求空间角难点的深度解析

彭建开

立体几何学习中，求空间角、尤其是二面角的难点有哪一些，并如何突破这些难点，本文将对这个问题做较深入的分析.

1. 用综合法的难点分析.

用综合法求空间角的难点是不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强.

例1.（2014年上海市高三二模）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

（1）证明：AB⊥平面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的余弦值.

解析：本题既可用向量法，也可用综合法，难度都不大，但计算量不一样.

解题方法小结：① 不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强；后阶段毫无疑问要对综合法解二面角进行突破，② 如何用综合法求二面角，关键是作图，有两种方法，一是是定义法，在交线上做两条垂线，得到二面角的平面角；二是是三垂线法，如果在一个平面中有一条直线与另一个平面垂直，就只要再做交线的垂线，再连接垂足和已知垂线的端点就得到二面角的平面角（要证明），如例1.这需要能在各种变式图形中发现垂线，或者垂面，比如本题中的面AHB就是二面角A-VD-B的一个垂面.

2. 用向量法时建系的难点分析.

（1）求证：PD∥平面AEC；

（2）求二面角A-CE-P的余弦值.

解析：从已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以现在建系有三种选择，一是用A作为 原点，AD、AC、AP分别做为x轴、y轴，还有一种是以A为原点，AP、AB作为z轴、y轴，由A点向CD作垂线作为x轴，第三种是以B点为原点，AB、BC分别作为y轴、x轴，另外作一条z轴，如下图所示：

解题方法小结：建系的方法：要利用已知的线线、线面、面面垂直建系，有时候需要作一条或两条坐标轴，建系时要使得尽量有最多的点在坐标轴上，使得各相关线段尽量与坐标轴平行，这样求点的坐标就容易.

3. 用向量法求平面法向量的难点分析.

用向量法求平面的法向量时，最大的难点是个别点的坐标难以表示.

（Ⅰ）证明： A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角？兹的大小.

解析：本题建系较易，图形中已经有三条互相垂直的线，所以O点为原点，OA、OB、OA1做为x轴、y轴、z轴，下底面的各点坐标易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B（0，1，0）， C（-1，0，0） ，D（0，

解题方法小结：可利用向量共线求某些点的坐标，如果在直观图中，有些点的坐标坐标不易观察计算，可采取将其中的平面图形单独画出来，便于观察，例如例2中的第一种建系方法，求B点的坐标，我们可以画出右边的平面图形.

这样，计算起B点的坐标就一目了然了，特别是一些复杂的图形，这个方法很有效.

4. 逆向解题中的计算难点分析.

逆向法即已知线线、线面、面面角求其中的某些线段长，或点的位置，难点有两个，一是方法不熟，步骤不清，第二是计算错误，这是因为做得少、计算不熟练造成的.

例4.（广州2014届十校联考）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

（1）求证：BE//面PAD；

（2）求证：面PBC⊥面PBD；

解析：对第（3）问进行分析解答：已知二面角，求E点的位置，我们把这种题型叫逆向运算，这种题型向量法和综合法都可以解，但向量法更有优势，更易想，但计算量较大，若计算不过关，就难以算对，解题的步骤应当是先设二面角中相关的未知量，再根据求二面决定的一般过程进行计算，最后得到未知量的结果，具体如下：

解题方法小结：从上面的计算过程看出，逆向法解题，其实就是运用方程思想，通过给的已知条件，得到方程求未知数；由于有参数引入，导致计算量较大，计算较难，是相对要求较高的题，如果不熟练，就很难避免不出错. 此种类型广东高考还没有考过，广州及各地的模拟都有考过这种类型，外省的考题更是非常普遍，要引起重视.

在2014年高考试题将趋向于增加难度的背景下，有必要增加对立体几何的备考复习：估计立体几何的最后一问，还是求二面角（广东省近四年都是求二面角），但应当会较前几年的试题有些变化；这些变化可能有以下几方面：

（1）仍然是求空间角，或者求二面角的可能性大一点，并且两种方法都能解，但会有点偏向综合法，并且计算量增大. 像我们2014年一模的综合法，要用到余弦定理、面积公式或相似三角形去计算边长，并且有三次这样的计算，那么计算能力的要求就高了. 计算能力不强的人， 肯定会在这个中间中断他的解题， 例如广州一模的试题如果用综合法解就较难.

（2）向量法，可能建系较难，像2013年的高考题那样，或者某些坐标难求，或者跟我们的模拟考和外省的考题一样，进行逆向求解，增加计算量和思维量.

求空间角，尤其是二面角，要树立一种解题意识，就是应当综合法优先，这是因为综合法一般来说计算量相对较少，而向量法计算量都较大并且易出错，如果能用综合法做的时候，你去选择了向量法就不合算了；还有因为不能局限于什么题都去想向量法，这种思维模式就会导致往一个方向走，这就是我们广东省2011年高考的立体几何给我们的教训：如果先考虑综合法，又快又好就解出来，结果很多同学一定要去建系，很难建，导致得分不高. 当然说综合法优先，不是一定要用综合法解，如果觉得困难，并且题目有较明显的坐标系，则马上转为向量法解就行了.

下面提供两题作为预测题给同学们练习：endprint

立体几何学习中，求空间角、尤其是二面角的难点有哪一些，并如何突破这些难点，本文将对这个问题做较深入的分析.

1. 用综合法的难点分析.

用综合法求空间角的难点是不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强.

例1.（2014年上海市高三二模）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

（1）证明：AB⊥平面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的余弦值.

解析：本题既可用向量法，也可用综合法，难度都不大，但计算量不一样.

解题方法小结：① 不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强；后阶段毫无疑问要对综合法解二面角进行突破，② 如何用综合法求二面角，关键是作图，有两种方法，一是是定义法，在交线上做两条垂线，得到二面角的平面角；二是是三垂线法，如果在一个平面中有一条直线与另一个平面垂直，就只要再做交线的垂线，再连接垂足和已知垂线的端点就得到二面角的平面角（要证明），如例1.这需要能在各种变式图形中发现垂线，或者垂面，比如本题中的面AHB就是二面角A-VD-B的一个垂面.

2. 用向量法时建系的难点分析.

（1）求证：PD∥平面AEC；

（2）求二面角A-CE-P的余弦值.

解析：从已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以现在建系有三种选择，一是用A作为 原点，AD、AC、AP分别做为x轴、y轴，还有一种是以A为原点，AP、AB作为z轴、y轴，由A点向CD作垂线作为x轴，第三种是以B点为原点，AB、BC分别作为y轴、x轴，另外作一条z轴，如下图所示：

解题方法小结：建系的方法：要利用已知的线线、线面、面面垂直建系，有时候需要作一条或两条坐标轴，建系时要使得尽量有最多的点在坐标轴上，使得各相关线段尽量与坐标轴平行，这样求点的坐标就容易.

3. 用向量法求平面法向量的难点分析.

用向量法求平面的法向量时，最大的难点是个别点的坐标难以表示.

（Ⅰ）证明： A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角？兹的大小.

解析：本题建系较易，图形中已经有三条互相垂直的线，所以O点为原点，OA、OB、OA1做为x轴、y轴、z轴，下底面的各点坐标易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B（0，1，0）， C（-1，0，0） ，D（0，

解题方法小结：可利用向量共线求某些点的坐标，如果在直观图中，有些点的坐标坐标不易观察计算，可采取将其中的平面图形单独画出来，便于观察，例如例2中的第一种建系方法，求B点的坐标，我们可以画出右边的平面图形.

这样，计算起B点的坐标就一目了然了，特别是一些复杂的图形，这个方法很有效.

4. 逆向解题中的计算难点分析.

逆向法即已知线线、线面、面面角求其中的某些线段长，或点的位置，难点有两个，一是方法不熟，步骤不清，第二是计算错误，这是因为做得少、计算不熟练造成的.

例4.（广州2014届十校联考）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

（1）求证：BE//面PAD；

（2）求证：面PBC⊥面PBD；

解析：对第（3）问进行分析解答：已知二面角，求E点的位置，我们把这种题型叫逆向运算，这种题型向量法和综合法都可以解，但向量法更有优势，更易想，但计算量较大，若计算不过关，就难以算对，解题的步骤应当是先设二面角中相关的未知量，再根据求二面决定的一般过程进行计算，最后得到未知量的结果，具体如下：

解题方法小结：从上面的计算过程看出，逆向法解题，其实就是运用方程思想，通过给的已知条件，得到方程求未知数；由于有参数引入，导致计算量较大，计算较难，是相对要求较高的题，如果不熟练，就很难避免不出错. 此种类型广东高考还没有考过，广州及各地的模拟都有考过这种类型，外省的考题更是非常普遍，要引起重视.

在2014年高考试题将趋向于增加难度的背景下，有必要增加对立体几何的备考复习：估计立体几何的最后一问，还是求二面角（广东省近四年都是求二面角），但应当会较前几年的试题有些变化；这些变化可能有以下几方面：

（1）仍然是求空间角，或者求二面角的可能性大一点，并且两种方法都能解，但会有点偏向综合法，并且计算量增大. 像我们2014年一模的综合法，要用到余弦定理、面积公式或相似三角形去计算边长，并且有三次这样的计算，那么计算能力的要求就高了. 计算能力不强的人， 肯定会在这个中间中断他的解题， 例如广州一模的试题如果用综合法解就较难.

（2）向量法，可能建系较难，像2013年的高考题那样，或者某些坐标难求，或者跟我们的模拟考和外省的考题一样，进行逆向求解，增加计算量和思维量.

求空间角，尤其是二面角，要树立一种解题意识，就是应当综合法优先，这是因为综合法一般来说计算量相对较少，而向量法计算量都较大并且易出错，如果能用综合法做的时候，你去选择了向量法就不合算了；还有因为不能局限于什么题都去想向量法，这种思维模式就会导致往一个方向走，这就是我们广东省2011年高考的立体几何给我们的教训：如果先考虑综合法，又快又好就解出来，结果很多同学一定要去建系，很难建，导致得分不高. 当然说综合法优先，不是一定要用综合法解，如果觉得困难，并且题目有较明显的坐标系，则马上转为向量法解就行了.

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立体几何学习中，求空间角、尤其是二面角的难点有哪一些，并如何突破这些难点，本文将对这个问题做较深入的分析.

1. 用综合法的难点分析.

用综合法求空间角的难点是不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强.

例1.（2014年上海市高三二模）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

（1）证明：AB⊥平面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的余弦值.

解析：本题既可用向量法，也可用综合法，难度都不大，但计算量不一样.

解题方法小结：① 不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强；后阶段毫无疑问要对综合法解二面角进行突破，② 如何用综合法求二面角，关键是作图，有两种方法，一是是定义法，在交线上做两条垂线，得到二面角的平面角；二是是三垂线法，如果在一个平面中有一条直线与另一个平面垂直，就只要再做交线的垂线，再连接垂足和已知垂线的端点就得到二面角的平面角（要证明），如例1.这需要能在各种变式图形中发现垂线，或者垂面，比如本题中的面AHB就是二面角A-VD-B的一个垂面.

2. 用向量法时建系的难点分析.

（1）求证：PD∥平面AEC；

（2）求二面角A-CE-P的余弦值.

解析：从已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以现在建系有三种选择，一是用A作为 原点，AD、AC、AP分别做为x轴、y轴，还有一种是以A为原点，AP、AB作为z轴、y轴，由A点向CD作垂线作为x轴，第三种是以B点为原点，AB、BC分别作为y轴、x轴，另外作一条z轴，如下图所示：

解题方法小结：建系的方法：要利用已知的线线、线面、面面垂直建系，有时候需要作一条或两条坐标轴，建系时要使得尽量有最多的点在坐标轴上，使得各相关线段尽量与坐标轴平行，这样求点的坐标就容易.

3. 用向量法求平面法向量的难点分析.

用向量法求平面的法向量时，最大的难点是个别点的坐标难以表示.

（Ⅰ）证明： A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角？兹的大小.

解析：本题建系较易，图形中已经有三条互相垂直的线，所以O点为原点，OA、OB、OA1做为x轴、y轴、z轴，下底面的各点坐标易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B（0，1，0）， C（-1，0，0） ，D（0，

解题方法小结：可利用向量共线求某些点的坐标，如果在直观图中，有些点的坐标坐标不易观察计算，可采取将其中的平面图形单独画出来，便于观察，例如例2中的第一种建系方法，求B点的坐标，我们可以画出右边的平面图形.

这样，计算起B点的坐标就一目了然了，特别是一些复杂的图形，这个方法很有效.

4. 逆向解题中的计算难点分析.

逆向法即已知线线、线面、面面角求其中的某些线段长，或点的位置，难点有两个，一是方法不熟，步骤不清，第二是计算错误，这是因为做得少、计算不熟练造成的.

例4.（广州2014届十校联考）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

（1）求证：BE//面PAD；

（2）求证：面PBC⊥面PBD；

解析：对第（3）问进行分析解答：已知二面角，求E点的位置，我们把这种题型叫逆向运算，这种题型向量法和综合法都可以解，但向量法更有优势，更易想，但计算量较大，若计算不过关，就难以算对，解题的步骤应当是先设二面角中相关的未知量，再根据求二面决定的一般过程进行计算，最后得到未知量的结果，具体如下：

解题方法小结：从上面的计算过程看出，逆向法解题，其实就是运用方程思想，通过给的已知条件，得到方程求未知数；由于有参数引入，导致计算量较大，计算较难，是相对要求较高的题，如果不熟练，就很难避免不出错. 此种类型广东高考还没有考过，广州及各地的模拟都有考过这种类型，外省的考题更是非常普遍，要引起重视.

在2014年高考试题将趋向于增加难度的背景下，有必要增加对立体几何的备考复习：估计立体几何的最后一问，还是求二面角（广东省近四年都是求二面角），但应当会较前几年的试题有些变化；这些变化可能有以下几方面：

（1）仍然是求空间角，或者求二面角的可能性大一点，并且两种方法都能解，但会有点偏向综合法，并且计算量增大. 像我们2014年一模的综合法，要用到余弦定理、面积公式或相似三角形去计算边长，并且有三次这样的计算，那么计算能力的要求就高了. 计算能力不强的人， 肯定会在这个中间中断他的解题， 例如广州一模的试题如果用综合法解就较难.

（2）向量法，可能建系较难，像2013年的高考题那样，或者某些坐标难求，或者跟我们的模拟考和外省的考题一样，进行逆向求解，增加计算量和思维量.

求空间角，尤其是二面角，要树立一种解题意识，就是应当综合法优先，这是因为综合法一般来说计算量相对较少，而向量法计算量都较大并且易出错，如果能用综合法做的时候，你去选择了向量法就不合算了；还有因为不能局限于什么题都去想向量法，这种思维模式就会导致往一个方向走，这就是我们广东省2011年高考的立体几何给我们的教训：如果先考虑综合法，又快又好就解出来，结果很多同学一定要去建系，很难建，导致得分不高. 当然说综合法优先，不是一定要用综合法解，如果觉得困难，并且题目有较明显的坐标系，则马上转为向量法解就行了.

下面提供两题作为预测题给同学们练习：endprint