复Kropina度量

汤 冬 梅

(厦门理工学院应用数学学院,福建 厦门 361024)

Kropina[1]提出实Kropina度量,而它又是特殊的(α,β)度量．除了Randers空间外,Kropina空间也特别令人感兴趣,而且在Finsler 空间中是很重要的,它被C-张量的特殊形式所刻画．Antonelli等[2]指出它在生态学的Krivan问题上担任着一个有趣的角色．许多数学家研究Kropina度量,并且得到了一系列关于曲率和共形变换方面好的结果[1,3-6]．

与实Finsler几何相比,对复Finsler几何中的许多种类了解得不多,除了两个平凡的复Finsler度量:Hermitian度量和复局部Minkowski度量[7]．近来一些学者研究了特殊的复(α,β)度量:复Randers度量.Aldea等[8]致力于研究Kähler-Randers度量,并且得到了复Randers空间中Lorentz型的复非线性联络．陈滨等[9]讨论了复Randers度量的全纯曲率,以及具有迷向全纯曲率的复Berwald-Randers度量的几何性质．另外,Aikou[10]给出了复Berwald空间的定义,并且得到了具有负常值全纯截面曲率的Berwald空间的刚性定理．

1 预备知识

定义1[12]M上的连续函数F:T1,0M→R+如果满足下列条件,则它被称作复Finsler度量:

(ii)F(z,η)≥0等号成立当且仅当η=0;

(iii) 对于任意的λ∈C有F(z,λη)=|λ|F(z,η);

令

(1)

(2)

其中

由文献[12]可知,复Finsler空间(M,F)沿着方向η的全纯曲率是

(3)

局部上它表示成[11]

(4)

Ricci标量定义成[14]

(5)

命题1[9]复Finsler度量是Hermitian的当且仅当它的Cartan形式一致消失．

类似于实Finsler几何有如下定义．

定义3[10]如果存在一个开覆盖{U,XU}使得在每个π-1(U)上F仅仅是纤维坐标的函数,那么复Finsler流形(M,F) 被称作是复局部Minkowski,称这样的开覆盖{U,XU}是 适合的．

2 复Kropina度量

2) b∶=bi(z)dzi是一个微分(1,0)形式．

(6)

其中

且

β(z,η)∶=bi(z)ηi.

(7)

注意到|β(z,η)|=0当且仅当β(z,η)=0．但是β(z,η)=0当且仅当ηi=0或bi(z)=0,i=1,…,n.因此记D∶={(z,η)3∈T1,0M,β(z,η)=0}．

(8)

(9)

所以

命题3[11]假设

那么

(10)

需要说明的是对于复Kropina度量而言,不必附加其他限制条件,默认它就是复Finsler度量．

一旦有了复Kropina度量的度量张量,下面就可通过技巧性的计算得到复Cartan张量、Chern-Finsler复非线性联络的表达式和弱Kähler条件．

首先介绍下面的复Cartan张量．

因为

令

因此

(11)

令

则Chern-Finsler联络的垂直系数是

(12)

命题6 复Kropina度量是Hermitian当且仅当函数q仅仅依赖于z．

令

有

接下来计算Chern-Finsler复非线性联络的系数．

(13)

因此喷射系数是

(14)

因此

(15)

(ii) 此时(M,F)是复Berwald空间．另外,(M,F)是Kähler-Finsler当且仅当α是M上的Kähler-Hermitian度量．

(iii) 如果Hermitian度量α是平坦的,那么(M,F)是复局部Minkowski．

证明如果q2b2=1,即α2b2=|β|2,关于bi可以得到下面的关系式

α2bi=βηi.

从而得证．

(i) ρ(z)=b2和 q2b2=1;

(ii) 根据定理2可以得到结论．

(iii) 由(i)的结论以及直接计算容易得出(iii)成立.

(16)

命题7 如果α是Kähler且β是闭的,那么F是弱Kähler当且仅当β关于α是平行的．

3 全纯曲率

本节研究复Kropina度量的全纯曲率．在Hermitian几何里,全纯截面曲率起着相当重要的作用,所以我们自然也想寻求复Finsler几何中的相似曲率．首先尝试(水平)全纯旗曲率,在某种情况下全纯旗曲率包含太多的信息．令人遗憾的是全纯旗曲率并不是最适合研究的,所以全纯曲率就变成了复Finsler几何里最重要的Hermitian数量．文献[14]表明几何学者已经研究了复Finsler几何中的常值全纯曲率．在本节我们打算讨论复Kropina空间中的迷向全纯曲率．

定义4 如果Κ(z,η)=Κ(z)是M上的标量函数,那么就称F具有迷向全纯曲率．

定义5 如果Κ(z,η)为常值,那么就称F具有常值全纯曲率．

根据式(4),经过复杂的计算后复Kropina度量的全纯曲率如下．

其中Κα是α的全纯截面曲率．

由式(9)和(14)得到

(17)

因此得到下面的结果,

(18)

(iii) 最后从式(17)中减掉式(18)有

(19)

注1 (i) ΚF与Κα成比例;

(ii) q是一个正实值函数,依赖于z和η,所以ΚF和Κα同符合．

注2 如果β全纯,由推论2知ΚF=2b2Κα．我们发现ΚF迷向当且仅当Κα也迷向．

类似的有

复Finsler空间(M,F)的全纯曲率可以写成

(20)

所以根据式(5)和(20)立即可以得到下面的结果．

引理1 假设(M,F)是复Finsler空间,如果(M,F)是复局部Minkowski流形,那么它的全纯曲率和Ricci曲率都为零．

(i) ΚF=0和Ric=0;

(ii) 如果β全纯,那么Κα=0．

[1]KropinaVK.OnprojectiveFinslerspaceswithametricofsomespecialform(inRussian)[J].NaunDoklVysš.kolyFisMat,1959,2:38-42.

[2]AntonelliPL,IngardenRS,MatsumotoM.ThetheoryofspraysandFinslerspaceswithapplicationsinphysicsandbiology[M].Netherlands:KluwerAcademicPublishers,1993.

[3]ShibaraC.OnFinslerspaceswithKropinametric[J].ReponMathPhys,1978,13:117-128.

[4]MatsumotoM.FinslerspaceofconstantcurvaturewithKropinametric[J].TensorNS,1991,50:194-201.

[5]YoshikawaR,OkuboR.Kropinaspacesofconstantcurvature[J].TensorNS,2007，68:190-203.

[6]SinghUP,SinghAK,ShibataC.OninducedandintrinsictheoriesofhypersurfacesofKropinaspaces[J].JHokkaidoUnivEducation(SectionⅡA),1983,34:1-11.

[7]MunteanuG.ComplexspacesinFinsler,lagrangeandHamiltongeometries[M].Netherlands:KluwerAcadPubl,2004.

[8]AldeaN,MunteanuG.OncomplexFinslerspaceswithRandersmetric[J].JKoreanMathSoc,2009,46(5):949-966.

[9]ChenB,ShenYB.OncomplexRandersmetrics[J].IntJMath,2010,21(8):971.

[10]AikouT.SomeremarksonlocallyconformalcomplexBerwaldspaces[J].ContemporaryMathematics,1996,196:109-120.

[11]AldeaN,MunteanuG.(α,β)-complexFinslermetrics[C]∥Proceedingsofthe4thInternationalColloquium"MathematicsinEngineeringandNumericalPhysics".Bucharest:BalkanPress,2007:1-6.

[12]AbateM,PatrizioG.Finslermetrics:aglobalapproach[M].Berlin:Springer-Verlag,1994.

[13]ChenB,ShenYB.KaehlerFinslermetricsareactuallystronglyKaehler[J].ChineseAnnalsofMathematics:SeriesB,2009,30(2):173-178.

[14]AldeaN.ComplexFinslerspacesofconstantholomorphiccurvature[C]∥DiffGeomanditsAppl.Prague,CzechRepublic:CharlesUniv,2005:175-186.