一个半线性椭圆型变分不等式约束下的最优控制问题解的存在性

姜今锡，刘文斌，金艳

(延边大学理学院 数学系, 吉林 延吉 133002)

微分或变分不等式广泛应用于力学、控制论、经济数学、对策论和最优化中的许多重要问题，如最优控制问题、弹性问题、渗流问题以及处理非线性奇异摄动问题等.变分不等式作为非线性微分方程的一个特殊类型，具有非线性性、不确定或自由边界条件、以及解的不可微性等特点，其最优控制问题的讨论比非线性微分方程更为困难[1-2].文献[1-12]从不同角度对多种类型的线性及非线性变分不等式的最优控制问题进行了讨论，考察了解的存在性、最优化条件、数值解法等问题，并得到了许多有价值的研究成果，但是其中大多数研究仅局限于其目标函数相对于状态可微分的特殊情形.本文基于已有的研究成果，重点讨论目标函数相对于状态函数不可微情形下的一个最优控制问题，并证明其解的存在性.

1 最优控制问题的设定

1.1 记号表示

1.2 状态模型

状态函数u满足的半线性椭圆型变分不等式如下：

(1)

不等式(1)在H1(Ω)上存在唯一的解u.

1.3 不等式(1)的解的性质及光滑性

引理1如下非线性边值问题(2)存在唯一的解，且其解uε∈H1(Ω)满足如下关系式：

(2)

证明问题(2)的变分方程式为

(3)

〈Aεuε,v〉V×V*∶=(rλuε,v)Ω+(rαuε+rβ,β1(uε),v)Ωβ2(uε),v)Γ1,

引理2若φ∈L2(Γ3)，则问题(2)的解uε在Ω上几乎处处满足uε≥0.

证明可直接从引理1和引理2得到.

定理1若φ∈L2(Γ3)，则不等式(1)的解u满足u∈H3/2(Ω).

引理3u是不等式(1)的解当且仅当u为如下问题的解：

证明利用变分不等式的半梯度表示及其性质即可得到证明.

1.4 最优控制问题的设定

2 最优控制问题解的存在性

(4)

因为un也是(1)式的解，所以在Γ1上有

(5)

(6)

定理2最优控制问题(P)至少有一个解.

参考文献：

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