基于灰色理论和Usher曲线的PHC管桩单桩竖向极限承载力预测

王少东，方光秀

(延边大学工学院 土木工程系，吉林 延吉 133002)

PHC桩是在近代高性能混凝土(HPC)和预应力技术的基础上发展起来的混凝土预制构件，具有承载力高、抗弯性能好、应用范围广、沉桩质量可靠、工程造价低等特点[1].按照现行《建筑地基基础设计规范》(GB 50007—2011)的公式计算PHC管桩的竖向承载力值普遍偏低，且一般的静载荷试验很难达到极限荷载.另外，设计人员为了保证工程安全，在缺乏工程实践资料的情况下，往往过于保守，造成不必要的浪费[2].目前，利用灰色理论模型[3]或Usher曲线模型[4-6]预测灌注桩、钢管桩极限承载力的研究已有报道，但有关预测PHC单桩极限承载力及用两种模型进行对比的研究很少.为了进一步研究上述模型的预测精度，扩大其适应范围，本文结合文献[7]的桩荷载值和沉降值，利用灰色系统理论模型和Usher曲线预测PHC管桩单桩竖向极限承载力，并对模型的精度进行了讨论.

1 灰色预测模型的建立

灰色系统理论是基于小部分已知信息或部分未知信息的小样本研究，并通过对已知部分信息的采集和开发，从中提取有用的信息，最终达到有效控制系统运行行为和正确认识和描述事物演化规律的理论[8].

1.1 非等步长GM(1,1)模型建立

GM(1,1)灰色预测模型是对杂乱无章的数据序列进行变换，借助曲线对所获得的规律性较强的新数据序列进行准确的逼近，一般只需4个以上的数据即可建模[1]11-12.GM(1,1)灰微分方程[3]为

x(0)(k)+a×z(1)(k)=b，

根据灰色系统理论的建模方法，本文建立一阶线性动态微分方程，记为GM(1,1)模型：

(1)

其中a为发展系数(1/mm)；b为灰作用量(kN/mm).用最小二乘法可求得[a,b]T=(DTD)-1DTY，其中

解微分方程(1)可得

(2)

(3)

(4)

1.2 灰色预测GM(1,1)模型群

采用原始序列的荷载和沉降序列建立的GM(1,1)模型为全数据GM(1,1)模型.由于灰色系统在建模过程中会有一些不可避免的因素进入系统，从而影响预测的准确性，因此必须考虑随时间的推移引入的新信息，同时剔除旧信息.

2 灰色预测模型的精度检验

表1 预测精度表

3 Usher曲线模型预测

Usher曲线[4]是用来描述增长信息随时间变化的数学模型(S型曲线)，近年来被逐步推广应用于土建领域的预测模型中.Usher曲线的微分方程:

(5)

4 工程实例分析

试验桩数量在同一条件下少于3根，且不少于总桩数的1%[9].本文采用文献[7]的试验桩荷载值与沉降值，PHC管桩的桩长为14 m，桩径为400 mm.试验建筑IV区1号楼S1桩端持力层为中砂层，fs i为300 kPa，IV区2号楼S1桩端持力层为粉细砂层，fs i为250 kPa.根据工程实践，单纯求桩的极限承载力没有实际意义.按照《建筑地基基础设计规范》(GB 50007—2011)规定，Q-S曲线呈缓变型时，桩顶总沉降量s=40 mm所对应的荷载值为单桩竖向极限荷载值.

PHC管桩静载荷与沉降值[7]，如表2所示.

表2 PHC管桩静载荷资料

1)灰色理论全信息模型以2#S1桩为例(其余模型相似)，MATLAB软件计算程序如下：

Clear all

d=S*Q

e=inv(d′*d)*d′*Y

计算结果e=(a，b)=(0.073 4,291.66)．

2) Usher模型采用MATLAB拟合工具箱进行拟合，以2#S1桩为例，运算如下：

Clear all

X=[1.7, 2.82, 4.18, 5.62, 7.12, 8.91, 10.8, 13.24, 6.19]

Y=[560, 840, 1 120, 1 400, 1 680, 1 960, 2 240, 2 520, 2 800]

⋮

填入自定义函数

y=Q/(1+c*exp(-a*x))(1/b)

附初值及范围，并以此类推，得出计算结果.

运用公式(1)和公式(5)，建立1、2号楼S1桩的全数据GM(1,1)模型和Usher模型，并通过MATLAB 2010软件进行计算，同时采用软件中的拟合工具箱进行拟合，最后根据后验差比值、小误差概率验证预测模型是否满足工程要求.

1#S1桩和2#S1桩的3种灰色模型的比较见表3，由1#S1桩和2#S1桩Usher曲线模型得出的预测值、实测值、计算值见表4.

表3 1#S1桩和2#S1桩的3种灰色模型比较

表4 1#S1桩和2#S1桩Usher曲线模型的预测值、实测值和计算值

由表3和表4可知(3种灰色模型预测下)：1#S1桩的极限承载力的预测相对误差未超过7%，2#S1桩的极限承载力的预测相对误差为15%，根据后三级预测数据后验差比值C和小误差概率T以及表1得出，二者的预测精度等级均为好.这说明近距离预测极限承载力的精度较高，而远距离则有一定的误差.

由表4可知(Usher曲线模型预测下)：2#S1桩相对误差未超过-3%，1#S1桩的相对误差未超过-5%,这表明Usher曲线模型的预测精度较高.

从图1和图2可知，由实测Q-S值为数据序列建立的3种灰色预测GM(1，1)模型和Usher模型得到的单桩承载力预测值与单桩承载力实测值相吻合.从预测模型对数据的后验差和小误差概率可看出，预测模型对原始数据后3级的预测精度非常高.

图1 1#S1桩各预测模型图像

图2 2#S1桩各预测模型图像

5 结论

本文的工程实例表明：采用非等步长GM(1,1)模型预测PHC管桩单桩极限承载力虽然拟合精度较高，但相对误差较大，说明预测精度与竖向静载试验数据级数选取、预测距离等有密切关系；Usher模型对PHC管桩单桩极限承载力的预测效果优于灰色理论模型，特别是在曲线的尾部，桩顶极限荷载预测值与实测值的相对误差为3.8%(绝对平均值)，由此可判定Usher模型具有较高的精度.本文结论可为类似工程地质条件下的PHC管桩单桩竖向极限承载力的预测提供借鉴，当地质条件不同时，建议采用上述3种灰色模型和Usher模型分别进行预测，然后取加权平均值，这样预测值会更接近于实测值.

参考文献：

[1] 张明义.静力压入桩的研究与应用[M].北京:中国建材工业出版社,2004:10-12.

[2] 张正恩.高强度预应力混凝土管桩承载力研究[D].郑州:河南工业大学,2011:9-10.

[3] 邓聚龙.灰预测与灰决策[M].武汉:华中科技大学出版社,2002:111-140.

[4] 蒋建平.桩极限承载力的Usher模型预测[J].江苏大学学报,2009,30(5):528-532.

[5] 邵朋.基于遗传算法的PHC管桩竖向极限承载力预测研究[D].天津:天津大学建筑工程学院,2011:51-54.

[6] 罗建阳.基于灰色系统理论单桩竖向极限承载力的预测[J].南华大学学报,2011,6:95-99.

[7] 涂涛.预应力混凝土管桩承载性能的研究[D].西安:长安大学,2009,11:26-34.

[8] 许旭堂.静压PHC管桩单桩竖向极限承载力预测研究[D].福州:福建农林大学,2012,4:19-20.

[9] 中华人民共和国建设部、国家质量监督检验检疫总局.GB 50007—2011建筑地基基础设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社,2011:159-161.