高中数学练习中的三类典型问题

文/李健康

摘 要：习题练习是课堂教学中促成知识迁移，生成能力的关键环节。所以，教师一定要根据学生认知规律整合教学内容，优选对新学知识具有高度概括性的例题让学生展开练习。从教学体验中优选并分析了三种常设问题类型。

关键词：高中数学；问题分层；分类讨论；实际运用

理论学习加习题训练是数学课堂的两个重要组成部分，我们拒绝题海战术，但是教学实践中必要的典型试题练习不能否定。实践练习是我们体验知识生成，完成知识迁移的不二法门。教学中，我们一般先引导学生掌握基本的数学原理和概念，然后通过教师解题演示让学生初步了解和掌握运用理论解决实际问题，然后我们再设置典型例题让同学们循着教师的方法来尝试对理论知识的运用。整个过程中，其实典型习题练习才是知识生成的促成环节。鉴于此，笔者立足一线高中数学教学，对课堂练习中常设的三类问题进行分析与讨论。

一、分层设计问题，细化知识生成

学生在客观上存在知识结构和认知能力上的差异，这就要求我们在习题练习中要有针对性地设置分层问题来分别满足他们的认知需求，让每位同学都有进步和提升。

如，对于中学阶段应用广泛的二次函数问题，为了让大家都能掌握以映射的思维来阐述函数的基本解题方法，笔者就针对学生实情设置了不同层次的问题。

（1）概念题：假若定义域x满足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

从映射的角度，我们应该明白f（x+1）就是定义域集合中的元素（x+1）在f原则下的对应值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。这样的概念题让基础比较差的同学来完成，让他们体验数学概念和实际运用，让他们从映射的角度形象地理解函数的概念及运用，有效地完成知识迁移。

（2）拔高题：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

该题乃上例的拔高版，是让学生巩固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高练习。在笔者的启发下，循着上例的方法，同学们找到了解题思路：先设x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。这是逆向思维的运用，经此练习同学们最终掌握了对映射概念在函数中的意义，生成了数学技能。

二、设置开放问题，启发分类讨论

高中数学更注重能力的培养，许多开放性的实际问题需要经过具体讨论才能得到真正的答案。这就要求一线教学中一定要注意设置开放性问题启发学生掌握分类讨论的数学思想。

这里还以常用的函数问题为例：函数解决实际问题时，我们就常常要通过对值域或定义域的分类讨论来优选正确答案：例题.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a为实数）的图像只与x轴有一个交点，求实数a的值。

这个问题猛一看不难，但是许多同学会因为思维局限在二次函数上而导致解题陷入僵局：当二次函数f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a为实数）满足x轴仅有一个交点时，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，结果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a无解，这个思路没有错，错在我们还没有讨论当a=2时，也就是一次函数的情况。当a=2时函数表达式为f（x）=-3x-1，与x轴当然存在一个交点（-■，0）。所以a=2就是正确答案。可见分类讨论是数学解题中的重要思想方法，需要我们解题过程中常常运用，这样才能全局把握，找到解决实际问题的办法。

三、联系现实生活，体验知识运用

常言道：学以致用。运用就是学习的终极目标，所以，课堂教学不能只注重理论研究，还要能引导和驱动同学们运用所学知识去解决实际问题。常见的课堂引导方式是设置生活中的实际情境，让同学们运用所学知识根据数据之间的关系进行分析和计算，最终选出最优方案。比如，学习三角函数知识后，为何让大家上升到运用技能，笔者就将王老板遇到的一个现实问题让同学们帮助分析和解决：

北京（40°N）某小区楼高33层，每层3米高，楼间距60米，已知冬至日影子最长，王老师想全天采光的话，最低可以买第几层？即便同学们基础知识不错，但是面对实际问题时还是有点懵，我们可以进行关键性提示：楼间距60米是前楼多少米高投射的阴影呢？同学们根据地理知识算出冬至日该小区太阳高度角是A°，就能算出60米是前楼tanA°×60米，最低需要买99-tanA°×60米以上的高度。这样一来大家对三角函数只是纸上谈兵的认识就得到有效改观，知识得到运用和升华。

本文是笔者联系教学实践对常用的三种习题教学方式的分析与讨论。概括地讲，习题练习是学生迁移知识生成技能的促成环节，我们在教学实践中一定要根据学生认知，对教学内容进行整合，设置典型的、适当的优质习题，引导和启发学生掌握知识的精髓，这才是理性课堂，才是高效课堂必由之路。

参考文献：

潘相治.新课标下高中数学习题教学研究［J］.数学学习与研究，2012（05）.

编辑 谢尾合

endprint

摘 要：习题练习是课堂教学中促成知识迁移，生成能力的关键环节。所以，教师一定要根据学生认知规律整合教学内容，优选对新学知识具有高度概括性的例题让学生展开练习。从教学体验中优选并分析了三种常设问题类型。

关键词：高中数学；问题分层；分类讨论；实际运用

理论学习加习题训练是数学课堂的两个重要组成部分，我们拒绝题海战术，但是教学实践中必要的典型试题练习不能否定。实践练习是我们体验知识生成，完成知识迁移的不二法门。教学中，我们一般先引导学生掌握基本的数学原理和概念，然后通过教师解题演示让学生初步了解和掌握运用理论解决实际问题，然后我们再设置典型例题让同学们循着教师的方法来尝试对理论知识的运用。整个过程中，其实典型习题练习才是知识生成的促成环节。鉴于此，笔者立足一线高中数学教学，对课堂练习中常设的三类问题进行分析与讨论。

一、分层设计问题，细化知识生成

学生在客观上存在知识结构和认知能力上的差异，这就要求我们在习题练习中要有针对性地设置分层问题来分别满足他们的认知需求，让每位同学都有进步和提升。

如，对于中学阶段应用广泛的二次函数问题，为了让大家都能掌握以映射的思维来阐述函数的基本解题方法，笔者就针对学生实情设置了不同层次的问题。

（1）概念题：假若定义域x满足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

从映射的角度，我们应该明白f（x+1）就是定义域集合中的元素（x+1）在f原则下的对应值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。这样的概念题让基础比较差的同学来完成，让他们体验数学概念和实际运用，让他们从映射的角度形象地理解函数的概念及运用，有效地完成知识迁移。

（2）拔高题：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

该题乃上例的拔高版，是让学生巩固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高练习。在笔者的启发下，循着上例的方法，同学们找到了解题思路：先设x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。这是逆向思维的运用，经此练习同学们最终掌握了对映射概念在函数中的意义，生成了数学技能。

二、设置开放问题，启发分类讨论

高中数学更注重能力的培养，许多开放性的实际问题需要经过具体讨论才能得到真正的答案。这就要求一线教学中一定要注意设置开放性问题启发学生掌握分类讨论的数学思想。

这里还以常用的函数问题为例：函数解决实际问题时，我们就常常要通过对值域或定义域的分类讨论来优选正确答案：例题.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a为实数）的图像只与x轴有一个交点，求实数a的值。

这个问题猛一看不难，但是许多同学会因为思维局限在二次函数上而导致解题陷入僵局：当二次函数f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a为实数）满足x轴仅有一个交点时，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，结果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a无解，这个思路没有错，错在我们还没有讨论当a=2时，也就是一次函数的情况。当a=2时函数表达式为f（x）=-3x-1，与x轴当然存在一个交点（-■，0）。所以a=2就是正确答案。可见分类讨论是数学解题中的重要思想方法，需要我们解题过程中常常运用，这样才能全局把握，找到解决实际问题的办法。

三、联系现实生活，体验知识运用

常言道：学以致用。运用就是学习的终极目标，所以，课堂教学不能只注重理论研究，还要能引导和驱动同学们运用所学知识去解决实际问题。常见的课堂引导方式是设置生活中的实际情境，让同学们运用所学知识根据数据之间的关系进行分析和计算，最终选出最优方案。比如，学习三角函数知识后，为何让大家上升到运用技能，笔者就将王老板遇到的一个现实问题让同学们帮助分析和解决：

北京（40°N）某小区楼高33层，每层3米高，楼间距60米，已知冬至日影子最长，王老师想全天采光的话，最低可以买第几层？即便同学们基础知识不错，但是面对实际问题时还是有点懵，我们可以进行关键性提示：楼间距60米是前楼多少米高投射的阴影呢？同学们根据地理知识算出冬至日该小区太阳高度角是A°，就能算出60米是前楼tanA°×60米，最低需要买99-tanA°×60米以上的高度。这样一来大家对三角函数只是纸上谈兵的认识就得到有效改观，知识得到运用和升华。

本文是笔者联系教学实践对常用的三种习题教学方式的分析与讨论。概括地讲，习题练习是学生迁移知识生成技能的促成环节，我们在教学实践中一定要根据学生认知，对教学内容进行整合，设置典型的、适当的优质习题，引导和启发学生掌握知识的精髓，这才是理性课堂，才是高效课堂必由之路。

参考文献：

潘相治.新课标下高中数学习题教学研究［J］.数学学习与研究，2012（05）.

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摘 要：习题练习是课堂教学中促成知识迁移，生成能力的关键环节。所以，教师一定要根据学生认知规律整合教学内容，优选对新学知识具有高度概括性的例题让学生展开练习。从教学体验中优选并分析了三种常设问题类型。

关键词：高中数学；问题分层；分类讨论；实际运用

理论学习加习题训练是数学课堂的两个重要组成部分，我们拒绝题海战术，但是教学实践中必要的典型试题练习不能否定。实践练习是我们体验知识生成，完成知识迁移的不二法门。教学中，我们一般先引导学生掌握基本的数学原理和概念，然后通过教师解题演示让学生初步了解和掌握运用理论解决实际问题，然后我们再设置典型例题让同学们循着教师的方法来尝试对理论知识的运用。整个过程中，其实典型习题练习才是知识生成的促成环节。鉴于此，笔者立足一线高中数学教学，对课堂练习中常设的三类问题进行分析与讨论。

一、分层设计问题，细化知识生成

学生在客观上存在知识结构和认知能力上的差异，这就要求我们在习题练习中要有针对性地设置分层问题来分别满足他们的认知需求，让每位同学都有进步和提升。

如，对于中学阶段应用广泛的二次函数问题，为了让大家都能掌握以映射的思维来阐述函数的基本解题方法，笔者就针对学生实情设置了不同层次的问题。

（1）概念题：假若定义域x满足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

从映射的角度，我们应该明白f（x+1）就是定义域集合中的元素（x+1）在f原则下的对应值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。这样的概念题让基础比较差的同学来完成，让他们体验数学概念和实际运用，让他们从映射的角度形象地理解函数的概念及运用，有效地完成知识迁移。

（2）拔高题：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

该题乃上例的拔高版，是让学生巩固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高练习。在笔者的启发下，循着上例的方法，同学们找到了解题思路：先设x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。这是逆向思维的运用，经此练习同学们最终掌握了对映射概念在函数中的意义，生成了数学技能。

二、设置开放问题，启发分类讨论

高中数学更注重能力的培养，许多开放性的实际问题需要经过具体讨论才能得到真正的答案。这就要求一线教学中一定要注意设置开放性问题启发学生掌握分类讨论的数学思想。

这里还以常用的函数问题为例：函数解决实际问题时，我们就常常要通过对值域或定义域的分类讨论来优选正确答案：例题.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a为实数）的图像只与x轴有一个交点，求实数a的值。

这个问题猛一看不难，但是许多同学会因为思维局限在二次函数上而导致解题陷入僵局：当二次函数f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a为实数）满足x轴仅有一个交点时，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，结果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a无解，这个思路没有错，错在我们还没有讨论当a=2时，也就是一次函数的情况。当a=2时函数表达式为f（x）=-3x-1，与x轴当然存在一个交点（-■，0）。所以a=2就是正确答案。可见分类讨论是数学解题中的重要思想方法，需要我们解题过程中常常运用，这样才能全局把握，找到解决实际问题的办法。

三、联系现实生活，体验知识运用

常言道：学以致用。运用就是学习的终极目标，所以，课堂教学不能只注重理论研究，还要能引导和驱动同学们运用所学知识去解决实际问题。常见的课堂引导方式是设置生活中的实际情境，让同学们运用所学知识根据数据之间的关系进行分析和计算，最终选出最优方案。比如，学习三角函数知识后，为何让大家上升到运用技能，笔者就将王老板遇到的一个现实问题让同学们帮助分析和解决：

北京（40°N）某小区楼高33层，每层3米高，楼间距60米，已知冬至日影子最长，王老师想全天采光的话，最低可以买第几层？即便同学们基础知识不错，但是面对实际问题时还是有点懵，我们可以进行关键性提示：楼间距60米是前楼多少米高投射的阴影呢？同学们根据地理知识算出冬至日该小区太阳高度角是A°，就能算出60米是前楼tanA°×60米，最低需要买99-tanA°×60米以上的高度。这样一来大家对三角函数只是纸上谈兵的认识就得到有效改观，知识得到运用和升华。

本文是笔者联系教学实践对常用的三种习题教学方式的分析与讨论。概括地讲，习题练习是学生迁移知识生成技能的促成环节，我们在教学实践中一定要根据学生认知，对教学内容进行整合，设置典型的、适当的优质习题，引导和启发学生掌握知识的精髓，这才是理性课堂，才是高效课堂必由之路。

参考文献：

潘相治.新课标下高中数学习题教学研究［J］.数学学习与研究，2012（05）.

编辑 谢尾合

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