]．

参考该定义，本文给数学教师的教学图式下一个定义：数学教师头脑中已有的数学专业知识、教育心理知识、数学教学经验组成的认知结构．当我们进行数学教学时，教学图式对新觉察到的信息起到引导、选择、组合的作用，对熟悉的信息按既定的方式处理．

3 关于图式的话题

3.1 图式如何形成

人的图式如何形成？引用皮亚杰的观点来作回答．

皮亚杰认为：图式最早来自先天的遗传，在后天与环境的不断作用中发展丰富起来．在图式的发展变化中，有2种类型：一种是“同化”，另一种是“顺应”．同化指的是个体将外界的刺激有效地纳入自己已有的认知图式中来，是数量上的变化．顺应是指在原有图式不能直接适用的条件下，个体主动地改变认知图式、适应环境的变化，这种变化可以导致人的认知结构的成长和发展．

图式是在与环境的不断作用中发展和丰富起来的，即人基于原有图式，经历有新意的活动获取直接或间接的经验，是改变个体图式的重要途径．换句话说：没有经历过有新意的活动，就不会引起图式变化，只有个体经历过的活动，才有可以影响个体的图式．

3.2 数学教师的教学图式解析

所有数学教师都经历过2条成长途径：(1)高中及大学的学习经历；(2)工作至今的数学教学经历．2条途径造就了每位数学教师个体的教学图式．

结合以下3个观点对教学图式作解析，能呈现出教师个体图式的共同点，表明图式与教学存在关联，同时还能折射出当前个体的教学图式与教学需要存在不对接．

(1)数学观：经历过高中、大学的数学学习，都会获得2种观点：数学由一门门的分支组成，如《代数》、《三角》、《解析几何》、《立体几何》等，每一门分支都是一个系统，有严密的逻辑结构；学习数学离不开做题．

在中学数学教学中，有2种共同的现象：教师们立足系统、追求全面、讲究严格的观点，引导着数学教学；选题、讲题、安排做题、布置作业题，即教学围绕着做题．

可见，2种教学现象的出现，可以归因于数学教师的教学图式，是个体数学理解的产物．

(2)教学观：每位数学教师从走向岗位开始，就有了教学实践，至少前3年所做的都是全新的活动，这给个体的图式带来了变化．工作至今，便形成了现阶段个人的教学图式．

回顾我们的教学，最多学习2年新课就开始以“中考”或“高考”为目标，做考题、用考题、辅导考题，这样的经历积淀了教学经验，变化着个体的图式．

观察数学课堂教学，处处可见的是：中考题或高考题；经常听到的是：这是中(高)考题、中(高)考要求是……，等等．

归因这些现象，源头在教师的教学图式．由于数学教师的教学经验是围绕着中(高)考目标，紧扣着中(高)考要求，不断使用中(高)考题目下积累起来的．因此，没有中(高)考价值的事，个体的图式不会引导我们产生关注，当然也不会积淀相应的经验．

这样形成的教师教学图式，会依据考试目标演绎数学，带着学生学习数学.但在学习中，通过“问题解决”、通过创设探究或研究性学习，发挥学生学习的能动性、主动性、创造性，帮助学生学习数学，并没有得到真正地重视．

(3)学生观：教师生活圈接触最多的是学生，通过预见不到现象发生的教学，有意无意地不断产生思考、交流，逐渐地发现规律、积累经验，形成个体的教学图式．

没有考好，归因于学生太差；喜欢某些学生；要求学生听好、注意力集中；批评学生没有记住等外显的行为，其实都是由个体的教学图式决定的．

没有“学生是能动的、是有创造潜力的”，没有“考虑学生学习感受、代价”等内隐的想法，其实也是由个体的教学图式决定的．

教师的学生观、数学观、教学观有着密不可分的联系．重视考试目标，淡化学生良好学习习惯的养成；重视解题训练，丢失学习兴趣的激发；会条理清楚、有目标地教，但缺少真正组织学的途径等等，也都是由个体的教学图式决定的．

3.3 教学图式固化了吗

以上2条成长途径形成了个体当前的教学图式.此时，需要提出一个问题，当我们胜任数学教学后，是否还有新的教学研究行动？若没有类似的行动，意味着什么？

有的教师仍有类似的行动，他们还在不断地做各地的“中考题”或“高考题”，保持着良好的解题能力,但其他活动基本没有了.

有的教师基本没有类似的行动，题目从网上下载，且要求是有答案的；教案采用他人的或上一轮的．

若真是如此，则根据2个理由可以认定教师个体的数学教学图式已基本定型：(1)由2条途径产生的数学教学图式，会使个体感到对付数学课堂教学绰绰有余，课后还会感觉良好；(2)由于教师的原有图式，能看一下答案、过程就“懂”，也有好题标准，选题喜好，也会组合题目，对教案作修订.省时、省心的做法当然会有较强的延用惯性．

结合解析可以认为：如果教师当前的教学图式固化了，那么教学立意欠高、追求不广、途径单一、代价较大等等缺陷将永远存在．换个角度来说，教师的教学图式仍需要更新、发展！

3.4 数学教师的教学图式仍需要更新

为给出充分的理由，笔者从另一个视角再给予论证．

2条途径下形成的教学图式还缺少些什么？即教学图式的形成中，哪些经验并没有产生影响？

下面这些活动我们没有经历过，或虽然经历过，但经历时个体图式并没有与之发生作用，以表明数学教师教学图式中仍缺少的成份．

(1)数学发展历史.

教师在大学阶段学习过数学史，但当时会认为这不是数学，也可能认为这种课只需听听，在学习中不会与数学学习、数学教学联系，因此，这种学习难以影响个体图式的变化． 由此，在当前的数学课堂教学中，不会真正地想到：数学是在解决问题的过程中发展、充实起来的，是从不严格逐步走向严格、从零散组织到系统的．即，我们会认为数学就是一个成熟的系统，并不知各个章节(分支科目)构建的过程、某个知识(章节)出现的原因、构建某个系统的必要性．因此，教学中出现最多的方式是：把系统演绎给学生，希望他们掌握一个个数学分支(系统)，获得前人的成果．很少或基本没有考虑，通过解决问题，展示新知识出现的必要，归纳、概括出新知．

(2)教育心理学、学习心理学等知识.

在大学里学过，由于没有个体活动经历支持，看不到学习的价值，仅学过而已.工作后，备课、做题占据大量的时间，也没有可能再进行学习，因此，有关知识并没有融入个体图式．

初(高)一的数学学习目标是什么？非智力因素的培养要抓住些什么?做到些什么？教师的个体图式不能给出回答，并不意外．

初(高)一的学习应该形成“见题即能用纸、用笔、动脑主动一做”的习惯，而教师个体的图式往往引导着每节课，以讲为主，讲得太多，往往让学生失去了习惯养成的机会．

个体图式还有可能不能有效地回答下列问题：学生的知识是如何掌握的？除了不断地做题外，还有什么教学途径？学生为什么会讨厌数学？

(3)初等数学的章节解构.

给出一种做法，称为核心概念的“章节解构”．下面是一位教师关于“平面向量”的研究，章节解构(部分片段)如下：

向量是一个具有代数与几何双重属性的量，“代数的根本在于数的运算和运算律”[2]．没有运算的向量只是一个符号，定义了运算的向量力量无穷．

从引入向量概念到建构向量的2种基本运算的过程中，出现了许多概念、法则，但它们都有引入的必要和内在的联系，其知识结构如图1所示：

图1

解构

向量基本内容由概念和运算组成，演绎的主线有2条：其一是依托向量的物理背景，抽象出作为数学概念的向量(从物理模型“力”引入向量概念和向量的线性运算法则：平行四边形法则和三角形法则，再由物理模型“功”引出向量的数量积)，使得向量的数学定义有了直观物理背景的支持，既解决了学习向量的适切性问题，也赋予向量丰富的几何特征；其二是向量数学运算体系的形式化建构(线性运算到数量积运算及其运算律，再到向量的坐标运算)，使得向量运算具有双重属性，不仅丰富了向量解决问题的灵活性和多样性，而且解决了学习向量的必要性问题．

向量概念的核心是围绕向量线性运算和数量积等运算的定义展开的，这是本章教学的重点．数量积从数学的逻辑地位看是向量运算的高级运算，需要学生充分理解其外延的丰富性；从操作层面看需要学生能从问题的形式结构出发寻找解决问题的方法；从内隐本质看需要学生学会从实际背景中抽取数学概念的能力，形成从特殊到一般、数形结合和坐标化的数学思想方法．

章节解构揭示了“平面向量”的核心概念、思想方法、知识的来龙去脉、过程目标与结果目标等．由此来引导每节课的教学，各节课的目标就可以放在系统中制定，这样才能保证教学价值的明确、教学追求的清晰、知识网络的构建、整体目标的实现．

这样的研究，我们做过吗？不这样做会造成什么结果？

(1)教师教学中没有经历“章节解构”，则每节课的教学难以放在一个整体中考量，知识之间的联系、章节的重点会被淡化，虽然每节课都有目标，但构不成整体目标．

人的大脑是按层级架构来组织知识的，而章节解构的形式恰与之相似[3].章节解构可以作为章节教学指南，导引组织知识并使之结构化．

(2)章节解构可以理解为：希望学生通过本章节学习，构建起章节图式．教师个体有一个章节解构，才能帮助学生建构起相应的图式．

章节解构能帮助教师抓住章节知识中的核心概念，联系上位概念，衍生出相应的下位概念，从而将知识紧密地联系起来；也能便于学生知识的储存、理解、提取和运用.可见，作出章节解构对章节的教学起到奠基作用.

综上所述，如果3个方面的经历空白或存在缺失，那么就会造成个体形成的教学图式难以考虑知识产生的背景(除非教材中有了)，难以真正重视学生的能动性、学习感受，难以用整体观看数学，围绕数学核心概念组织教学，等等．因此，数学教师的教学图式确实需要更新！

4 创设新的教学活动更新教学图式

图式研究还得出这样一种观点：个体认知图式在认知活动中会导致刻板的思路，这种思路一旦形成了恒定的模式，个体就会以这种模式思考、处理和解决问题，在认知上产生一种僵化的模式[4]．

这种情况在我们身上是否也发生了？事实上，你的图式已经形成，个体要对此作出回答是很难的．为此，下面提供2组个体的自我评价，由此得出更新的途径与方法．

评价1

提出下列问题，个体的图式是如何回答的？也由此提出我们需要继续实践的方向，即找到变化图式——适应教学的途径．

(1)你的3个基础观：数学观、学生观和教学观．

(2)评价你外显的能力或方法：学生的管理，与学生的交流、解题、教学设计，会熟练使用的教学途径．

(3)评价你内含的水平或能力：令学生信服，组织学生习得，即时处理课堂中出现的教学资源，改编题，编创新题．

评价2

以下4个方面，我们是否仍在努力实践，积淀经验？

(1)从数学史角度纵向理解数学，从教学途径、教学功能等角度横向理解数学，在章节解构整体认知数学下，进行每节课的教学设计．

(2)从一般到特殊，引导学生通过演绎学习数学；从特殊到一般，帮助学生通过归纳习得数学．

(3)能通过讲解解题套路设计变式，引导学生解决一类问题；能创设情境设计问题串，使学生通过解决问题发现或概括、归纳出数学通性、通法．

(4)培养学生良好的学习习惯，为教学途径的丰富与多样奠定基石．

在教学调研中，笔者发现：经过近10年的数学课程标准实验，教师的数学教学图式发生了变化，也使数学教师积累了自己的教学经验.由于经验源于教学实践，因此,经验不仅强烈，而且富有韧性，若不通过个体主动地新实践、新学习和新思考，则难以撼动．但要看到:个体的数学教学图式与提升数学教学质量、培养学生的数学素养、为学生的长远发展谋利益还是不匹配，需要有新的充实与改变．

能有一个课题，从而专注一项研究，可以引起教学实验活动，这是更新教学图式的一条途径；同样地，能面对上述评价项目，产生新的实践、思考或研究，也可以更新教学图式．当然不论通过哪种途径，都离不开个体的主动追求、积极投入．

参 考 文 献

[1] 曹学良，郑洁.关于概念图在概率统计教学中应用的一些思考[J].数学教育学报,2007,16(1):37-39.

[2] 孙哗,李沂.社会心理学[M].北京：科学出版社,1988.

[3] 项武义．基础代数学[M]．北京:人民教育出版社,2004．

[4] 陈世友.图式对个体认知发展的影响[J].咸宁学院学报,2010,30(5):90.