中学数学课堂问题设计与思维品质的培养

徐欣然

问题的设计是课堂教学的关键，通过问题的提出不仅可以点燃学生思维的火花、引起学生求知的欲望，而且能够启迪学生的智慧。数学家华罗庚指出：学习数学最好到数学家的字篓里找教材，不要只看到教材结论，他在书上给你看的结论不过两三行，可是他在写出这个两三行以前，不知花了多少心血，经历了多少困难与挫折，稿纸不知用去了多少张，他成功的历程就是由这些稿纸记录下来的[1]。正是因为这些数学教材的完美表述形式，将数学思维过程的本质特征掩盖起来了。因此，教师在课堂教学过程中，既要挖掘教材中有一定价值的知识内容，还要将其设计成有一定情境的数学问题，以诱发学生探究数学本质的欲望和动机，从而达到发展学生思维能力、全面提高学生数学素质的目的。

一、中学生思维劣势分析

现代教育心理学研究表明，学生数学思维的发展呈现年龄特征，即在一定年龄阶段内所表现出来的一般的、本质的、典型的特征。通常要经历直观行动思维、具体形象思维到抽象逻辑思维（包括辩证思维）等阶段[2]。就中学生这一群体来说，在整个中学阶段，学生的思维发展迅速，可以说是学生数学思维发展的“关键期”。自我意识、自我监控、自我调节、自我反思能力逐渐增强；思维过程中追求新颖、独特、个性。与此同时，中学生在学习过程中思维存在着一定的缺陷，主要存在以下几个方面的问题。

1.思维的片面化

《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼和富有个性的过程[3]。但在真实的数学课堂中，由于学生对所学的知识缺乏系统的掌握，对已学的知识熟练程度不强，大多数学生不善于从多角度、多方面、多维度去考虑。对于所学的内容在理解上呈现出孤立、间断状态，从而在学习过程中缺乏建立和完善思维的整体结构，更会影响到新知识的理解。

2.思维的低层次化

数学思维是人脑对数学现象的本质属性、内部规律自觉的、间接的概括反映。由于年龄特征及知识发展水平的局限，大部分中学生的数学学习仅满足于对数学结论如公式、定理、性质等的套用。只重视知识的内涵，忽视其外延，学生对于记忆性的题目、难度较小的题目学习动机比较强，但是一旦遇到综合性强、难度大的题目时，便无从下手。这反映出学生的思维变通性、应变能力较差，主要靠直观思维来解决具体、形象的问题，思维层次较低。

3.思维的无序化

一般说来，数学思维就是按由低层次向高层次顺序不断发展的，这种发展是高层次思维形态以低层次思维形态为基础，高层次形态的出现与发展又反过来带动、促进低层次思维形态由低水平向高水平发展[4]。这充分体现了数学思维的发展规律，但在这一特殊的阶段，学生的思维不具目的性，思维常常呈现出颠三倒四的无序状态，特别是在几何证明题目中，缺乏简洁、准确、流畅的表达能力，证明的推理没根没据，找出的关系没因没果。

二、巧设课堂问题，提升思维品质

重视培养中学生的数学思维能力，让学生学会“数学地思维”，由强调“问题解决”向更重视“数学地思维”发展，这已成为数学课堂所追求的理想教学。因此，在教学实践中，教师必须要根据中学生的思维特点及发展规律，努力为学生创设积极主动、渴求知识的学习氛围。赞科夫说过：“不管你花费多少力气给学生解释掌握知识的意义，如果教学情境设计不能激起学生对知识的渴望，那么这些解释就将落空。”[5]本文选取了中学数学课堂教学中的典型案例为主线，试图从课堂问题设计的新角度、多层次、多侧面的方式对学生分析、解决问题进行考察与思考，从而通过课堂提问提升思维的品质。

1.设计探究问题，诱发思维灵感

理想的数学课堂是学生火热思考、自我超越、自我完善的课堂。师生在课堂上要不断地进行思维碰撞，努力实现“百花齐放”、“百家争鸣”的课堂模式，这就为教师在组织课堂教学时提出了更高的要求。“学起于思，思源于疑”，教师设计的问题要留出“空白”，给学生的思考让位，同时，要注重问题的思维价值。

以人教版数学教材七年级上册§2.2节《合并同类项》教学案例进行分析，合并同类项是本章的一个重点，其法则的应用是整式加减的基础，也是以后学习解方程、解不等式的基础。授课教师首先以学生生活最为熟悉、简单的事物进行分类作为导入，让学生按照种类、等级或性质分别归类，将其分类的概念引入数学新知。其次，教师呈现数学问题：将下列单项式归类：3x2y，-2，4m，5xy2，-ab，ba，-6xy2，3，-4x2y，m。不少学生在归类时要么会重复，要么会遗漏，有些甚至不能按照自己划分的分类标准进行归类。教师在教学过程中首先要引导学生确定分类标准，再进行归类。如：按照系数正负归类、按照指数相同的类进行划分等。

2.设计陷阱问题，制造思维冲突

中学生的年龄和心理特征决定他们习惯孤立地、静止地看问题，急于求成，欠缺深入的思考。教师针对中学生这一特点，可以有意按照学生常见的、多发的歧路，故意制造思维冲突的问题，从而提高学生自我监控能力，搞清问题之所在，增强防止错误的免疫力。

如：1.等腰三角形的两边长是5，2，求等腰三角形的周长。

解：5，5，2能围成三角形，周长12。2，2，5不能围成三角形。所以此题答案只有一个12，回答12或9的反而错。

2.已知x为实数，且3/（x2+2x）-（x2+2x）=2，试求x2+2x的值。

许多同学都容易想到用换元法，设x2+2x=y，从而得y1=1，y2=-3，所以得出x2+2x的值为1或-3，却没有考虑到在这样的代换中，x是否有实数解，比如当y=-3时，方程x2+2x=-3没有实数解，所以x2+2x的值为1。

“陷阱题”与常规题不同，它具有较大的迷惑性，较好的隐蔽性。教学过程中，教师设计这类问题时很容易发现学生数学思维存在的缺陷，可以矫正学生知识掌握不准确、考虑问题不全面等不良思维习惯。

3.设计变式问题，跳出思维定势

在中学数学教学上，思维定势的局限性主要表现在解决新问题时，盲目地照搬旧经验，不注意新旧问题间的差异。在分析解决问题时，人们的思维在新的情景中往往难以灵活地思考，容易受到旧框框的束缚，从而导致对新问题与旧问题之间的差异和条件的变迁认识不清，常常发生生搬硬套、张冠李戴的错误。因此，教师在课堂问题设计时要有意识地让学生打破思维定势。

1.判断题：ΔABC的三条边分别为a、b、c，并且a2+b2≠c2，则ΔABC就不是直角三角形。

学生受思维定势影响，此题很容易作出肯定判断。由a2+b2=c2可以立即判断ΔABC是直角三角形，但它只是充分条件，而非必要条件。c并不一定是斜边，如a=5，b=3，c=4等，a2+b2≠c2，但ΔABC仍是直角三角形。

2.证明题：在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°。这两个三角形相似吗？

部分学生会认为∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°，不满足“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”的判定条件。因此，会得出△ABC与△A'B'C不相似的错误答案。但实际上，学生是受到思维定势的影响，认为三角形相似就一定要是∠A=∠A'，∠B=∠B'，而判定条件要求的是对应的夹角相等，因此，△ABC与△A'B'C有可能相似。

4.设计拓展问题，培养思维发散

发散思维的培养是从同一来源材料求不同答案的思维过程和方法，思维方向分散于不同方面，即向不同方面进行思考。发散思维要求学生善于联想、思路宽阔；要求他们善于分解组合、引申推导、灵活变通。如：

已知：如图（1）直线AB//CD，P是AB和CD之间的一点。求证：∠ABP+∠PDC=∠BPD

图（1）

对于数学问题的解决，教师可以引导学生构造多种数学模型，帮助他们进行数学想象，并在探究、交流中伴以实际操作，鼓励他们发散思维，将数学问题嵌入到活动的思维中，并不断地使学生在做数学、谈数学、用数学的过程中学习知识，掌握方法，构造模型，形成数学思维能力。它是以丰富的知识为依据，从事物的不同方面和不同联系认识条件。教师应该加以引导，这样训练效果更加理想，启发了学生的联想。

本题是一道典型的可以实现“一题多解”的题目，因此，教师设计本题目不仅仅是为了解决数学问题，更为重要的是让学生学会多种解题的思路，在教师提出的已知条件基础上，让学生进行多角度的理解想象，从而达到能够很好地训练学生思维的广阔性和灵活性的目的。主要有以下几种：

证法一：过点P向右作PE∥AB

则有∠ABP=∠BPE又∵AB∥CD

∴PE∥CD，∴∠EPD=∠PDC

因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD

证法二：过点P向左作PE∥AB

则有∠ABP+∠BPE=180°易得PE∥CD

∴∠EPD+∠PDC=180°

故有∠ABP+∠BPE+∠EPD+∠PDC=360°

又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

证法三：延长BP，交CD于点E

则∠BPD=∠PED+∠PDC

∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠PED

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

正如前苏联国家元首加里宁所说：“数学是思维的体操。”[6]在数学教学中，教师要千方百计地通过学生学习数学知识，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。

参考文献

[1] 张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 朱维宗，唐敏.聚焦数学教育.昆明：云南民族出版社，2005.

[3] 章建跃.创造力研究与数学教学.数学通报，1997（12）.

[4] 吴洪.培养数学交流能力的探索.上海中学数学，2005（9）.

[5] 中华人民共和国教育部制订.数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001.

[6] 张硕.数学能力比较研究.甘肃学院学报（自然科学版），2001（1）.

【责任编辑 郑雪凌】

3.设计变式问题，跳出思维定势

在中学数学教学上，思维定势的局限性主要表现在解决新问题时，盲目地照搬旧经验，不注意新旧问题间的差异。在分析解决问题时，人们的思维在新的情景中往往难以灵活地思考，容易受到旧框框的束缚，从而导致对新问题与旧问题之间的差异和条件的变迁认识不清，常常发生生搬硬套、张冠李戴的错误。因此，教师在课堂问题设计时要有意识地让学生打破思维定势。

1.判断题：ΔABC的三条边分别为a、b、c，并且a2+b2≠c2，则ΔABC就不是直角三角形。

学生受思维定势影响，此题很容易作出肯定判断。由a2+b2=c2可以立即判断ΔABC是直角三角形，但它只是充分条件，而非必要条件。c并不一定是斜边，如a=5，b=3，c=4等，a2+b2≠c2，但ΔABC仍是直角三角形。

2.证明题：在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°。这两个三角形相似吗？

部分学生会认为∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°，不满足“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”的判定条件。因此，会得出△ABC与△A'B'C不相似的错误答案。但实际上，学生是受到思维定势的影响，认为三角形相似就一定要是∠A=∠A'，∠B=∠B'，而判定条件要求的是对应的夹角相等，因此，△ABC与△A'B'C有可能相似。

4.设计拓展问题，培养思维发散

发散思维的培养是从同一来源材料求不同答案的思维过程和方法，思维方向分散于不同方面，即向不同方面进行思考。发散思维要求学生善于联想、思路宽阔；要求他们善于分解组合、引申推导、灵活变通。如：

已知：如图（1）直线AB//CD，P是AB和CD之间的一点。求证：∠ABP+∠PDC=∠BPD

图（1）

对于数学问题的解决，教师可以引导学生构造多种数学模型，帮助他们进行数学想象，并在探究、交流中伴以实际操作，鼓励他们发散思维，将数学问题嵌入到活动的思维中，并不断地使学生在做数学、谈数学、用数学的过程中学习知识，掌握方法，构造模型，形成数学思维能力。它是以丰富的知识为依据，从事物的不同方面和不同联系认识条件。教师应该加以引导，这样训练效果更加理想，启发了学生的联想。

本题是一道典型的可以实现“一题多解”的题目，因此，教师设计本题目不仅仅是为了解决数学问题，更为重要的是让学生学会多种解题的思路，在教师提出的已知条件基础上，让学生进行多角度的理解想象，从而达到能够很好地训练学生思维的广阔性和灵活性的目的。主要有以下几种：

证法一：过点P向右作PE∥AB

则有∠ABP=∠BPE又∵AB∥CD

∴PE∥CD，∴∠EPD=∠PDC

因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD

证法二：过点P向左作PE∥AB

则有∠ABP+∠BPE=180°易得PE∥CD

∴∠EPD+∠PDC=180°

故有∠ABP+∠BPE+∠EPD+∠PDC=360°

又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

证法三：延长BP，交CD于点E

则∠BPD=∠PED+∠PDC

∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠PED

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

正如前苏联国家元首加里宁所说：“数学是思维的体操。”[6]在数学教学中，教师要千方百计地通过学生学习数学知识，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。

参考文献

[1] 张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 朱维宗，唐敏.聚焦数学教育.昆明：云南民族出版社，2005.

[3] 章建跃.创造力研究与数学教学.数学通报，1997（12）.

[4] 吴洪.培养数学交流能力的探索.上海中学数学，2005（9）.

[5] 中华人民共和国教育部制订.数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001.

[6] 张硕.数学能力比较研究.甘肃学院学报（自然科学版），2001（1）.

【责任编辑 郑雪凌】

3.设计变式问题，跳出思维定势

在中学数学教学上，思维定势的局限性主要表现在解决新问题时，盲目地照搬旧经验，不注意新旧问题间的差异。在分析解决问题时，人们的思维在新的情景中往往难以灵活地思考，容易受到旧框框的束缚，从而导致对新问题与旧问题之间的差异和条件的变迁认识不清，常常发生生搬硬套、张冠李戴的错误。因此，教师在课堂问题设计时要有意识地让学生打破思维定势。

1.判断题：ΔABC的三条边分别为a、b、c，并且a2+b2≠c2，则ΔABC就不是直角三角形。

学生受思维定势影响，此题很容易作出肯定判断。由a2+b2=c2可以立即判断ΔABC是直角三角形，但它只是充分条件，而非必要条件。c并不一定是斜边，如a=5，b=3，c=4等，a2+b2≠c2，但ΔABC仍是直角三角形。

2.证明题：在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°。这两个三角形相似吗？

部分学生会认为∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°，不满足“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”的判定条件。因此，会得出△ABC与△A'B'C不相似的错误答案。但实际上，学生是受到思维定势的影响，认为三角形相似就一定要是∠A=∠A'，∠B=∠B'，而判定条件要求的是对应的夹角相等，因此，△ABC与△A'B'C有可能相似。

4.设计拓展问题，培养思维发散

发散思维的培养是从同一来源材料求不同答案的思维过程和方法，思维方向分散于不同方面，即向不同方面进行思考。发散思维要求学生善于联想、思路宽阔；要求他们善于分解组合、引申推导、灵活变通。如：

已知：如图（1）直线AB//CD，P是AB和CD之间的一点。求证：∠ABP+∠PDC=∠BPD

图（1）

对于数学问题的解决，教师可以引导学生构造多种数学模型，帮助他们进行数学想象，并在探究、交流中伴以实际操作，鼓励他们发散思维，将数学问题嵌入到活动的思维中，并不断地使学生在做数学、谈数学、用数学的过程中学习知识，掌握方法，构造模型，形成数学思维能力。它是以丰富的知识为依据，从事物的不同方面和不同联系认识条件。教师应该加以引导，这样训练效果更加理想，启发了学生的联想。

本题是一道典型的可以实现“一题多解”的题目，因此，教师设计本题目不仅仅是为了解决数学问题，更为重要的是让学生学会多种解题的思路，在教师提出的已知条件基础上，让学生进行多角度的理解想象，从而达到能够很好地训练学生思维的广阔性和灵活性的目的。主要有以下几种：

证法一：过点P向右作PE∥AB

则有∠ABP=∠BPE又∵AB∥CD

∴PE∥CD，∴∠EPD=∠PDC

因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD

证法二：过点P向左作PE∥AB

则有∠ABP+∠BPE=180°易得PE∥CD

∴∠EPD+∠PDC=180°

故有∠ABP+∠BPE+∠EPD+∠PDC=360°

又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

证法三：延长BP，交CD于点E

则∠BPD=∠PED+∠PDC

∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠PED

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

正如前苏联国家元首加里宁所说：“数学是思维的体操。”[6]在数学教学中，教师要千方百计地通过学生学习数学知识，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。

参考文献

[1] 张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 朱维宗，唐敏.聚焦数学教育.昆明：云南民族出版社，2005.

[3] 章建跃.创造力研究与数学教学.数学通报，1997（12）.

[4] 吴洪.培养数学交流能力的探索.上海中学数学，2005（9）.

[5] 中华人民共和国教育部制订.数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001.

[6] 张硕.数学能力比较研究.甘肃学院学报（自然科学版），2001（1）.

【责任编辑 郑雪凌】