非奇异H-矩阵新的含参数细分迭代判别法

肖丽霞,张俊丽

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古 通辽 028043)

非奇异H-矩阵新的含参数细分迭代判别法

肖丽霞,张俊丽

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古 通辽 028043)

结合矩阵自身的元素,构造了含参数的迭代公式,进而细分了矩阵非对角占优行指标集.利用广义严格α-对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的关系,给出了非奇异H-矩阵一组新的细分迭代判定准则,推广和改进了已有的结果,通过数值算例说明了结果的优越性.

非奇异H-矩阵;α-对角占优矩阵;不可约;非零元素链

1 引言与符号

非奇异H-矩阵是一类应用广泛的特殊矩阵,在计算数学、矩阵理论、控制论等领域发挥着重要作用.对非奇异H-矩阵判定方法的研究,近年来引起许多数学工作者的关注,并取得了一系列的研究成果[19].本文给出了一类新的含参数细分迭代判别法,对文献[1-5]的结果进行了推广和改进.

为叙述方便,引进下列记号和定义,设A=(aij)∈Cn×n为n阶复方阵,N≜{1,2,···,n}, α∈[0,1].记

显然有δk+1,i≤rk+1≤rk≤r1<1(∀k∈Z+,i∈N2).

定义 1.1[6]设A=(aij)∈Cn×n,若|aii|≥(>)Ri(A)(∀i∈N),则称A为(严格)对角占优矩阵,记为A∈D0(A∈D);若存在正对角矩阵X使得AX∈D,则称A为广义严格对角占优矩阵,记为A∈D∗.

定义 1.2[6]设A=(aij)∈Cn×n,若存在α∈[0,1],使得

则称A为α-(严格)对角占优矩阵,记为A∈D0(α)(A∈D(α));若存在正对角矩阵X 使得AX∈D(α),则称A为广义严格α-对角占优矩阵,记为A∈D∗(α).

2 主要结果

引理 2.1 [7]设A=(aij)∈Cn×n,若A∈D(α),则A∈D∗.

引理2.2 [8]设A=(aij)∈Cn×n,若存在正对角矩阵X,使AX∈D∗,则A∈D∗.

定理 2.1设A=(aij)∈Cn×n,且N′1,N′2/=∅,若存在k∈Z+(∀i∈N′1,∀j∈N′2),满足:

则A为非奇异H-矩阵.

证明令

因为0

取正对角矩阵X1=diag(d1,d2,···,dn),并记B=AX1,其中

3) ∀i∈N2,可得

综上所述,有|bii|>αRi(B)+(1−α)Qi(B)(∀i∈N)成立,则B∈D(α),由引理2.1知B=AX1∈D∗,其中X1为正对角矩阵,根据引理2.2,则A∈D∗,因此矩阵A为非奇异H-矩阵.

引理 2.3 [7]设A=(aij)∈Cn×n,若A∈D0(α),A不可约,且N2/=∅,则A∈D∗.

定理 2.2设A=(aij)∈Cn×n,且A不可约,若存在满足:

且至少有一严格不等式成立,则A为非奇异H-矩阵.

证明如同定理2.1的证明,记Mi,mj,则因为0

取正对角矩阵X2=diag(d1,d2,···,dn),并记B=AX2,其中

类似于定理2.1的证明过程,可得|bii|≥αRi(B)+(1−α)Qi(B)(∀i∈N),且至少有一个严格不等式成立.由A不可约,可得B不可约,则B为不可约α-对角占优矩阵,由引理2.3可知B=AX2∈D∗,其中X2为正对角矩阵,根据引理2.1,则A∈D∗,因此矩阵A为非奇异H-矩阵.

记

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引理 2.4 [7]设 A=(aij)∈Cn×n,若 A ∈D0(α),并且 ∀i∈N3,都有非零元素链aik1ak1k2...akpj,使得j∈N2,则A∈D∗.

定理 2.3设A=(aij)∈Cn×n,且N′1,N′2/=∅,若存在k∈Z+(∀i∈N′1,∀j∈N′2),满足:

证明如同定理2.2的证明,可得|bii|≥αRi(B)+(1−α)Qi(B)(∀i∈N).其中

成立;

成立,则B为非零元素链对角占优矩阵.根据引理2.4,B=AX2∈D∗,其中X2为正对角矩阵.根据引理2.1,则A∈D∗,因此矩阵A为非奇异H-矩阵.

3 数值算法

输入:已知矩阵A,参数α,迭代次数k.

输出:正对角矩阵X.

1)若aii=0(∃i∈N)或N2=∅,输出:矩阵A不是非奇异H-矩阵”,停止;若N1=∅,输出:矩阵A是非奇异H-矩阵”,停止;否则执行2);

2)若N1/=∅且N2/=∅,

成立,则输出“矩阵A是非奇异H-矩阵”,停止;否则输出“不确定矩阵A是否为非奇异H-矩阵”,停止.

4 数值算例

例4.1设

取α=0.5,则N1={1,2,3},N2={4,5},令k=1,可得r0=1,r1=0.5,δ2,4=0.45, δ2,5=0.2375,r2=0.45,则取i=3,j=1,则

取i=3,j=2,则

可见矩阵A满足定理2.1的条件,因此矩阵A为非奇异H-矩阵.但

所以矩阵A不能由文献[1]中定理2判定.又因为

所以矩阵A不能由文献[2]中定理1判定.又因为

所以矩阵A不能由文献[3]中定理1判定.又因为

所以矩阵A不能由文献[4]中定理1判定.经验证,对α=0.1,0.2,···,1.0,矩阵A不能由文献[5]中定理1判定.

[1]黄廷祝.非奇H矩阵的简捷判据[J].计算数学,1993,15(3):318-328.

[2]高中喜,黄廷祝,王广彬.非奇H-矩阵的充分条件[J].数学物理学报:A辑,2005,25(3):409-413.

[3]黄泽军,刘建州.非奇异H矩阵的一类新迭代判别法[J].工程数学学报,2008,25(5):939-942.

[4]孙德淑.非奇异H-矩阵的判定准则[J].温州大学学报,2009,30(3):18-21.

[5]尹如军,徐仲,陆全.非奇H-矩阵的细分迭代判别准则[J].工程数学学报,2013,30(3):433-441.

[6]孙玉祥.广义对角占优矩阵的充分条件[J].高等学校计算数学学报,1997,19(3):216-223.

[7]Sun Yuxiang.An improvement on a theorem by Ostrowski and its applications[J].Northeastern Math.J., 1991,7(4):497-502.

[8]Berman A,Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].Philadephia:SIAM Press,1994.

[9]韩贵春,钱茜,张俊丽.Ostrowski定理的推广与非奇异 H-矩阵的实用判定 [J].纯粹数学与应用数学, 2013,29(6):601-608.

New subdivided and iterative criteria with parameter for nonsingular H-matrices

Xiao Lixia,Zhang Junli
(School of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Tongliao 028043,China)

Associating the elements of the matrix,the iterative formulas with parameter are constructed,and then the index set of non diagonally dominant rows in a square matrix is subdivided.According to the relations between generalized α-diagonally dominant matrices and nonsingular H-matrices,a set of new subdividing and iterative criteria for nonsingular H-matrices is obtained,which extend and improve some related results.A numerical example is used to show the advantages of the results.

nonsingular H-matrix,α-diagonally dominant matrix,irreducible,non-zero elements chain

O151.21

A

1008-5513(2014)004-0386-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.008

2014-05-25.

内蒙古自治区高等学校科学技术研究项目(NJZY13159).

肖丽霞(1980-),硕士,讲师,研究方向：数值代数.

2010 MSC:15A57