渗透数学思想，培养应用思维

沈晓波

《国家数学课程标准》提出的数学教学“四基”，不但包括基础知识、基本技能，还增加了基本思想、基本活动经验。“双基”变“四基”，这对数学教学提出了更高的要求。为此，在教学中，教师要有意识地渗透一些基本的数学思想方法，以培养学生的数学思维。

渗透假设思想，以引导学生大胆假设，合理推理。

运用假设思想，就是引导学生在解题时根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改变，把原问题变换成新的问题，当然这个新生成的问题要易于理解和解决，表面上看解题的步骤变多了，但实际上是换了一种思维方式，以利于计算和推理。

假设思想的教学，对学生的分析和综合能力、逻辑思维能力等方面要求较高，教师在教学中要注意两个方面：

第一，要引导学生根据题目的特点，从多角度大胆假设。如可假设情节变化，可假设两个或几个数量相等，可假设两个倍数相同，可假设某个数量增加了或减少了，关键是有利于解题。如解决“鸡兔同笼”问题，可通过假设推理，引导学生解题。教师在PPT上出示“33只鸡和兔关在同一个笼子里，共100条腿，问鸡和兔各有多少只”的题目后，引导学生大胆假设：假设33只全是鸡（情节变化），那么只有66条腿，比实际少34条腿。兔和鸡腿数相差2，把一只兔看成鸡就少了2条腿，34里有几个2，就得出兔有34÷（4-2）=17只，所以，很容易就算出：兔有17只，鸡有16只。同理，也可以将33只全部看成兔，以方便解题。

第二，在数量间具有一定的比例关系前提下，教师可引导学生假设其中的一个数量为单位“1”。此举可大大简化计算的繁琐程度。教师可用PPT展示“足球比赛门票是20元一张，平均每场有5000名观众，降价后每场观众增加了50%，收入增加了20%，降价后门票的价格是多少”的题目，然后引导学生用假设法来解题。首先要让学生明确一个基本的数量关系式，即“观众人数×门票价格=收入”。根据题意，降价后的人数和收入都是在原来的基础上分别按照一定比例变化，实际上观众人数是5000还是500并不影响计算的结果，因此只需要设观众人数为单位1就行。假设降价前的观众人数是1，则降价后的观众人数是1×（1+50%）=1.5，？降价前的收入是20×1，则降价后的收入是20×1×（1+20%）=24，所以降价后的门票价格是：24÷1.5=16（元）。教师再引导学生做其他类似题目，以巩固思想方法。

渗透转化思想，以引导学生灵活转化，正向迁移。

转化思想是数学中使用较普遍的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。转化思想的宗旨是化难为易、化生为熟、化繁为简、化整为零、化曲为直等。

在现行教材中，如果教师仔细挖掘，会发现其中有很多知识，可以利用转化的思想方法去引导学生思考。现举小学教材中的几个例子来说明转化思想的渗透办法。

一种是已知条件的转化。对已知条件进行转化，使它可直接用来解题。如在解决“一艘轮船，顺水行驶每小时行20千米，逆水行驶每小时行15千米，轮船从甲城到乙城比从乙城到甲城少用5小时，求甲乙两城间的距离”时，教师可引导学生在充分理解题意的基础上转化已知条件：轮船顺流而下，每小时行20千米，这样行每公里花1/20小时即3分钟，逆流而行，每小时行15千米，行每千米要花1/15小时即4分钟，也就是说轮船顺水行驶比逆水上行每千米节约1分钟。因为全程共节约时间5小时，也就是300千米，因此甲乙城间的距离为300千米。

一种是解题思路的转化。在解决“挖一条水渠，要12天完成，由于增加人员，每天多挖160米，只用了9天完成，这条渠共有多少米”这类工程应用题时，用列方程解答会比较繁琐，若转化为工程问题的思路来解答就容易得多。教师可引导学生采取转化的解题思路：原计划的生产效率为1/12，增加人员后生产效率为1/9，那么，增加人员后每天比计划多挖（1/9-1/12），因此，渠的长度为160÷（1/9-1/12）=5760米。