微积分在经济和管理学院专业的应用研究

杨荣领+++李鑫宜+++黄紫欣+++冼秋华+++湛家丽

摘 要：本文对微积分在经济和管理学院专业的应用研究，从微分和积分两个主要方面进行探索，具体介绍这两个部分在经济和管理专业的代表例题，重点在它们的相互结合之上。

关键词：微分；极限；积分

一、引言

随着经济学和管理研究的不断深入，经济和管理的量化分析已经成为了经济学和管理学研究中的主要手段，这与微积分在经济和管理中的广泛应用密不可分。

在微分中，极限是最基本的概念。微积分中大量的其他基本概念都是用极限的概念来表达的。如导数和定积分都是建立在极限的概念之上。其中应用到弹性函数、生产技术系数、边际效益等数学概念。

二、 微分在经济学中的应用

1.边际概念与极限思想

在表述经济增长和公共政策的关系时，假设一个政府，实施一个提高国民储蓄率的政策——随着一国储蓄的增加，用于生产消费品的资源少了，而更多的资源用于生产资本品。在下图1中表明在所有其他决定产量的因素不变的情况下，每个工人的资本量如何决定每个工人的产量。

图1 生产函数

由于收益递减，储蓄率的增加所引起的高增长只是暂时的。随着高储蓄率使积累的资本更多，从增加的资本中得到的收益一直在减少，因此增长放慢。在长期中，高储蓄率引起高水平的生产率和收入，但是在这些变量中没有高增长。然而，达到这种长期可能需要相当一段时间。根据对经济增长国际数据的研究，提高储蓄率可以在几十年内引起相当高的增长。

资本的收益递减还有一层重要的含义：在其他条件相同的情况下，如果一国开始时比较穷，它就更易实现迅速增长。

2.多元经济函数及其偏导数

表 某工厂生产三种产品的有关资料如下：

（1） 计算三种产品的总成本指数。

（2） 计算以基期总成本为权数的产量总指数。

（3） 计算以报告期总成本为权数的单位成本总指数。

（4） 分析产量和单位成本的变动对产品总成本的影响。

解：（1）总成本指数为：

■

（2）产量总指数为：

■

（3）单位成本总指数为：

■

（4）由于产量变动使销售额增加11.6%，增加销售额145.7

532-130.6=15.1532万元；由于价格变动使销售额增加0.1%，增加销售额0.1468万元。

三、积分在经济学中的应用

在积分部分，利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等，对企业的经营决策乃至国家级别的经济决策及时做出正确的调整。

1.消费者剩余

需求量和供给量都是价格函数，在市场经济下，价格和数量都是经过不断的相互调整，最后趋向平衡。在效用与经济福利分析中，消费者剩余是消费者对某种商品愿意支付的价格超过实际付出价格的余额。

如图2所示，P表示实际支付的价格，D是需求曲线。而实际支付价格小于消费者愿意支付价格，其中出现的差额，称为消费者剩余。其计算思路为：计算需求曲线与q=0，q=b所围成的曲边梯形面积A。

其计算步骤为：（1）根据给出图形，利用极限思想无限细分，近似计算曲边梯形面积。（2）求极限。通过无限求和求出精确值。

图2 消费者剩余图像

整个图线面积■。则当n是有限数值时，面积■永远是曲边梯形的面积，即A的近似值。但当n增加时，面积的精确度才能相应增加。当n→∞时，并利用极限的方法才能实现从近似到精确，从而实现了近似■向曲边梯形面积的精确值A，即：

■

而这个也是微积分中另一个重要模型——定积分和不定积分的基本思想。即

■

积分，在某个角度就是一些曲线函数的面积。经济学家把复杂的数据制图，简化模型，引用积分思路，问题就变得简单了。例如，研究进出口贸易的函数图像，需要求解面积。

图3 进出口贸易函数图

如图3，表示当贸易前国内均衡价格低于世界价格的纺织品市场。允许自由贸易后，国内价格上升到等于世界价格。供给曲线表示国内生产的纺织品量，需求曲线表示国内消费的纺织品量。当前国内的出口等于世界价格时国内供给量与国内需求量之间的差额。卖者情况变好了（生产者剩余从C增加到B+C+D），而买者情况变坏了（消费者剩余从A+B较少为A）。图中D部分，表示总剩余的增加量，代表贸易的利益，同时也表明贸易增加了整个国家的经济福利。经济学家正是因为运用极限的思想，把复杂的散点图直线化；并通过积分求贸易利益中总剩余的变动。

2. 经济函数及最大利润

设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解：总成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

总收益函数 R（x）=500x

总利润 L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因为L′′（200）<0

所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L（200）=39000（元）。

参考文献：

[1]杜江.微积分应用的几点思考[J].高职教育，2012（05）.

[2]雷一鸣.独立学院微积分教材改革探析[J].广东工业大学学报（社会科学版），2008（7）.

[3]梁锦华.Math CAD在高职数学教学中的微积分应用[J].科技广场，2008（4）.

[4]张丽玲.极限思想在经济学中的应用[J].柳州职业技术学院学报，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁砾译.经济学原理：微观经济学分册[M].第五版.北京大学出版社，2011.

作者简介：杨荣领（1981.1- ），女，汉族，河南安阳人，硕士，华南理工大学广州学院讲师，研究方向：应用数学；李鑫宜（1992.3- ），女，广东清远，华南理工大学广州学院，本科；黄紫欣（1992.9- ），女，广东珠海，华南理工大学广州学院，本科；冼秋华（1992.3- ），女，广东罗定，华南理工大学广州学院，本科；湛家丽（1992.3- ），女，广东广州，华南理工大学广州学院，本科endprint

摘 要：本文对微积分在经济和管理学院专业的应用研究，从微分和积分两个主要方面进行探索，具体介绍这两个部分在经济和管理专业的代表例题，重点在它们的相互结合之上。

关键词：微分；极限；积分

一、引言

随着经济学和管理研究的不断深入，经济和管理的量化分析已经成为了经济学和管理学研究中的主要手段，这与微积分在经济和管理中的广泛应用密不可分。

在微分中，极限是最基本的概念。微积分中大量的其他基本概念都是用极限的概念来表达的。如导数和定积分都是建立在极限的概念之上。其中应用到弹性函数、生产技术系数、边际效益等数学概念。

二、 微分在经济学中的应用

1.边际概念与极限思想

在表述经济增长和公共政策的关系时，假设一个政府，实施一个提高国民储蓄率的政策——随着一国储蓄的增加，用于生产消费品的资源少了，而更多的资源用于生产资本品。在下图1中表明在所有其他决定产量的因素不变的情况下，每个工人的资本量如何决定每个工人的产量。

图1 生产函数

由于收益递减，储蓄率的增加所引起的高增长只是暂时的。随着高储蓄率使积累的资本更多，从增加的资本中得到的收益一直在减少，因此增长放慢。在长期中，高储蓄率引起高水平的生产率和收入，但是在这些变量中没有高增长。然而，达到这种长期可能需要相当一段时间。根据对经济增长国际数据的研究，提高储蓄率可以在几十年内引起相当高的增长。

资本的收益递减还有一层重要的含义：在其他条件相同的情况下，如果一国开始时比较穷，它就更易实现迅速增长。

2.多元经济函数及其偏导数

表 某工厂生产三种产品的有关资料如下：

（1） 计算三种产品的总成本指数。

（2） 计算以基期总成本为权数的产量总指数。

（3） 计算以报告期总成本为权数的单位成本总指数。

（4） 分析产量和单位成本的变动对产品总成本的影响。

解：（1）总成本指数为：

■

（2）产量总指数为：

■

（3）单位成本总指数为：

■

（4）由于产量变动使销售额增加11.6%，增加销售额145.7

532-130.6=15.1532万元；由于价格变动使销售额增加0.1%，增加销售额0.1468万元。

三、积分在经济学中的应用

在积分部分，利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等，对企业的经营决策乃至国家级别的经济决策及时做出正确的调整。

1.消费者剩余

需求量和供给量都是价格函数，在市场经济下，价格和数量都是经过不断的相互调整，最后趋向平衡。在效用与经济福利分析中，消费者剩余是消费者对某种商品愿意支付的价格超过实际付出价格的余额。

如图2所示，P表示实际支付的价格，D是需求曲线。而实际支付价格小于消费者愿意支付价格，其中出现的差额，称为消费者剩余。其计算思路为：计算需求曲线与q=0，q=b所围成的曲边梯形面积A。

其计算步骤为：（1）根据给出图形，利用极限思想无限细分，近似计算曲边梯形面积。（2）求极限。通过无限求和求出精确值。

图2 消费者剩余图像

整个图线面积■。则当n是有限数值时，面积■永远是曲边梯形的面积，即A的近似值。但当n增加时，面积的精确度才能相应增加。当n→∞时，并利用极限的方法才能实现从近似到精确，从而实现了近似■向曲边梯形面积的精确值A，即：

■

而这个也是微积分中另一个重要模型——定积分和不定积分的基本思想。即

■

积分，在某个角度就是一些曲线函数的面积。经济学家把复杂的数据制图，简化模型，引用积分思路，问题就变得简单了。例如，研究进出口贸易的函数图像，需要求解面积。

图3 进出口贸易函数图

如图3，表示当贸易前国内均衡价格低于世界价格的纺织品市场。允许自由贸易后，国内价格上升到等于世界价格。供给曲线表示国内生产的纺织品量，需求曲线表示国内消费的纺织品量。当前国内的出口等于世界价格时国内供给量与国内需求量之间的差额。卖者情况变好了（生产者剩余从C增加到B+C+D），而买者情况变坏了（消费者剩余从A+B较少为A）。图中D部分，表示总剩余的增加量，代表贸易的利益，同时也表明贸易增加了整个国家的经济福利。经济学家正是因为运用极限的思想，把复杂的散点图直线化；并通过积分求贸易利益中总剩余的变动。

2. 经济函数及最大利润

设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解：总成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

总收益函数 R（x）=500x

总利润 L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因为L′′（200）<0

所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L（200）=39000（元）。

参考文献：

[1]杜江.微积分应用的几点思考[J].高职教育，2012（05）.

[2]雷一鸣.独立学院微积分教材改革探析[J].广东工业大学学报（社会科学版），2008（7）.

[3]梁锦华.Math CAD在高职数学教学中的微积分应用[J].科技广场，2008（4）.

[4]张丽玲.极限思想在经济学中的应用[J].柳州职业技术学院学报，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁砾译.经济学原理：微观经济学分册[M].第五版.北京大学出版社，2011.

作者简介：杨荣领（1981.1- ），女，汉族，河南安阳人，硕士，华南理工大学广州学院讲师，研究方向：应用数学；李鑫宜（1992.3- ），女，广东清远，华南理工大学广州学院，本科；黄紫欣（1992.9- ），女，广东珠海，华南理工大学广州学院，本科；冼秋华（1992.3- ），女，广东罗定，华南理工大学广州学院，本科；湛家丽（1992.3- ），女，广东广州，华南理工大学广州学院，本科endprint

摘 要：本文对微积分在经济和管理学院专业的应用研究，从微分和积分两个主要方面进行探索，具体介绍这两个部分在经济和管理专业的代表例题，重点在它们的相互结合之上。

关键词：微分；极限；积分

一、引言

随着经济学和管理研究的不断深入，经济和管理的量化分析已经成为了经济学和管理学研究中的主要手段，这与微积分在经济和管理中的广泛应用密不可分。

在微分中，极限是最基本的概念。微积分中大量的其他基本概念都是用极限的概念来表达的。如导数和定积分都是建立在极限的概念之上。其中应用到弹性函数、生产技术系数、边际效益等数学概念。

二、 微分在经济学中的应用

1.边际概念与极限思想

在表述经济增长和公共政策的关系时，假设一个政府，实施一个提高国民储蓄率的政策——随着一国储蓄的增加，用于生产消费品的资源少了，而更多的资源用于生产资本品。在下图1中表明在所有其他决定产量的因素不变的情况下，每个工人的资本量如何决定每个工人的产量。

图1 生产函数

由于收益递减，储蓄率的增加所引起的高增长只是暂时的。随着高储蓄率使积累的资本更多，从增加的资本中得到的收益一直在减少，因此增长放慢。在长期中，高储蓄率引起高水平的生产率和收入，但是在这些变量中没有高增长。然而，达到这种长期可能需要相当一段时间。根据对经济增长国际数据的研究，提高储蓄率可以在几十年内引起相当高的增长。

资本的收益递减还有一层重要的含义：在其他条件相同的情况下，如果一国开始时比较穷，它就更易实现迅速增长。

2.多元经济函数及其偏导数

表 某工厂生产三种产品的有关资料如下：

（1） 计算三种产品的总成本指数。

（2） 计算以基期总成本为权数的产量总指数。

（3） 计算以报告期总成本为权数的单位成本总指数。

（4） 分析产量和单位成本的变动对产品总成本的影响。

解：（1）总成本指数为：

■

（2）产量总指数为：

■

（3）单位成本总指数为：

■

（4）由于产量变动使销售额增加11.6%，增加销售额145.7

532-130.6=15.1532万元；由于价格变动使销售额增加0.1%，增加销售额0.1468万元。

三、积分在经济学中的应用

在积分部分，利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等，对企业的经营决策乃至国家级别的经济决策及时做出正确的调整。

1.消费者剩余

需求量和供给量都是价格函数，在市场经济下，价格和数量都是经过不断的相互调整，最后趋向平衡。在效用与经济福利分析中，消费者剩余是消费者对某种商品愿意支付的价格超过实际付出价格的余额。

如图2所示，P表示实际支付的价格，D是需求曲线。而实际支付价格小于消费者愿意支付价格，其中出现的差额，称为消费者剩余。其计算思路为：计算需求曲线与q=0，q=b所围成的曲边梯形面积A。

其计算步骤为：（1）根据给出图形，利用极限思想无限细分，近似计算曲边梯形面积。（2）求极限。通过无限求和求出精确值。

图2 消费者剩余图像

整个图线面积■。则当n是有限数值时，面积■永远是曲边梯形的面积，即A的近似值。但当n增加时，面积的精确度才能相应增加。当n→∞时，并利用极限的方法才能实现从近似到精确，从而实现了近似■向曲边梯形面积的精确值A，即：

■

而这个也是微积分中另一个重要模型——定积分和不定积分的基本思想。即

■

积分，在某个角度就是一些曲线函数的面积。经济学家把复杂的数据制图，简化模型，引用积分思路，问题就变得简单了。例如，研究进出口贸易的函数图像，需要求解面积。

图3 进出口贸易函数图

如图3，表示当贸易前国内均衡价格低于世界价格的纺织品市场。允许自由贸易后，国内价格上升到等于世界价格。供给曲线表示国内生产的纺织品量，需求曲线表示国内消费的纺织品量。当前国内的出口等于世界价格时国内供给量与国内需求量之间的差额。卖者情况变好了（生产者剩余从C增加到B+C+D），而买者情况变坏了（消费者剩余从A+B较少为A）。图中D部分，表示总剩余的增加量，代表贸易的利益，同时也表明贸易增加了整个国家的经济福利。经济学家正是因为运用极限的思想，把复杂的散点图直线化；并通过积分求贸易利益中总剩余的变动。

2. 经济函数及最大利润

设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解：总成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

总收益函数 R（x）=500x

总利润 L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因为L′′（200）<0

所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L（200）=39000（元）。

参考文献：

[1]杜江.微积分应用的几点思考[J].高职教育，2012（05）.

[2]雷一鸣.独立学院微积分教材改革探析[J].广东工业大学学报（社会科学版），2008（7）.

[3]梁锦华.Math CAD在高职数学教学中的微积分应用[J].科技广场，2008（4）.

[4]张丽玲.极限思想在经济学中的应用[J].柳州职业技术学院学报，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁砾译.经济学原理：微观经济学分册[M].第五版.北京大学出版社，2011.

作者简介：杨荣领（1981.1- ），女，汉族，河南安阳人，硕士，华南理工大学广州学院讲师，研究方向：应用数学；李鑫宜（1992.3- ），女，广东清远，华南理工大学广州学院，本科；黄紫欣（1992.9- ），女，广东珠海，华南理工大学广州学院，本科；冼秋华（1992.3- ），女，广东罗定，华南理工大学广州学院，本科；湛家丽（1992.3- ），女，广东广州，华南理工大学广州学院，本科endprint