压缩驱动单元中声波本征值问题的解析解*

贡玉昌， 张志良

(浙江师范大学 数理与信息工程学院, 浙江 金华 321004)

0 引 言

号筒扬声器因其能量转换效率远高于直接辐射式扬声器而获得广泛应用.为改善声学性能，需在号筒扬声器的压缩驱动单元中设置相位塞.相位塞和球冠形振膜同轴，两者之间形成等厚度的空腔.空腔中空气在振膜驱动下形成声波，经相位塞的同轴环形通道传播至号筒的喉口.若相位塞设计不当，该空腔中空气的固有模态将会引起扬声器声辐射频率响应的不均匀[1].迄今为止尚未有该固有模态和频率的解析解.本文首先给出该问题的幂级数形式的解析解，然后给出近似解.

1 幂级数解析解

采用球坐标系，径向距离r，天顶角θ，周向方位角φ.由于球冠形振膜和相位塞间的空腔厚度很薄(通常小于1 mm)，因此，径向模态的本征频率远高于音频范围，音频范围内其他方向的模态在径向可近似认为作均匀振动.另外，振膜和相位塞旋转对称，周向不均匀的模态不会被激发.在此近似和假设下，空腔中空气的声波本征值问题可简化为θ方向的勒让德方程[1-2]

(1)

和边界条件[1]

(2)

式(2)中,θ0为空腔边缘处的张角.且有固有频率和本征值l的关系式[1-2]

(3)

式(3)中:r0为空腔半径；c0为空气声速.

在一般的波动问题中，波沿径向传播，勒让德方程的本征值由θ=0和π时p值有限的自然边界条件得到，即l为正整数[2].本问题中，声波沿垂直于径向的θ方向传播，并要求在空腔边缘处满足刚性边界条件，勒让德函数一般不满足该边界条件.因此，勒让德函数不是本问题的本征函数，本征值l不是整数.当l不是整数时，传统问题的勒让德方程的解在θ=0时发散.笔者的任务是寻找非整数l本征值，同时在θ =0收敛的幂级数解.为此，将展开中心由传统的常点θ=π/2改为奇点θ=0，即对方程作自变量变换

x=cosθ-1,

(4)

并对所得方程

x(x+2)p″+2(x+1)p′-l(l+1)p=0

(5)

在x=0处展开其解.容易证明该点为正则奇点，且奇点性质判定方程的根为重根0.故方程存在1个收敛的幂级数解

(6)

其系数递推公式为

(7)

对足够大的n，有an～-2-n.因此，解的收敛半径为|x|<2，且收敛较快，计算中取30项已足够精确.

方程的另一个解在展开中心θ=0处具有对数奇异性，因而在本问题中舍去.边界条件(2)可表为

(8)

这是一个关于本征值l的非线性代数方程，可由数值方法确定，例如二分法或牛顿迭代法[3].l一旦确定，由式(6)计算模态，由式(3)得与第n个l值对应的固有频率

(9)

2 近似解

文献[4]发现了勒让德函数和零阶贝塞尔函数间的近似变换关系，本文利用该关系将勒让德方程化为近似的贝塞尔方程，从而得到近似解.

勒让德方程和零阶贝塞尔方程分别对应从极点沿球面均匀传播和从圆心向四周平面上均匀传播的波.声波从单位半径的球面北极出发经过弧长θ后，纬圈周长为2πsinθ，从声能量流角度可知，该处声波振幅平方应反比于sinθ.而如果在平面上，经过同样距离后，圆周长将是2πθ，该处振幅平方应反比于θ.按照以上物理分析，对勒让德方程(11)作因变量变换[4]

(10)

得到

(11)

式(11)中，

(12)

由于Δl不是常数，所以，方程(11)不是严格的零阶贝塞尔方程.但容易验证，当θ在一般的实际号筒扬声器的区间[0，π/3]内时，Δl的数值为0.333～0.355，变化幅度很小.对Δl取平均得

(13)

(14)

(15)

舍去在θ=0发散的诺埃曼函数，其解为零阶贝塞尔函数

y=J0(λθ).

(16)

(17)

其不同h值的根已列表可查[2].由上述方程的一系列根xn，得本征值

λn=xn/θ0.

(18)

(19)

最终，模态由合并式(10)、式(16)和式(18)得到

(20)

而对应的固有频率由合并式(9)、式(15)、式(13)和式(18)得到

(21)

表1 方程(17)的根的精确值和由式(9)计算的近似值比较

3 比较和结论

为了验证近似解的精确程度，表2列出了2种解法计算得到的ln值，精确值根据式(8)计算，近似值由综合了式(15)、式(18)和式(19)的下式

(22)

计算.结果表明，2种结果极为吻合.其原因如前所述：方程(11)中,Δl的最大0.015的变动幅度相对于l(l+1)最小13.41的值相比，其变动影响微不足道，在此情形下，方程已成为近似度极高的零阶贝塞尔方程了.结果还表明ln值确实不是整数.

表2 2种解法得到的ln值比较

模态的比较显示在图1中，同样原因，2种方法得到的结果几乎完全重合.随着模态序数的增大，节圆数目增加，两者数值相同.由边界条件知，模态在边缘处斜率为零.

图1 前3个模态精确解与近似解完全重合

由于2种解所得结果极为吻合，实际数值计算中可综合应用.例如由式(22)可方便得到本征值l(l+1)，进而由式(6)和式(9)计算模态和相应固有频率.

通过在奇点展开幂级数，给出了号筒扬声器压缩驱动单元中振膜和相位塞间空腔内空气本征振动的非整数阶勒让德方程的解析解，进一步将该方程转换为零阶贝塞尔方程，巧妙解决了本征超越方程的求根问题，由此得到的近似解结果与精确解结果极为吻合.本文结果可直接应用于号筒扬声器相位塞的优化设计和声辐射频响分析，同时对沿球面传播波动问题的研究和非整数阶勒让德方程的求解有借鉴作用.

参考文献：

[1] 沈勇.2009电声技术新进展[M].北京: 科学出版社,2010：105-130.

[2]梁昆淼.数学物理方法[M].2版.北京:人民教育出版社,1979.

[3]徐士良.FORTRAN常用算法程序集[M].2版.北京:清华大学出版社,1995：121-125.

[4] 刘峰,唐香莲,朱江.从振动波形研究贝塞尔函数和勒让德函数的渐近关系[J].大学物理,2009,28(8):11-14.