概率计算中易混淆问题研究

刘佳美

（吉林师范大学博达学院 数学系，吉林 四平136000）

在某一组物品当中，随机抽取其中一部分，并计算符合各项检验要求的随机事件概率，其计算是有着实用背景的问题，同时在彩票奖率估算、产品抽样检验等问题当中有广泛运用。但在进行实际概率计算时，因所涉及各种事件具有的样本点的相关计数未有一个固定的解题方式，需要通过充分利用想象力、技巧以及洞察力进行解决。因此，怎样培养学生解决问题的思路，并对比分析概率计算中易混淆的问题，是概率教学首要解决的问题。

一、概率计算中存在的易混淆问题

1.“互斥”与“对立”的问题

在计算概率的过程中，通常情况下，容易将“对立”和“互斥”进行混淆。例如：将手中的四个不同颜色的气球，即红、黄、蓝、紫，随机分给4个小朋友，即a、b、c、d，每一个小朋友都获得一个气球，则事件“b得到的红气球”与“a获得的红气球”属于什么关系？其中有四个答案，一是对立事件，二是不可能事件，三是互斥但不对立事件，四是一、二、三答案均不正确。对于这类问题的回答，往往会错误的认为它们是属于对立事件，即第一个答案。这正是由于将“互斥”与“对立”相混淆，从而导致错误。如果想要将这类问题进行更加准确的解决，必须掌握好互斥事件和对立事件之间的不同之处及联系。[1]

2.“有放回”与“无放回”的问题

3.“互斥”与“独立”的问题

除了上述容易混淆的问题之外，此“互斥”与“独立”也是其中一个经常混淆的问题。例如：某两人，即a和b进行踢足球，其a有0.7的进球率，b有0.8的进球率，a与b每次进行提三次，求解两人刚好进球两次的概率？一般均是这样求解：以事件A进行表示“a刚好2次进球”，以事件B进行表示“b刚好2次进球”，于是关于两人刚好进球两次的事件就是A 加上B ， 其概率就是P(A+B)=P(A)+P（B）=0. 72× 0.2+0.82×0.3=0.825，其实，利用这种方法求解是属于错误的解法，其也是由于将“互斥”与“独立”相互混淆而导致的。[2]也就是将两个独立的事件当作互斥事件进行分析，把题目中的两人刚好两次进球看成a刚好进球2次+b刚好2次进球。

二、概率计算中易混淆问题的分析

在概率计算中存在互斥事件与对立事件混淆问题的教法分析。所谓互斥事件就是指在同一时间内不能出现的两个事件。若事件a与事件b之间是互斥关系，则P(A+B)=P(A)+P(B)，而其中必定有一个存在互斥事件，就称为对立事件，一般情况下，采用a1表示事件a，则就有p(a)+p(a1)=p(a+a)=1。如何更好掌握“对立”与“互斥”事件之间的不同和联系，主要有从这几项内容进行分析：首先是理解若两个事件存在对立关系，则一定具有互斥关系，相反之，两个事件存在互斥关系，就不一定存在对立关系；其次是“对立”只能应用于两个事件当中，而“互斥”却可以应用在若干个事件中；最后是如果两个事件是对立，在它们当中只能有一个发生，但是如果该两个事件是互斥，其中的事件不可以同时出现，只允许发生一个或者是两个都不发生。例如上述“互斥”与“对立”的例子，事件a获得的红色气球和b获得的红色气球，两者事件是不可能一起发生的，也许两者均没有发生，也许只有一个发生。因此正确的答案是第三个。

针对概率计算中的“互斥”与“独立”混淆问题。所谓互斥事件就是指两个事件不能同一发生。若事件b和事件a存在互斥关系，则具有P(a+b)-P(a)+P(b),而事件b或a发生或不发生，不会直接影响a或b的相关发生概率，像这类的事件就是所谓的独立事件。若事件a和b存在独立关系，则P(a·b)=P(a)·P(b)。对于上述例子中的正确解法是将事件A表示为a刚好进球2次，以事件B表示b刚好进球2次，同时这两个事件是属于相互独立关系，于是a与b均刚好进球2次为A·B,则按照P(A·B)=P(A)×P(B)=0.82×0.2×0.72×0.3=0.169

对于这两个公式，当学生刚开始接触的时候，常常觉得十分疑惑同时不理解，由于这均是干涉着依次抽取的相关问题。观察第一个公式与第二个公式，从形式方面上得知这两项公式存在相对较大的区别。然而第二个公式刚好是关于一次性抽取的概率公式，貌似没有符合逐次抽取的实际意义。所以我们带着这些疑问进行作以下分析：一般情况下，针对这两个公式，可以进行思考分次方面的问题，以分次作为解题的突破点。无论是建立在无需放回的前提下还是需要放回的前提下，均可以通过采用逐次法进行分析，同时将事件“n件产品的检验，刚好具有k件产品”以A进行表示。

在需要放回的条件下分析，因为每一次均是以X作为抽取的产品总体数量，因此在每次抽取过程中，X占有的比率相对比较高，进而进行抽取n次的样本点数就是 Xn。然而关于求解事件A中样本点数，首先把在抽取n次时k件次品的可能次序的组合数进行计算，并设为；其次是进行思考在n次抽取中，k件次品的次序位置的固定，以及思考正品n-k件的次序位置稳定。在它们均固定的时候，并进行考虑全部均有可能发生的抽取数，而X是每一次抽取时抽到的次品的可能性，则X-h就是抽到正品的可能性；最后根据相关的乘法原理，每次抽取数的总乘积就是抽取n次的可能出现的数目，也就是X×k×(n-k)×(X-h)所得的结果，在这个式子中，因乘积能够相互交换，所以正品及次品的位置有无变化不会直接影响该乘积。[3]

通过结合上述中的第一个公式与第二个公式，同时建立在需要放回的前提下，则·hk·(X-h)k就是事件A中所具有的样本点数，因为样本点的总数是Xn,所以在进行计算事件A的概率时，就出现上诉中的第一种方法。而相反之，在无需放回的前提下，可获得第二种方法。由此可知，关于在无需放回的条件下而进行逐次抽取产品的问题，第二种方法只能适用于详细化形式的事件，也就是说主要关联着事件的次品或正品的数目，与抽取的次数没有任何关系。不然，就不可以采取一次性抽取多样的手段进行分析，只有采用符合该类问题的逐次分析方法分析。

总之，针对计算概率过程中存在的易混淆问题，只有充分发挥我们的想象力以及洞察力，才能够更好的分析其存在的主要问题，从而有效解决概率计算中的易混淆的相关难题，并帮助学生提高学习质量。

[1]邹海雷,王成.关于概率统计教学改革的几点思考[J].新课程(下)，2012(7).

[2]傅文德.事件与概率学习中的几个问题[J].高等数学研究,2012(2).

[3]赵森烽,赵克勤.概率联系数化的原理及其在概率推理中的应用[J].智能系统学报,2012(3).