一类含无穷小和差形式的极限的求法

李红梅

(四川文理学院数学与财经学院，四川达州635000)

一类含无穷小和差形式的极限的求法

李红梅

(四川文理学院数学与财经学院，四川达州635000)

应用等价无穷小代换的思想方法,探讨一类含无穷小和差形式的极限的求法.提出利用函数的Taylor展开式等方法,合理选择无穷小的等价形式,保持无穷小的和差整体的阶不变，可以方便快捷地求得极限.

极限；等价代换；无穷小；Taylor

0 引言

1 引理及常见错误

引理1[4]：设函数f,g,h在U°(x0)上有定义,且有f(x)～g(x)(x→x0)．

引理1告诉我们,对所求极限式中相乘或相除的因子可用等价无穷小代换．对于含无穷小和差形式的极限问题,要谨慎使用.下面是一些错误的解法．

这个题的正确结果是0,但方法是错误的.因为

将它代换为x-x这样的零无穷小是不合理的.代换前是非0无穷小.这样代换后成了无穷小量0．零是比任何非零无穷小都高阶的无穷小．这样代换前后无穷小的阶发生了变化.那么,对于含无穷小和差形式的极限问题,能否将无穷小的和差看作一个整体,用其等价无穷小来代换呢？事实上,是可以的．

引理2告诉我们,一个函数可以有不同阶的等价无穷小形式,可根据已确定的幂指数选择合适的泰勒展开阶数．对于含无穷小和差形式的极限问题,将无穷小的和差看作一个整体,只要能保证这个整体的无穷小等价性,也可以进行代换．等价无穷小的实质是自变量的同一个极限过程中,两个无穷小量趋于零的“快慢”程度相当．等价无穷小代换方法的实质是分数的约分,其关键是要保持代换前后无穷小和差作为一个整体的阶不变．

2 主要结论

证明：由泰勒公式有

由于分母是x的r阶无穷小,所以f(x),g(x)在泰勒展开式中到r阶为止.又f(x)-g(x)的泰勒展开中xt(t=0,1,2,…,r-1)的系数均为零.于是

推论1 设函数f,g,h在u°(0)上有定义，且有直到n阶导数,pr(x)=arxr+ar-1xr-1+…+a1x,ar≠0,r

推论2 设函数f,g在u°(0)上有定义,且有直到n阶导数,pr(x)=arxr+ar-1xr-1+…+a1x,ar≠0,r

推论3 设函数f,g在u°(0)上有定义,且有直到n阶导数.f(x)-g(x)→0(x→0)．f(x)-g(x)的泰勒展开中xt(t=0,1,2,…,r-1)的系数均为零.则

利用函数Taylor展开式可知：

3 实例

解：当x→0时,ln(1+2x)-arctan5x～2x-5x,sinx-tan7x～x-7x,即分子、分母均是x的一阶无穷小.所以

当y→0+时,分母是y的一阶无穷小．利用函数的Taylor展开式选择：

解：本题可用罗比达法则求解,但是运算过程比较繁琐．在这里可用泰勒公式求解,考虑到极限式的分母为4次,我们将分子Taylor展开到4阶．

因而得

4 结束语

等价无穷小可以在极限是相乘或相除形式的计算中起到化繁为简、方便快捷的作用.含无穷小和差形式的极限的求解过程中,应用整体代换的思想,关键是选择合适的无穷小进行代换,使得整体在代换前后保持阶不变.

[1] 李秀敏，王灵色．等价无穷小代换在求极限过程中的应用[J]．高等数学研究，2002(3)：36-37．

[2] 陈新明．用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J]．高等数学研究，2008(5)：57-58．

[3] 潘建辉，胡学刚，邓志颖．关于“无穷小的比较”的教学研究[J]．高等数学研究，2011(5)：43-46．

[4] 华东师范大学数学系．数学分析：上册[M]．北京：高等教育出版社，2010：93．

[5] 徐森林，薛春华．数学分析：第一册[M]．北京：清华大学出版社，2005：267．

[责任编辑 邓 杰]

A Solution to a Limit With the Infinitesimal Sum and Difference

LI Hong-mei

(Mathematics and Finance-Economics Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

This paper analyzes the method for solving the class of limit with the infinitesimal sum and difference by the thinking of the replace of equivalent infinitesimal. It proposes how to keep the order of the whole of the infinitesimal sum and difference by using the Taylor expansion and reasonable selection of equivalent infinitesimal.

limit; equivalent substitution; infinitesimal; Taylor

2013-05-26

李红梅(1979—),女,四川乐至人.讲师,硕士，主要从事数学课程与教学研究．

O171

A

1674-5248(2014)02-0019-04