巧用几何图形解决代数问题

田金玲

【摘要】构造几何图形解代数题，能够使问题大大简化，也使得题目的条件和结论之间的关系更清晰，更直观，同时也拓宽了几何定理的应用。

【关键词】代数问题几何定理数量关系

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0127-01

有些非几何问题，可根据题中的数量关系的几何意义，以某种方式构造图形，将题设中的数量关系直接在图形中实现，利用几何图形的直观性寻求证明。用几何法证代数题构思精巧，直观，方法简单。

例一 已知a，b，m∈R+,且a＜b,求证■＞■。

思路：先从比例式考虑，若■=■，可构造相似三角形，使a+m与a,b+n与b为对应边，若a＜b,则n＞m。变等式为不等式要将左边的分母缩小，可令n→m,由斜边大于直角邊表示，故可构造相似直角三角形，如图

证明：以b为斜边，a为直角边做Rt△ABC,延长AB至D，使BD=m,延长AC至E,使得ED⊥AD,过C做AD的平行线交DE于F，如上图所示，则△ABC∽△ADE。令CE=n。

∴■=■=■

又CE＞CF,即n＞m

∴■＞■=■。

例二 设a,b,c,d∈R+,■=■,且a为最大，求证a+d＞b+c。

思路：由ad=bc,可构造圆的割线，由a为最大，将a作为通过直径的割线，在其中寻找d和b+c,比较其长短。

证明：取直线ABC,使AC=a,AB=d,以BC为直径做半圆O,不妨设b≧c,做割线AD=b,交圆于E,过O做弦ED的垂线OF,F为垂足。如图

∵AC·AB=AD·AE ∴AE=c

又AO=AB +■=d+■=■

AF=AE+■=c+■=■

在△AOF中，AO＞AF

∴a+d＞b+c。

例三 已知a2+b2=1,x2+y2=1,ax+by=0, 求证a2+x2=1, b2+y2=1,ab+xy=0。

思路：由a2+b2=1,x2+y2=1可构造两个具有长度为1的公共斜边的直角三角形，又由ax+by=0,即■=■,得到|■|=|■|可知两个三角形还是全等的。

证明：做Rt△ABC和Rt△ADC,AC=1,AB=|a|,BC=|b|,AD= |x|,DC=|y|,且|a|=|y|, |b|=|x|。

∴a2+ x2=1, b2+y2=1, 且|ab|=|xy|,由ax+by=0可知a,b 若同号，则x,y异号，a,b若异号，则x,y同号，即ab与xy异号。故此，

ab+xy=0。

例四 若0＜θ ＜■，求证sinθ +cosθ ≤■

思路：将原式变形为■﹒sinθ+■﹒cosθ≤1，先考虑等式成立时可视为托勒密定理形式，构造圆内接四边形，1为最大，故圆直径为1既可。

证明：做直径为1的圆AB为直径，做∠CAB=θ(可以是0到的任意角)，∠ABD=■,C,D为圆上的点，则AC=cosθ，BC=sinθ， AD= BD=■。

由托勒密定理，得BC·AD + AC·BD = AB·CD

即■﹒sin+■﹒cosθ= CD≤1

因此sinθ+cosθ≤■

这个例题在构思上确实是十分巧妙的，固定了直径AB，有了直角三角形正弦和余弦值转化为圆内接四边形的边，使托勒密定理的应用非常成功。

构造几何图形解代数题能够使问题大大地简化，也使得题目的条件和结论之间的关系更清晰直观，同时几何定理的作用也被拓宽了。

特别要注意，构造图形与构造函数等方法相比，在其构造上有一点重要区别，那就是构造图形时，不仅要考虑构造什么图形，而且还要考虑图形的所在位置及其代表的量的方向。

构造图形的解题训练有益于培养良好的思维品质，对几何知识的综合掌握，熟练掌握也有促进作用。平时积累的构造的图形越多，构造的技巧也会越来越妙。常用的基本代数式与几何图形的对应关系如下:

1.勾股定理a2+b2=c2

2.相似三角形■=■ ad=bc

3.圆幂定理ad=bc

4.射影定理x=■,分别见下图：

5.托勒密定理