非参数固定效应面板数据模型的约束剖面加权最小二乘估计

解其昌,赖绍永

(1.山东工商学院经济学院,山东 烟台 264005;2.西南财经大学经济数学学院,四川 成都 611130)

1 预备知识

面板数据或纵向数据描述了跨越时间的个体信息,它包含截面和时间两个方向维度．对比单纯的时间序列数据或横截面数据来说,面板的双重维度不仅使其包含了每个个体更多的内容,而且有助于研究者发展更复杂的模型分析技术．随着面板数据可获得性的增长,面板数据的理论和应用研究变得越来越流行．关于参数面板数据模型的统计推断和计量分析,Hsiao[1]和 Baltagi[2]给出了详细的介绍和全面的回顾．

参数面板模型能够简明和清晰地描述出变量间的相互关系．然而,该类模型的最大缺陷就是需要很强的假设条件并且很容易产生模型错误设定的风险．如何弥补参数模型的这些不足,一个有效的备选方法就是引入非参数或半参数建模思想．本文就是基于这种思想,考虑下述非参数固定效应面板数据模型:

yij=αj+g(tij)+εij,i=1,…,n;

j=1,…,J<∞,

(1)

相比参数面板数据模型,非参数和半参数面板模型的研究还非常滞后．采用基于局部多项式近似的广义估计方程技术,Lin等[3]检验了非参数平行面板数据模型的渐近性质,但是他们没有给出估计量的收敛速度．Baltagi等[4]研究了随机误差服从独立同分布的半参数固定效应面板数据模型的估计,却没有考虑误差分布的异方差性．Su等[5]使用剖面似然法分析带有固定效应的半参数面板模型,推导出了非参函数的渐近正态性,而并没有得到固定效应的分布理论．通过一阶差分方法,Henderson等[6]获得了固定效应非参数面板数据模型估计的收敛率,但是由于计算程序复杂,没有建立估计量的渐近正态分布性质．Qian等[7]运用边际积分技术,讨论了半参数固定效应面板数据模型的估计,然而该方法运算复杂且消耗时间．此外,文献[8-11]也都对非参数面板模型进行了深入研究,但都没有考虑异质信息或个体效应影响．

本文检验异方差非参数固定效应面板模型的一致估计．不同于传统的一阶差分方法,我们给出了使用约束剖面加权最小二乘技术估计该模型的详细步骤．该方法的主要优点就是计算简便以及容易实现．通过构造虚拟变量和引入局部线性近似的方法,不仅得到了模型中固定效应参数和非参数函数估计的表达式并且还推导出了估计量的渐近正态分布性质．同时,证明了参数和非参数估计量能够实现相应的参数和非参数收敛率．

2 模型估计

若令ej是第j个元素等于1,其余元素是0的J×1维矩阵且记xi1=e1,…,xiJ=eJ、xi=(xi1,…,xiJ)T、yi=(yi1,…,yiJ)T、gi=(g(ti1),…,g(tiJ))T及εi=(εi1,…,εiJ)T,则方程(1)可以用矩阵重新写为

y=xα+g+ε，

(2)

因为g(·)是一个未知的光滑函数,所以应用Taylor展开式来近似,即对tij临域内的任意一点t有:

g(tij)≈g(t)+g′(t)(tij-t)=a(t)+

b(t)(tij-t)，

其中a(t)=g(t)和b(t)=g′(t)．

如果α已经被确定,那么γ(t)=(a(t),hb(t))T可以通过局部线性最小二乘来估计,即

Dtγ(t))TWt(y*-Dtγ(t))，

(3)

从式(3),解得

(4)

根据方程(4),知g的估计能够表示为

(5)

(6)

(I-S)y=(I-S)xα+ε,

其中I为nJ×nJ的单位矩阵．

接下来,使ι=(1,…,1)T是元素均为1的J×1维矩阵．因为随机误差εij服从异方差分布,所以传统的同方差回归技术不能被应用．因此,提出使用约束剖面加权最小二乘法来估计参数α．具体来说,固定效应α的约束剖面加权最小二乘估计为:

S)y-(I-S)xα)+2λιTα,

(7)

由目标函数Q(α,λ)的一阶条件∂Q(α,λ)/∂α=0,推导出

xT(I-S)TΩ-1(I-S)xα+λιT-

xT(I-S)TΩ-1(I-S)y=0.

(8)

不言而喻,α的估计值为表达式(8)与方程ιTα=0的解．

S)x]-1xT(I-S)TΩ-1(I-S)y-

(9)

进一步,把式(9)代入到ιTα=0中,得

{ιT[xT(I-S)TΩ-1(I-S)x]-1xT(I-

S)TΩ-1(I-S)y},

(10)

然后,再将式(10)代入到方程(9)中,有

S)TΩ-1(I-S)y-[xT(I-S)TΩ-1(I-

S)x]-1{ιT[xT(I-S)TΩ-1(I-S)x]-1ι}-1

{ιT[xT(I-S)TΩ-1(I-S)x]-1xT(I-

S)TΩ-1(I-S)y}ι.

(11)

(12)

(13)

特别,非参函数g(t)估计的闭表达式为

(14)

3 渐近性质

下面介绍一些假设条件,这些条件被广泛使用于非参数面板数据模型的理论分析中[5,11].

假设2 协变量tij存在紧支撑和具有二次连续可微的密度函数fj(·)．同时,密度函数fj(·),j=1,…,J有界且不等于零和无穷．

假设3 在紧支撑上,核函数K(·)对称且一致有界以及函数g(·)存在连续有界的二阶导数．此外,矩阵Γ是正定的．

假设4 当n→∞时,h→0,nh2→∞以及nh4=O(1)．

在阐述估计量的渐近分布定理之前,先给出一些引理．

证明由假设条件1～4和大数定理知,对任意的λ>0,

(15)

通过矩阵运算以及应用式(15),得

(16)

同理,因为

(17)

所以

(18)

因此,

(19)

证明对任意的λ>0,注意到

(20)

于是,

(21)

OP(1)oP(1)=oP(1).

证明类似于引理1的证明,知

(22)

那么,s(t)ε=oP(1),这表明Sε=oP(1)．因此,

(23)

于是,结合式(12)和(23)知

(24)

因为ιTα0=0,所以由引理1和式(24),得

(25)

此外,由方程(23),有

C1+C2.

(26)

(27)

最后,由式(25)和(27)立即可以推出该定理．

定理2 如果条件1～4成立,那么

证明由表达式(13),得

(28)

其中β=g″(t)h2/2以及Ψ=((t11-t)2/h2,…,(tnJ-t)2/h2)T．

这样,根据式(28),有

K1+K2-K3.

(29)

(30)

此外,注意到

(31)

且

(32)

进一步,结合表达式(31)和(32)直接推出

(33)

对于K3来说,有

(34)

最后,从方程(29)、(30)、(33)和(34),知该定理成立．

[1] Hsiao C.Analysis of panel data [M].Cambridge:Cambridge University Press,2003.

[2] Baltagi B H.Econometric analysis of panel data [M].West Sussex:John Wiley and Sons Ltd,2005.

[3] Lin X,Carroll R J.Nonparametric function estimation for clustered data when the predictor is measured without/with error [J].Journal of the American Statistical Association,2000,95:520-534.

[4] Baltagi B H,Li D.Series estimation of partially linear panel data models with fixed effects [J].Annals of Economic and Finance,2002(3):103-116.

[5] Su L,Ullah A.Profile likelihood estimation of partially linear panel data models with fixed effects [J].Economics Letters,2006,92:75-81.

[6] Henderson D J,Carroll R J,Li Q.Nonparametric estimation and testing of fixed effects panel data models [J].Journal of Econometrics,2008,144:257-275.

[7] Qian J,Wang L.Estimating semiparametric panel data models by marginal integration [J].Journal of Econometrics,2012,167:483-493.

[8] Jiang C R,Wang J L.Covariate adjusted functional principal components analysis for longitudinal data [J].The Annals of Statistics,2010,38:1194-1226.

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[10] Zhang X,Park B U,Wang J L.Time-varying additive models for longitudinal data [J].Journal of the American Statistical Association,2013,108:1360-1371.

[11] Yao W,Li R.New local estimation procedure for nonparametric regression function of longitudinal data [J].Journal of Royal Statistical Society:Series B,2013,75:123-138.