基于SSH模型的锯齿型边石墨烯纳米带电子能谱研究*

陈 琼， 童国平， 李 盛

(浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

0 引 言

由Su-Schrieffer-Heeger(SSH)[1]，Rice[2]提出的聚乙炔孤子模型已成功地解释了无自旋电导率、红外吸收等许多实验结果.虽然,纯净的聚乙炔每个格点有一个可移动的π电子，但其不导电，这是它的维度性所造成的[3].将其掺杂后，其电导率可达金属的电导率[4].由于聚乙炔链与链之间相互耦合很弱，因而可视为准一维结构.尽管如此，链与链之间的耦合对孤子等非线性元激发有一定的影响[5]. Fesser[6]考虑了键与键平行结构、反平行结构等三维情况的链间耦合问题，利用连续SSH模型研究了电子能谱.随着石墨烯实验的开展[7]，尤其是人们对石墨烯纳米带拓扑性质的发现，石墨烯更引起人们的研究兴趣.利用紧束缚近似与硬壁边界条件[8-10]、有限系统的Bloch定理[11]、狄拉克方程低能近似[12]等方法，可以解析地得到扶手椅型和锯齿型2种石墨烯纳米带的电子色散关系.那么，除此以外，能否利用SSH模型方法来解析地给出电子的色散关系？因为石墨烯纳米带在一个方向上仍然具有周期结构，尤其是锯齿型边的纳米带，可以视为均匀聚乙炔链键与键非平行结构的二维链间耦合而成.因此，只要选取合适的单位元胞，就能给出其电子能谱，本文的研究正是基于这一考虑.

1 模型与方法

1.1 计入链间耦合的SSH哈密顿量

共轭高分子的链间耦合与其链中耦合相比较弱，因此，通常忽略链间耦合，把其视为准一维结构[3].尽管如此，这种弱链间耦合还是产生一定的物理效应[5].如果计入链间耦合，体系的SSH哈密顿量可表达为

H=HSSH+Hint.

(1)

(2)

(3)

这里:HSSH描述的是考虑自旋时每条链内相互作用的哈密顿量，其中包括电子部分He和晶格部分Ha;式中的t0是晶格未畸变时的电子最近邻跳跃积分;un是第n个格点的二聚化位移;而α是反映链二聚化位移的畸变参量;Hint表示链与链之间的相互作用项;an,s为第n个格点上电子自旋为s的湮灭算符;t⊥代表链间耦合跳跃积分，反映的是耦合强度.式(2)中,K和M分别表示晶格的弹性常数和CH原子团的质量，这部分是非量子的经典唯象表达.

对于未畸变的一维链来说，计入最近邻相互作用的电子部分的SSH哈密顿量为

(4)

这时考虑链间耦合的系统哈密顿量可表示为

(5)

下面笔者将这一简化模型运用于具有锯齿型边的石墨烯纳米带的电子能谱研究.

1.2 键与键不平行结构的链间耦合

为了突现链间耦合效应，笔者在下面的计算中略去了长、短键之间的差别，即把相邻格点间的跳跃能都取成t0.于是，考虑最近邻相互作用时，由图1(c)可得系统的哈密顿量为

(6)

图1 2条链之间键与键非平行结构耦合

将式(6)中的产生和湮灭算符作如下变换：

(7)

(8)

(9)

利用式(7)、式(8)和式(9)，可将式(6)转化成哈密顿矩阵表示式

将此哈密顿量对角化就可以得到如下电子能谱

(11)

式(11)中,符号“±”表示导带和价带.

1.3 键与键平行结构的链间耦合

当2条链之间如图2(a)和图2(b)的形式耦合时，称之为平行耦合.因为图2(a)的长键(或短键)之间是平行的，而图2(b)的上一条链的长键(或短键)与下一条链的短键(或长键)是平行的.

图2 2条链之间的键与键平行耦合

当不计二聚化时，2种结构形式相同，系统的哈密顿量可表示为

(12)

联立式(7)、式(8)、式(9),可将式(12)转化成哈密顿矩阵

由此可得电子能谱为

(14)

很显然，不计二聚化时，2种形式的链间耦合的电子能谱不相同.

1.4 耦合链模型应用于石墨烯

由SSH哈密顿模型式(5)，可写出图3在y方向一个元胞的哈密顿量如下：

(15)

(16)

式(16)形式上与式(12)相同，但产生和湮灭算符的具体内容不再完全相同.联立式(7)、式(8)和式(9)，可将式(16)表示成矩阵形式：

将此哈密顿量对角化，就可得到电子能谱

(18)

当t⊥=t0时，式(18)就是基于SSH模型得到的锯齿型石墨烯纳米带的能量色散关系，此结果与有限系统的Bloch定理[11]所得结果一致.

2 计算结果与讨论

图4 非平行结构不同垂直耦合强度的电子能谱

2条链之间键与键平行方法耦合的能谱展现在图5中.同样，随着耦合强度的增加，2条能带分离增强.与图4相比可以看出，平行结构的耦合要强于非平行结构.同时，能带的增宽也变得明显很多，表明这种耦合方式有助于电子的扩展态行为，而不利于电子的局域态行为.对比图4和图5还可以看出，在相同耦合强度下，平行结构要比非平行结构更能改变电子的能带结构.

图6给出了非平行结构的链间耦合SSH模型应用于锯齿型边石墨烯纳米带的电子能谱.从式(18)可知，由于纳米带有一定的宽度，ky可以取一些分立的值，对每一个ky值，均可以得到一条相应的能带.为了展示能带随着耦合强度变化的规律，只需给出ky=0的部分能带图就足够了，因为其他能带的变化规律是类似的.图6(a)～(e)所示表示耦合强度是渐渐增强的，即t⊥=0.5，1.0，1.5，2.0，2.5eV.由图6可见，随着耦合强度的增强，能带增宽；耦合强度的增加不会引起能隙的打开；耦合强度的增加，电子的扩展态得到极大的增强.这个结果告诉我们，想通过调节纳米带宽度方向的键长来改变其导电性质是不可能的.当耦合强度为2.5eV时，碳原子构成正六边形结构，因此，图6(e)表示的是正常能带结构(部分能带).应用这一方法所显示的能带结构与有限系统的Bloch方法[11]所得结果是一致的.

图5 平行结构不同垂直耦合强度的电子能谱

图6 锯齿型边石墨烯纳米带电子能谱与链间耦合强度的关系

3 结 论

利用SSH模型计算了2条反式聚乙炔链其键之间平行和非平行结构的电子能谱.随着耦合强度的增强，这两种构形均表现相似的特点，即都能增加能带的宽度，但是平行结构更胜一筹.将非平行结构的耦合方式应用于锯齿型石墨烯纳米带，能够较为简洁地、且解析地给出能量色散关系.与其他方法相比，数学处理大大简化，这是本方法的优点所在.另一方面，想通过改变宽度方向的键长来打开能隙是不可能的.

参考文献：

[1]Su W P,Schrieffer J R,Heeger A J.Solitons in polyacetylene[J].Phys Rev Lett,1979,42(25):1698-1701.

[2]Rice M J.Charged π-phase kinks in lightly doped polyacetylene[J].Phys Lett A,1979,71(1):152-154.

[3]孙鑫.高聚物中的孤子和极化子[M].成都:四川教育出版社，1987.

[4]Kaneko H,Ishiguro T.Electrical conductance in metallic phases of fully doped polyacetylene[J].Synthetic Metals,1994,65(2):141-148.

[5]Baeriswyl D,Maki K.Soliton confinement in polyacetylene due to interchain coupling[J].Phys Rev B,1983,28(4):2068-2073.

[6]Fesser K.Interchain coupling in trans-polyacetylene[J].Phys Rev B,1989,40(3):1962-1965.

[7]Novoselov K S,Geim A K,Morozov S V,et al.Electric field effect in atomically thin carbon films[J].Science,2004,306(5696):666-669.

[8]Zheng Huaxiu,Wang Zhengfei,Luo Tao,et al.Analytical study of electronic structure in armchair graphene nanoribbons[J].Phys Rev B,2007,75(16):165414.

[9]金子飞,童国平,蒋永进.非邻近跳跃对扶手椅型石墨烯纳米带电子结构的影响[J].物理学报，2009,58(12):8537-8543.

[10]Tong Guoping.Physics and applications of graphene-theory:chapter 4 the non-neighbor effect in graphene ribbons[M].Rijeka(Croatia):InTech Publisher,2011:71-92.

[11]邓伟胤,朱瑞,邓文基.Zigzag型边界石墨烯纳米带的电子态[J].物理学报,2013,62(6):067301.

[12]Brey L,Fertig H A.Electronic states of graphene nanoribbons studied with the Dirac equation[J].Phys Rev B,2006,73(23):235411.