重力式挡土墙鲁棒性设计

黄宏伟，龚文平，庄长贤，张 洁

（1.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海200092；2.同济大学 土木工程学院，上海200092；3.克莱姆森大学 土木工程系，克莱姆森29634）

重力式挡土墙具有结构简单、就地取材以及施工方便等优点，是当今国内外最为常见的一种挡土结构，广泛运用于铁路、公路及边坡治理等工程.传统重力式挡土墙结构设计主要采用确定性设计方法，难以有效考虑岩土力学参数不确定性对挡土结构安全性能的影响［1－3］.20世纪70年代，结构可靠度设计方法开始出现并逐步运用于重力式挡土墙结构设计中，相对确定性设计方法，可靠度设计方法可有效评价岩土力学参数变异性对结构安全与使用性能的影响［4－5］.

可靠度设计必须建立在岩土力学参数具有明确统计规律基础上，基于确定性的参数统计规律计算结构失效概率，进而指导设计方案选择以及具体参数确定.然而，受土体沉积历史、工程活动以及其他因素等影响，岩土力学参数存在较强的变异性.根据有限的工程勘察试验难以得到准确的岩土参数统计规律［6］.其中，岩土力学参数的变异性（或标准差）通常被低估或高估［7－8］.因此，基于可靠度理论的结构设计方法在重力式挡土墙设计中仍然难以真实反映结构安全性能或失效水平.

针对设计参数不确定性，鲁棒性（robustness）可有效评价系统功能对设计参数变异的敏感性.鲁棒性设计概念由Taguchi于20世纪70年代针对质量控制系统提出，其后在机械制造、生态系统以及航空航天 等 领 域 得 到 了 迅 速 推 广 与 发 展［9－14］.Juang等［7－8］最早将其引入岩土工程，提出了岩土工程鲁棒性设计方法，充分考虑岩土力学参数统计特征（变异系数）不确定性对岩土工程安全与使用性能的影响.相对可靠度设计与确定性设计方法，鲁棒性设计可更加合理地反映岩土工程安全水平与使用性能.

本文基于Juang等［7－8］提出的岩土工程鲁棒性设计方法研究了岩土力学参数变异系数的不确定性对重力式挡土墙结构安全性能（或失效概率）的影响.基于现有岩土工程可靠度设计理论，提出了基于多目标优化方法与基于结构失效概率置信水平的2种鲁棒性设计方法.结合某具体重力式挡土墙［15］，考虑岩土力学参数变异系数的不确定性，对可靠度设计与鲁棒性设计结果的失效概率均值、失效概率变异性以及经济性等方面进行了对比分析.

1 重力式挡土墙设计方法简要分析

传统重力式挡土墙设计方法主要为确定性设计和可靠度设计.墙体倾覆与墙体滑移为重力式挡土墙结构最主要的2种破坏模式［16－17］，虽然，整体稳定性破坏也为重力式挡土墙设计的主要验算内容，然而当前在可靠度分析中对其验算尚存在一定分歧.因此，本文主要针对墙体倾覆与墙体滑移2种破坏模式.

1.1 确定性设计方法

图1为我国建筑地基基础设计规范［18］中典型重力式挡土墙结构示意图.图中，Ea为墙后主动土压力；Eax与Eaz分别为墙后主动土压力平行于墙底方向与垂直于墙底方向分力；W为挡土墙墙体自重；Wx与Wz分别为墙体自重平行于墙底方向与垂直于墙底方向分力；b为挡土墙墙底尺寸；α0为挡土墙墙底与水平方向夹角；α为挡土墙背与水平方向夹角；Zf为墙后主动土压力合力作用点距墙趾O垂直于墙底方向距离；xf为墙后主动土压力合力作用点距墙趾O平行于墙底方向距离；x0为挡土墙重心距墙趾O水平距离.

图1 重力式挡土墙示意［18］Fig.1 The diagram of gravity retaining wall［18］

确定性设计方法中各设计参数均假定为确定性，不存在变异性.基于确定性设计参数建立结构抗力与荷载效应之间关系，通过富余安全系数考虑实际工程中存在的诸多不确定性因素对结构安全水平与使用性能的不利影响.

假设墙底黏聚力与墙底摩擦系数分别为ca与μ，根据图1所示可分别建立重力式挡土墙墙体抗倾覆与墙体抗滑移2种破坏模式的安全系数.

式中：Fs1为挡土墙抗倾覆稳定安全系数；Fs2为挡土墙抗滑移稳定安全系数.

式（1）、式（2）中安全系数选择一般根据工程经验确定，显然安全系数的选取对结构设计结果影响重大，且难以真实反映不同工程中参数变异性大小对结构安全性能的影响程度，实际设计结果或偏保守或偏危险.据我国规范［18－19］，Fs1≥1.6，Fs2≥1.3.

1.2 可靠度设计方法

结构可靠度设计方法产生于20世纪70年代，随后在岩土工程中逐渐推广.可靠度设计需要首先定义结构功能函数，即结构某一性能超过某一状态就不能满足设计规定的某一项功能要求.

式中：Z为结构功能函数；X＝（X1，X2，…，Xn）为随机向量，服从某确定的分布规律；R（X）与S（X）分别为结构抗力函数与荷载效应函数.图1所示重力式挡土墙抗倾覆与抗滑移2种失效模式的结构功能函数Z1，Z2可分别定义为

根据式（3）功能函数可计算相应的结构失效概率Pf.

式中：f（x）为随机向量X的联合概率密度函数；D为结构失效域，D＝｛x（Z（x）＜0｝；X＝（X1，X2，…，Xn）为随机向量.

由于Pf通常较小，可靠度设计中常根据可靠度指标β进行结构设计，β与Pf的关系可表示为

实际工程结构功能函数复杂多样且设计参数较多，可靠度指标计算相对繁琐.为了方便实际工程应用，设计规范通常将其转化为与多安全系数相近的分项系数法［20］.

式中：γk为荷载分项系数，k＝1，2，…，ns；Sk为第k项荷载效应特征值；ns为荷载数；γR为抗力分项系数；R为抗力效应特征值.根据目标可靠度与各参数变异性确定，各国规范都给出了相应的结构可靠度设计分项系数推荐值.

取重力式挡土墙倾覆破坏为二级延性破坏，滑移破坏为三级延性破坏.根据《建筑结构可靠度设计统一标准》［20］中目标可靠度指标规定，2种失效模式对应的目标可靠度指标分别为3.2和2.7，相应失效概率分别为0.000 69和0.003 50.

2 鲁棒性设计方法及步骤

相对确定性设计方法，可靠度设计方法可以计算出结构失效概率，从一定程度上考虑设计参数不确定性对设计结果的影响.然而，其必须事先知道各设计参数的准确统计规律.实际工程中岩土力学参数的准确统计规律往往难以得到，可靠度设计方法的使用受到一定制约.

岩土力学参数统计均值一般可根据有限的工程试验进行较为准确预测，而变异系数（或标准差）却难以根据有限的工程试验进行准确估计，只能得到一个大致分布范围［6－7，21－22］.岩土力学参数变异性 往往被低估或高估，运用可靠度设计方法，偏大的变异系数估计可造成设计结果偏保守，偏小的变异系数估计则造成设计结果偏危险.

根据有限的工程试验以及工程经验只能确定岩土力学参数变异系数范围，则变异系数估计往往存在一定不确定性，其标准差σcov可按照3－σ法则进行确定［22］.

式中：HCOV为变异系数取值上限；LCOV为变异系数取值下限.

鲁棒性设计主要研究系统功能对设计参数变异的响应问题，通过调整易控设计参数达到降低系统功能对不可控设计参数变异的敏感性的目的［14］.考虑岩土力学参数统计特征不确定性，岩土工程鲁棒性设计即通过调整结构几何参数使结构功能对岩土力学参数统计特征变异的敏感性降低［7－8］，在岩土力学参数变异系数不确定的条件下保证可靠度要求的同时具有较高的鲁棒性.本文基于不同的鲁棒性能评估方法提出基于多目标优化方法的鲁棒性设计方法与基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计方法.

2.1 基于多目标优化方法的鲁棒性设计

岩土力学参数变异系数不确定性必然引起结构功能变异或Pf不确定性，因此，岩土工程鲁棒性设计需通过对设计参数的调整使结构失效概率变异性最小化.同时，考虑经济性要求，鲁棒性设计为多目标优化问题，其数学模型可表示为：①变量，即可控设计参数（如结构几何参数）；②约束条件，即安全性要求；③最小化，即经济成本，系统功能对岩土力学参数变异系数变异的敏感性.其中，系统功能对岩土力学参数变异系数变异的敏感性可以通过结构失效概率标准差Pf－std来表示，安全水平可通过结构失效概率均值Pf－mean来表示.

经济成本与系统功能对不确定参数变异的敏感性通常为相互冲突的目标，可以采用非主导优化方法（non－dominated optimization）［23］筛选出一系列最优的设计参数组合，构成帕雷托前沿（Pareto front），然后再从帕雷托前沿上寻找关节点（knee point）［24］作为最佳设计，实现经济性与鲁棒性的最佳平衡.

2.2 基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计

为了避免复杂的多目标优化问题，鲁棒性设计可进行简化：考虑参数变异系数不确定性条件下将Pf控制在适当的范围内［7，14］.即以Pf满足安全性要求的置信水平的作为鲁棒性水平评价指标.

式中：Pr为条件概率；Pd为结构失效概率限值（本文重力式挡土墙抗倾覆破坏与抗滑移破坏的失效概率限值分别取为Pd1＝0.000 69和Pd2＝0.003 50）；Pp为鲁棒性置信水平.

根据式（10）鲁棒性置信水平可定义鲁棒性指标βp，其与Pp的关系可表示为

基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计即筛选出满足结构失效概率置信水平且经济成本最小的设计.

2.3 岩土工程鲁棒性设计流程

结合图2所示岩土工程鲁棒性设计流程，岩土工程鲁棒性设计主要分为以下步骤：①针对具体岩土工程进行数学建模与参数分析；②明确可控设计参数可能取值情况以及不可控参数（如岩土参数变异系数）变异范围；③根据工程经验确定n组可能设计参数组合；④分别计算各组可能设计参数组合的结构失效概率均值，以此剔除不满足可靠度要求的设计参数组合，得到一系列可行设计参数组合；⑤分别计算各可行设计的经济成本与失效概率标准差；⑥根据工程师偏好，选择基于多目标优化方法的鲁棒性设计方法或基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计方法完成岩土工程鲁棒性设计.

图2 岩土工程鲁棒性优化设计流程Fig.2 Flowchart of robust geotechnical design

综上所述，鲁棒性设计并不是对现有可靠度设计方法的否定，而是对现有可靠度设计方法的进一步完善，考虑实际工程中各设计参数统计特征不确定性，研究结构失效概率的变异性.

3 工程案例

3.1 工程案例介绍

为了对可靠度设计方法与鲁棒性设计方法进行对比分析，从文献［15］选取重力式挡土墙工程案例.图3为所选重力式挡土墙示意图，墙体为混凝土材料，墙后土体为砂土，不考虑墙底与地基之间摩擦力.图中：H为挡土墙高度；W1与W2分别为墙体三角形部分与矩形部分重度；a与b分别为墙顶尺寸与墙底尺寸；Pa为墙后土压力；ca与δ分别为墙底黏聚力和墙背与土体之间摩擦角；α为墙背与水平方向夹角；λ为墙后土体倾斜角度.具体几何和物理力学参数为：H＝6.0m，λ＝10°，α＝90°，墙体重度γwall＝24 kN·m－3；墙后土体重度γs、墙后土体内摩擦角φ′、墙背与土体之间摩擦角δ、墙底与地基之间黏聚力ca均为随机变量，服从正态分布.其中，φ′和δ存在较强相关性［15，18］，取文献［15］相关系数0.8，不考虑其他参数之间相关性.

图3 工程案例示意［15］Fig.3 The diagram of a project example［15］

根据文献［6，22，25］给出的常见岩土力学参数变异系数取值范围，结合式（9）可确定墙后岩土力学参数变异系数标准差，并结合文献［15］基本参数取值情况，可确定本工程案例基本岩土力学参数取值，见表1.

表1 挡土墙设计基本工程参数取值Tab.1_The value of basic engineering parameters

墙后土压力引用文献［15］库伦土压力，土压力系数为Ka.

根据式（1）、式（2）与式（4）、式（5）可得该重力式挡土墙墙体倾覆与墙体滑移2种失效模式的安全系数与功能函数.

式中：A1与A2分别为墙体自重W1与W2作用点距离墙趾的水平距离；Pah与Pav分别为墙后土压力Pa在水平方向与竖直方向分力；Aav与Aah分别为墙后土压力Pa作用点距离墙趾的竖直距离与水平距离.

如同其他工程，重力式挡土墙设计需要进行优化求解.《建筑地基基础设计规范》［18］规定混凝土墙顶宽度不宜小于0.2m，且考虑施工方便，优化设计中挡土墙基本可控设计参数（a与b）取值离散，见表2.

表2 重力式挡土墙基本设计参数取值范围Tab.2 Possible values of design parameters gravity retaining wall

重力式挡土墙设计中以挡土墙混凝土体积最小为经济目标，即以每延米混凝土体积表示挡土墙设计经济成本C.

3.2 可靠度设计

可靠度设计默认岩土力学参数是服从明确统计规律的随机变量，挡土墙设计中仅需对结构失效概率进行计算.针对本案例，假设岩土力学参数的变异系数估计准确，即挡土墙可靠度计算中对土体参数均值与变异系数分别取表1中各物理量均值与变异系数均值，与文献［15］一致.

针对图3中重力式挡土墙确定性设计结果（a＝0.2m，b＝2.0m），分别运用泰勒展开法、一次二阶矩法［26］以及蒙特卡罗法［1］等方法进行结构失效概率计算，见表3.由表3可见，一次二阶矩法具有相对较高的计算精度（与蒙特卡罗法100万次抽样对比）且计算工作量较小，因此可靠度设计采用一次二阶矩法进行可靠度计算.

表3 确定性设计结果失效概率Tab.3 Failure probabilities of the deterministic design by different methods

根据式（14）中两功能函数，运用一次二阶矩法对表2中不同可能设计参数组合进行结构失效概率计算，得挡土墙失效概率Pf1与Pf2，如图4所示.

图4 重力式挡土墙失效概率Fig.4 Failure probabilities of gravity retaining wall

图4 a表明，增加b可显著降低Pf1；图4b表明，由于不考虑墙底与地基摩擦力作用，Pf2仅与b有关；随着b的增加Pf2逐渐减小.

根据图4挡土墙失效概率计算结果，结合挡土墙设计失效概率约束条件，即Pd1＝0.000 69与Pd2＝0.003 50，以及经济成本优化原则，可确定基本设计参数：a＝0.2m，b＝2.1m；对应的结构失效概率为：Pf1＝1.31×10－4＜6.9×10－4，Pf2＝2.05×10－4＜3.5×10－3，满足可靠度要求；对应的经济成本为：C＝6.9m3·m－1.其中，重力式挡土墙可靠度设计控制失效模式为抗倾覆破坏.

在实际工程中，岩土力学参数统计特征往往难以准确确定.假设岩土力学参数φ的变异系数估计偏小或偏大（如5.0%或20.0%），而其他参数变异系数估计准确，对应的可靠度设计结果见表4.由表4可见，若对土体参数变异性估计过小，即5.0%，可靠度设计结果偏危险，经济成本偏低；若对土体参数变异性估计过大，即20.0%，可靠度设计结果偏保守，经济成本偏高.即在岩土参数统计规律难以准确确定的条件下，可靠度设计往往不能真实反映结构失效概率，设计结果或偏于危险或偏于保守.基于不准确的岩土力学参数统计特征的可靠度设计结果往往不能真实反映岩土工程安全性能.

表4 参数估计不当条件下可靠度设计结果Tab.4 Reliability design under the mistaken estimationof soil para meters

3.3 鲁棒性设计

为充分评价参数统计特征不确定性对岩土工程性能的影响，需在可靠度设计基础上进一步进行结构鲁棒性设计，考虑岩参数统计特征不确定性后使结构失效概率变异性最小化.

鲁棒性设计中需考虑岩土力学参数统计特征不确定性涉及到十分繁琐的可靠度计算.该重力式挡土墙鲁棒性设计中采用较为简单的点估计法中的7点二阶矩法［27］.即，首先运用7点二阶矩法计算出Pf，再考虑岩土参数变异系数不确定性嵌套调用7点二阶矩法计算Pf－mean与Pf－std.

充分考虑表1中岩土力学参数变异系数的不确定性，运用点估计法可求得挡土墙结构2种失效模式在不同墙体几何尺寸组合下的失效概率均值与失效概率标准差，如图5、图6所示.其中，图6仅反映了可行设计参数组合的失效概率标准差.

图5 重力式挡土墙失效概率均值Fig.5 Mean value of failure probabilities of gravity retaining wall

对比图5与图4发现：考虑岩土力学参数变异系数不确定性后，抗倾覆结构失效概率均值相对可靠度设计中Pf1无明显改变；同样，可发现挡土墙结构抗滑移失效概率无明显改变.

图6a表明，增加挡土墙底宽b可显著降低挡土墙抗倾覆失效概率标准差，提高结构鲁棒性水平.图6b表明，由于不考虑墙底与地基摩擦力作用，挡土墙抗滑移失效概率标准差仅与b有关，随着b增加而逐渐减小.

3.3.1 基于多目标优方法的鲁棒性设计

针对图3所示重力式挡土墙基于多目标优化方法进行鲁棒性设计：以Pf－std作为鲁棒性指标，以C作为经济指标.对经过安全性筛选之后的所有可行设计分别运用多目标优化方法NGSA－II［23］建立针对墙体2种失效模式的帕雷托前沿，然后根据建立的帕雷托前沿进一步找到其中的关节点［24］，如图7所示.

图6 重力式挡土墙失效概率标准差Fig.6 Standard deviation of failure probabilities of gravity retaining wall

图7 表明：2种破坏模式的Pf－std均随C增加显著降低；且相对墙体抗倾覆失效模式，挡土墙抗滑移模式的失效概率标准差更大.由图7可得，鲁棒性设计结果为：a＝0.2m，b＝2.5m；对应的结构失效概率均 值 为：Pf1－mean＝1.29×10－9＜6.9×10－4，Pf2－mean＝1.99×10－4＜3.5×10－3，满足可靠度要求；对应的Pf1－std＝5.23×10－8，Pf2－std＝5.93×10－4；对应的C＝8.1m3·m－1.其中，重力式挡土墙鲁棒性设计控制失效模式为抗滑移破坏.

3.3.2 基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计

根据图5、图6中计算得到挡土墙2种失效模式对应的Pf－mean与Pf－std，假设其Pf服从对数正态分布，相应的鲁棒性指标βp1与βp2可表示为

综合各可行设计（即满足安全性要求）的鲁棒性指标与经济成本可得图8.

图7 重力式挡土墙失效概率标准差与经济成本关系Fig.7 Standard deviation of failure probabilities of gravity retaining wall versus cost

相对图7，图8得到相似结论：重力式挡土墙鲁棒性水平随经济成本增加可显著提高；挡土墙抗滑移破坏模式的鲁棒性水平相对更低，即鲁棒性设计中控制破坏模式为重力式挡土墙滑移破坏；同时，在相同的经济成本下，a越小，挡土墙鲁棒性水平越高.据图8可得到该重力式挡土墙在不同鲁棒性水平下对应的鲁棒性设计结果，见表5.

图8 重力式挡土墙鲁棒性指标与经济成本关系Fig.8 Robustness index of gravity retaining wall versus cost

表5 挡土墙鲁棒性设计结果Tab.5 Results of robust design of gravity retaining wall for different robust levels

表5表明：随鲁棒性水平提高，鲁棒性设计结果经济成本显著增加；所有鲁棒性设计中挡土墙控制破坏模式均为抗滑移模式；当βp＝1.5时，可以得到与可靠度设计（土体参数变异系数估计准确）相同的结果，此时Pp＝93.32%；当βp＝2.5时，可以得到与多目标优化方法的鲁棒性设计相同的结果，此时Pp＝99.38%.

对比可靠度设计结果与鲁棒性设计结果发现：当岩土力学参数变异系数被准确预测时，仅仅可靠度设计即可满足结构安全性能要求；当岩土力学参数变异系数不能准确估计时，鲁棒性设计具有明显的优越性，可有效避免设计结果偏于保守或偏于危险等问题，取得较好的安全性能与经济效益.

4 结论

针对岩土工程设计分析中岩土参数统计特征不确定性，在现有可靠度基础上提出了重力式挡土墙设计方法：基于多目标优化方法的鲁棒性设计与基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计.结合具体工程案例比较分析了可靠度设计方法与鲁棒性设计方法，主要结论如下：

（1）当岩土参数变异性可以准确预测时，可靠度设计具有一定合理性，然而，现有可靠度设计中岩土参数变异性不易确定，岩土参数变异性的低估或高估使设计结果偏于危险或偏于保守，鲁棒性设计可考虑岩土参数统计特性不确定性对岩土工程安全性能的影响，并得到岩土结构安全性能的变异水平，是对现有可靠度设计方法的进一步优化.

（2）提出了2种鲁棒性优化方法：基于结构失效概率置信水平的鲁棒性设计可明确反映结构的鲁棒性水平，即结构失效概率的置信水平，易于操作；基于多目标优化方法的鲁棒性设计方法可在岩土结构功能鲁棒性与经济成本之间取得最佳平衡，且不需要预先定义鲁棒性指标.

（3）在可靠度设计中，重力式挡土墙控制失效模式为抗倾覆破坏，而鲁棒性设计中控制失效模式为抗滑移破坏，即墙体抗滑移稳定性相对抗倾覆稳定性对岩土力学参数统计特征的变化更加敏感.

［1］Chandler D S.Monnte Carlo simulation to evaluate slope stability［C］∥Geotechnical Special Publication No.58.New York：ASCE，1996：474－493.

［2］Chalermyanont T，Benson C H.Reliability－based design for internal stability of mechanically stabilized earth walls ［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2004，130（2）：163.

［3］Castillo E，Minguez R，Ruiz Teran A，et al.Design and sensitivity analysis using the probability－safety－factor method—an application to retaining walls［J］.Structural Safety，2004，26（2）：159.

［4］王平，刘东升，田强，等.地下水作用下挡土墙的稳定性分析［J］.地下空间，2001，21（5）：475.WANG Ping，LIU Dongsheng，TIAN Qiang，et al.Reliability analysis of gravity wall under ground water［J］.Underground，2001，21（5）：475.

［5］Babu G S，Basha B M.Optimum design of cantilever retaining walls using target reliability approach［J］.International Journal of Geomechanics，2008，8（4）：240.

［6］Phoon K K，Kulhawy F H.Characterization of geotechnical variability［J］.Canadian Geotechnical Journal，1999，36（4）：612.

［7］Juang C，Wang L，Liu Z，et al.Robust geotechnical design of drilled shafts in sand：new design perspective［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2013，139（12）：2007.

［8］Juang C H，Liu Z，Atamturktur H S.Reliability－based robust geotechnical design of retaining walls［C］∥Sound Geotechnical Research to Practice.San Diego：ASCE，2012：514－524.

［9］Brik B A，Ghanmi S，Bouhaddi N，et al.Robust design in structural mechanics ［J］.International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics，2008，8（1）：39.

［10］Kuschel N，Rackwitz R.Optimal design under time－variant reliability constraints［J］.Structural Safety，2000，22（2）：113.

［11］Parkinson A，Sorensen C，Pourhassan N.A general approach for robust optimal design［J］.Journal of Mechanical Design，1993，115（1）：74.

［12］Chi H W，Bloebaum C L.Mixed variable optimization using Taguchi’s orthogonal arrays ［J］.Structural Optimization，1996，12（2）：147.

［13］Tsui K L.An overview of Taguchi method and newly developed statistical methods for robust design ［J］.IIE Transactions，1992，24（5）：44.

［14］Beyer H G，Sendhoff B.Robust optimization—a comprehensive survey ［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2007，196（33）：3190.

［15］Low B K.Reliability－based design applied to retaining walls［J］.Geotechnique，2005，55（1）：63.

［16］杜永峰，余钰，李慧.重力式挡土墙稳定性的结构体系可靠度分析［J］.岩土工程学报，2008，30（3）：349.Du Y F，Yu Y，Li H.Analysis of reliability of structural systems for stability of gravity retaining walls［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2008，30（3）：349.

［17］黄太华，袁 健.关于重力式挡土墙截面尺寸确定方法的探讨［J］.岩土工程技术，2004，18（5）：242.Huang T H，Yuan J.Determination method for the size of cross section of self－weight type retaining wall ［J］.Geotechnical Engineering Technique，2004，18（5）：242.

［18］中华人民共和国建设部.GB50007 2002建筑地基基础设计规范［S］.北京：中国建筑工业出版社，2002.Ministry of Construction of the People’s Republic of China.GB 50007 2002 Code for design of building foundation ［S］.Beijing：China Architecture ＆Building Press，2002.

［19］中华人民共和国建设部.GB50021 2001岩土工程勘察规范［S］.北京：中国建筑工业出版社，2009.Ministry of Construction of the People’s Republic of China.GB 50021 2001（2009）Code for investigation of geotechnical engineering［S］.Beijing：China Architecture ＆Building Press，2009.

［20］中华人民共和国建设部.GB50068 2001建筑结构可靠度设计统一标准［S］.北京：中国建筑工业出版社，2001.Ministry of Construction of the People’s Republic of China.GB50068 2001 Unified standard for reliability design of building structures［S］.Beijing：China Architecture ＆Building Press，2001.

［21］Wu T H，Tang W H，Sangrey D A，et al.Reliability of offshore foundation—state of the art ［J］.Journal of Geotechnical Engineering，1989，115（2）：157.

［22］Duncan J M.Factors of safety and reliability in geotechnical engineering［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2000，126（4）：307.

［23］Deb K，Pratap A，Agarwal S，et al.A fast and elitist multiobjective genetic algorithm：NSGA－II［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6（2）：182.

［24］Deb K，Gupta S.Understanding knee points in bicriteria problems and their implications as preferred solution principles［J］.Engineering Optimization，2011，43（11）：1175.

［25］Cherubini C.Reliability evaluation of shallow foundation bearing capacity onc′，φ′soils［J］.Canadian Geotechnical Journal，2000，37（1）：264.

［26］Low B K， Phoon K K.Practical first－order reliability computations using spreadsheet ［C］∥ Probabilistics in Geotechnics：Technical and Economic Risk Estimation.Graz：Verlag Gluckauf GmbH，2002：39－46.

［27］Zhao Y G，Ono T.Moment methods for structural reliability［J］.Structural Safety，2001，23（1）：47.