钛合金Ti6Al4V铣削加工过程阻尼模型稳定性预报

杜 红， 黄胜勇

(黑龙江科技大学 理学院，哈尔滨150022)

0 引 言

钛合金具有强度高，耐蚀性、耐热性好等特点，被广泛应用于航空发动机叶轮叶片等部件。钛合金的弹性模量为107 800 MPa，约为钢的1/2。钛合金导热系数小，加工时产生的热量很难释放，大部分切削热残留在刀尖上，导致切削力的波动，引起系统振动。这种难加工材料常采取低速切削，如铝合金高速切削速度1 000～4 000 m/min，而钛合金最高切削速度320 m/min。在低速加工过程中，刀具与工件加工表面之间会产生过程阻尼［1］。Moon 等［2］也指出了加工材料的弹塑性对系统的稳定性影响是显著的。

耐高温、高强度合金在低切削速度加工过程中，由于阻尼系数随着刀具磨损的增加，导致的颤振至今仍然是一个尚未解决的问题。20 世纪50年代末期，Tobias 等［3］注意到在低速加工过程中，刀具的侧铣面摩擦工件振纹面时，会导致过程阻尼。当振动频率与切削速度比高时，切削速度方向的切削力变小，工具的切除面与已加工的波纹面之间的摩擦也变小，使得切削稳定深度增加。2010年，Eynian 和Altintas［4－5］给出了在低速加工时过程阻尼的力学模型。在Eynian 给出的过程阻尼模型中，通过将切削力分解成稳态切削力和阻尼力两个部分，其中阻尼力与切削速度、切削宽度、每齿进给量有关，修正了再生颤振动力学模型中的切削力，得到稳定性边界。

目前，加工过程中动力系统的稳定性分析［6－8］主要有单频率法、时域有限元分析法、半离散法、全离散法等［9］方法。单频率法能够有效地预报多齿刀具和径向切深较大的工况，但不适用于少齿刀具及径向切深较小的工况;Bayly 等［10］应用时域有限元分析法预报了单自由度和两自由度铣削模型稳定性;Insperger 等［11］提出了半离散法，这种方法能够通用于大、小径向切深的工况，且精度取决于离散步长，计算速率较高。丁烨等［12］提出了全离散法，给出了经典再生颤振铣削模型的稳定性分析，该方法通过离散系统中的状态项和时滞项，其结果只依赖于转速，与径向切深无关，能够通用于大小径向切深工况，计算速率较半离散法有大幅度提高。笔者针对钛合金Ti6A14V，采用全离散法对过程阻尼单自由度模型进行稳定性预报。

1 摩擦颤振的过程阻尼模型

文献［3］和［12］中指出，在低速加工中刀具和工件之间的部分切削力与切削表面的刀具切削速度成比例，将这部分力增加到加工系统中的阻尼项，阻尼系数会随刀具磨损不断增加，产生颤振稳定性发生变化，得到过程阻尼模型。同时认为，切削力方向相对于瞬时切削速度总是恒定的，切削过程见图1。

设Fy0和Fz0表示在自由振动下的法向和切向切削力，有

式中:a——轴向切削深度;

c——每转进给量。

图1 切削速度影响下的再生正交切削过程Fig．1 Regenerative orthogonal cutting process with effect of vibration velocity

设vc是切削速度，Fy、Fz分别为法向和切向切削力，根据力学分析，得到

于是，得到在法向和切向的阻尼力Fd为

其中，KyKz分别为进给、切削速度方向上的切削力系数。

设y(t)和y(t －τ)表示系统内部和外部的振动，τ 是内部和外部振动波之间的时间延迟，则动态切削力Fy(t)表达成与时间t、速度vc之间的关系:

单自由度动态系统加工模型

其中，M 为模态质量;C 为阻尼;K 为刚度。

在低切削速度－ ˙y/vc下，过程中的阻尼项变为C+Kzac/vc，得到了一种动态切削力系数与再生切厚和振动速度有关的切削力模型，即过程阻尼模型:

2 模型的稳定性分析

基于全离散法给出过程阻尼模型(6)的稳定性预报方法，得到该系统的稳定性边界。

得到动态系统(6)的状态空间

A0表示系统中与时间t 无关的常数矩阵，A(t)和B(t)表示考虑再生效应动态切削力决定的周期矩阵，即A(t+T)=A(t)，B(t+T)=B(t)，T 为时间周期。

将刀齿切削周期等分为m 份，即T=mτ，其中τ为采样周期且m 为正整数，在每一个时间区间(kτ≤t≤kτ+τ)上以zk=z(kτ)为初始条件，式(7)的动态响应表示为如下的直接积分格式

即

从而得到

将式(10)中的状态项z(kτ + τ － ξ)、周期系数A(kτ+τ－ξ)和静态力项f(kτ +τ －ξ)在时间区间［kτ，kτ+τ］分别作线性逼近，

将式(10)中的时滞项z(kτ +τ －ξ －T)在时间区间［(k－m)τ，(k－m+1)τ］作线性逼近

则zk+1可以表示为

同时，由矩阵Φ0和A－10解析得到

若逆矩阵［I－Fk+1］－1存在，式(11)中zk+1可以表示为如下离散形式

记n(m+1)维向量ηk为

可以得到系统(6)的离散动态映射

式中:

故系统在单个时间周期上状态转移关系，可由矩阵序列表示为

基于Floquet 理论，该系统稳定性可由转移矩阵Φ 的特征值的模决定，即

3 实验结果与分析

以主轴转速n 为横坐标、轴向切削深度h 为纵坐标，用MATLAB 软件得到的基于全离散法的过程阻尼模型(6)的稳定性边界，见图2。图2 中的曲线下方为稳定性区域，曲线上方为非稳定性区域。并且对难加工材料钛合金Ti6Al4V 进行铣削加工实验，选取硬质合金材料的刀具，刀具齿数4，刀具直径8 mm，刃长40 mm，螺旋角45°。

图2 过程阻尼模型(6)的稳定性Fig．2 Stability of process damping model (6)

通过测试分析计算，得到钛合金的模态参数［9］为M =0.006 76 kg，C =4.929 N/(m·s－1)，K =4.553 ×105N/m，切削力系数［13］Ky= －6.331 5 ×107N/m，Kz=3.325 6 ×107N/m。

取每齿进给率c=1.4 mm/min，分别在主轴转速为800、2 100、2 400、3 100、3 600、4 000 和4 800 r/min转速(即切削速度约为20、53、60、78、90、100 和120 N/m)下进行轴向切削深度实验。由图2 可以看出，钛合金铣削加工实验结果与模型(6)全离散法计算得到的稳定性边界相吻合，验证了该预报的准确性。这样，基于图2 中的稳定性边界，在钛合金Ti6Al4V 低速加工过程中，选取合适的加工参数，可以有效地减少加工过程中的刀具磨损。

4 结束语

钛合金Ti6A14V 铣削加工过程阻尼模型稳定性预报准确。得到的稳定性Lobe 图与加工实验数据相符。全离散预报方法，有效地预报了钛合金Ti6A14V 在低切削速度下的加工稳定性，可以起到提高加工质量，减少刀具磨损的作用。

［1］ALTINTAS Y，EYANIAN M，ONOZUKA H．Identification of dynamic cutting force coefficients and chatter stability with process damping［J］．CIRP Annals-Manufacturing Technology，2008，57(1):371 －374．

［2］MOON F C，KALAMAR NAGY T．Nonlinear models for complex dynamics in cutting materials［J］．Philosophical Transactions of the Royal Society A:Mathematical，Physical and Engineering Sciences，2001，359(8):695 －711．

［3］TOBIAS S A，FISWICK W．Theory of gegenerative machine tool chatter［M］．London:The Engineer，1958．

［4］MAHDI EYNIAN．Chatter stability of turning and milling with process damping［D］．［S．l．］:The University of British Columbia，2010．

［5］ALTINTAS Y，BUDAK E．Analytical prediction of stability lobes in milling［J］．CIRP Annals-Manufacturing Technology，1995，44(1):357 －362．

［6］王经天．几类时滞微分方程解的稳定性分析［D］．镇江:江苏大学，2009:10 －20．

［7］许超然．一类时滞微分方程稳定性及分支问题研究［D］．哈尔滨:哈尔滨工业大学，2010:7 －17．

［8］周建富．几类时滞微分方程解的稳定性和有界性研究［D］．长沙:中南大学，2011:16 －21．

［9］丁 烨．铣削动力学——稳定性分析方法与应用［D］．上海:上海交通大学，2011．

［10］BAYLY P V，HALLEY J E，MANN B P，et al．Stability of interrupted cutting by temporal finite element analysis［C］// Proceedings of the ASME Design Engineering Technical Conference，2001:2361 －2370．

［11］INSPERGER T，STEPAN G．Semi-discretization method for delayed systems［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2002，55(5):503 －518．

［12］YE DING，LI MIN ZHU．A full-discretization method for prediction of milling stability［J］．International Journal of machine Tools ＆ Manufacture，2010，50(1):502 －509．

［13］ALTIANTAS．数控技术与制造自动化［M］．北京:化学工业出版社，2002．