级数逼近法求解一类R-L分数阶积分方程

张盼盼,张 倩,韩惠丽

(宁夏大学数学计算机学院,宁夏 银川 750021)

分数阶微积分是一个古老而又新鲜的概念.早在整数阶微积分创立的初期,就有像L’Hospital, Leibniz等这样的数学家开始考虑分数阶微积分的定义. 一般地, 具有分形几何特性的函数均存在分数阶导数, 所以说分数阶微积分是描述反常物理现象的一种强有力工具. 近年来分数阶微积分被广泛地应用于流体力学、粘弹性阻尼器、混沌现象等反常问题[1-2], 这些问题经过建模后得到的方程大多数都是分数阶积分方程甚至是分数阶积分微分方程[3-4]. 但由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性的特点,增加了分数阶方程的求解难度, 分数阶积分方程的求解更是众多学者所关注的问题.

泰勒级数是求解积分方程及积分微分方程的有力工具, 文献[5-7]分别利用泰勒级数求解Volterra、Fredholm及非线性的Volterra-Fredholm积分方程; 文献[8]利用泰勒级数求解一类分数阶积分微分方程. 然而, 迄今为止分数阶积分方程数值理论研究还处于萌芽状态,文献[9]利用R-L分数阶积分定义特点, 将分数阶积分算子离散化,并求得一类方程的数值解; 文献[10]利用Haar小波方法求得分数阶Volterra积分方程的数值解. 受上述文献的启发, 本文给出分数阶积分方程的另一种数值解法, 即利用泰勒级数将分数阶积分方程转化为线性方程组,利用Cramaer法则求得原方程的数值解,并以数值算例验证该算法有效性.

1 预备知识

定义[1]设f(x)∈L[a,b],α>0. 则称

(1)

为Riemann-Liouville分数阶积分, 其中t∈[a,b],Γ(α)为Gamma函数.

引理[6]u(x)在[a,b]上可导, 若u(k)(a)=0,k=0,1,…,n-1, 且m≤u(n)(a)≤M, 则

(2)

定理若函数u(x)在[a,b]上n+1阶连续可导, 则对于任意x,x0∈[a,b], 有

(3)

其中:Rn(x)→0(x→x0,n→∞)

证明由条件知u(x)具有n+1阶连续导数, 所以u(n+1)(x)在[a,b]上连续. 此时, 必存在常数A,B, 使得A≤u(n+1)(x)≤B, 令

易见,Rn(x)→0(x→x0,n→∞).

2 主要结果

对分数阶积分方程

(4)

经变形有

(5)

由上述定理知,

(6)

即

(7)

将式(7)代入方程(5), 得

整理得

令

则有

a00(x)u(x)+a01(x)u'(x)+…+a0n(x)u(n)(x)=f(x).

(8)

式(8)是关于未知函数u(x)的没有初始条件的n阶线性常微分方程, 所以解微分方程求u(x)的办法不可行. 我们试图构造另外n个关于u(x)的n阶线性常微分方程, 然后解方程组求解未知函数. 为此, 利用Leibniz求导公式对方程(5)两端关于变量x求导,

(9)

将式(6)代入式(9)并整理得

则有

a10(x)u(x)+a11(x)u'(x)+…+a1n(x)u(n)(x)=f'(x).

(10)

重复上面的步骤, 可得

ai0(x)u(x)+ai1(x)u'(x)+…+ain(x)u(n)(x)=f(i)(x).

(11)

其中

i=1,2,…,n；j=0,1,…,n.

由此, 得到关于u(x),u'(x),…,u(n)(x)的方程组

AU=F,

其中

只要矩阵A可逆, 利用Cramer法则, 就可求解未知函数u(x). 为此, 我们对矩阵A进行可逆性分析.

经验证, 上式右端的行列式的值不为0. 因此, 当x≠a时,|A|≠0, 即矩阵A可逆. 由Cramer法则得

u(x)=det(M)/det(A),

其中:

图1 数值解与解析解的比较

3 数值算例

求解分数阶积分方程

(12)

为了检验本文逼近算法的有效性及优越性,表1给出方程(12)的解析解及对应的绝对误差.

表1 方程(12)的误差估计

若采用文献[9]的数值逼近算法，方程(12)数值解的绝对误差大致在1×10-3左右，而本文给出的算法虽然简单，但当n取到很小的值时就能获得很好的逼近效果.

参考文献:

[1]陈文,孙洪文,李西成. 力学与工程问题的分数阶导数建模[M]. 北京: 科学出版社, 2010.

[2]郭柏灵,蒲学科,黄凤辉. 分数阶偏微分方程及其数值解[M]. 北京: 科学出版社, 2011.

[3]Podlubny I. Fractional Differential Equation[M]. New York: Academic Press, 1999.

[4]Almeida R, Torres D F M. Calculus of variations with fractional ferivatives and fractional Integrals[J]. Appl Math Lett,2009,22(12): 1816-1820.

[5]Maleknejad K, Aghazadeh N. Numerical solution of Volterra integral equations of the second kind with convolution kernel by using Taylor series expansion method[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,161(3): 915-922.

[6]Maleknejad K, Aghazadeh N. Numerical solution of second kind Fredholm integral equations system by using a Taylor series expansion method [J]. Applied Mathematics and Computation,2006,175(2): 1229-1234.

[7]Yalcinbas S. Taylor polynomial solutions of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations[J]. Applied Mathematics and Computation,2002,127(3): 195-206.

[8]Huang Li, Li Xianfang. Approximate solution of fracional integro-differential equations by Taylor expansion method[J]. Computer Math Appl, 2011,24(62): 1127-1134.

[9]Shakoor P, Ricardo A, Delfim F M T. Approximation of fractional integrals by means of derivatives[J]. Computer Math Appl,2012,64(13): 3090-3100.

[10]朱双云,苗福生,韩惠丽. 分数阶第一类Volterra积分方程小波解法[J]. 宁夏大学学报: 自然科学版,2012,33(2): 130-134.