例谈概念形成中直观背景的选择

王少平

数学概念的形成是对“一类”数学实例的共同特征的归纳、概括、抽象，进而获得其本质属性，形成概念。在对具体的数学实例进行归纳时，如果具有丰富的直观背景，不仅有利于学生对本质特征的获取，同时也利于学生形成清晰且丰富的概念意象。在数学概念教学中发现：向学生提供一定量的直观背景比直接向学生呈现概念定义更利于学生表征概念。但是，如果直观背景选择不当，会导致学生分散注意力，误将直观背景的非本质特征当作本质特征。笔者结合自身的教学实践，认为直观背景的选择应注意以下几点。

一、 选择典型性直观背景，形成感知

在数学概念学习的初期阶段，具体材料的典型性，有助于学生揭示概念的本质特征。直观材料作为概念的实物原型，其中融入了概念的本质属性，其直观形象性便于学生感知概念的表面特征，利于形成直观表象。

例如，“角的认识”教学伊始，教师出示剪刀、三角尺、闹钟等实物，让学生指认角在哪儿。学生指认之后，教师又问：“你还能在哪些物体上找到角呢？”接着学生们在书面上、黑板上、门框上……找到了角。这里所呈现的实物中，包含了角的一般属性，学生在指认角的过程中初步感知了“角”，并在头脑中初步形成角的直观表象，使直观材料与概念原型、表象与概念之间发生关联。

再例如，“百分数”的教学开始，以投篮比赛的情境为载体，在围绕解决“谁投篮最准”的问题中，学生通过讨论交流，不断寻求解决问题的办法，由起初的仅仅根据“投中个数”的多少作为不充分的判断依据，到后来的依据“投中的比率”作为判断的依据，这一过程中，学生通过不断地否定自我，使原有认识不断被打破，迫使他们在寻求科学的解决问题办法的过程中，经历百分数产生的过程，感受百分数的客观存在性，形成对百分数的初步感知，使得“百分数表示两个数量之间的比率”这一本质根植于学生的头脑之中。

二、 选择正例性直观背景，建立表象

任何一个概念的建立，都应有丰富的正例作为支撑，同时为了帮助学生正确地理解概念，不至于将概念的认识停留在以形象性为主的直观背景上，教师应借助丰富的直观背景材料帮助学生形成正确的概念表象，并使之成为后一阶段深入学习的基础。

例如，在进行“乘法分配律”的教学中，教师引领学生在一组问题情境中通过“一题两解”的方式发现形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的等式，紧接着又让学生举出很多这样的等式，并逐一加以检验。教学至此，一个准确、清晰的规律表象已形成，至于下一步揭示规律、建立概念已水到渠成。

再例如，教学“倒数”时，教师以计算引入，通过给计算过的一组算式进行分类，找出乘积是“1”的一组算式，并列举大量的乘积是“1”的算式，再通过观察此类算式的特点帮助学生建立起“倒数”的表象，为概念的揭示做好铺垫。

三、 选择相异性直观背景，深化理解

诸多教学实践表明，愈是具有相异性的学习材料，愈容易区分概念的本质属性和非本质属性。因此，运用有差异的学习材料来揭示概念，有助于深化对概念本质属性的理解，使概念的形成愈发清晰。

例如，教学“百分数”中，在感知百分数是表示两个量之间的比率关系后，教师出示了一个问题情境“一堆煤■吨，运走了它的■”，让学生判断那个分数可以改写成百分数。学生在思辨中明确了百分数与分数的不同，从而理解了百分数是表示两个量之间的关系这一本质。

再如，学习“角的认识”中，在形成感知、建立表象之后，为了帮助学生深入认识角，教师出示了这样一组图，要求学生判断哪些是角，哪些不是角，为什么？

图①、③是一组肯定例证，图②、④是一组否定例证。通过这组相异的材料，突出了肯定例证中无关特征的变化和否定例证中本质特征的变化，让学生在辨析中深刻感悟到概念的外在形式的可变性与内在本质属性的不变性，从而深入理解了概念的本质属性。

四、 选择创造性直观背景，发展能力

教学中提供直观背景的目的，是为了让学生在接受这些材料刺激时，借助这些材料进行思维活动，以便在揭示概念的本质属性时，很快经历由抽象到具体的过程，发展学生的想象力，提高理解及运用概念的能力。因此，提供的直观材料本身必须具有潜在的启发性、想象性和创造性。

例如，认识“立方米”后，教师让学生交流自己对“立方米”的认识，学生的回答可谓五花八门：“1立方米的空间大约可容纳8位同学。”“讲桌所占有的空间大约是1立方米。”“我们教室的空间大约是140立方米。”……

再如，学习了“正比例”之后，教师出示了一组汽车行驶时间、行驶路程、耗油量、尾气排放量的数据，让学生判断，哪两个量成正比例（汽车行驶时间分别与耗油量、尾气排放量成正比例），并请学生根据这一现象发表自己的看法。（学生自然想到应倡导绿色出行，注意环保。）

这样，在概念形成的各个阶段都注重选择与之相适应的直观背景，既切合学生不同阶段数学学习心理的特征，又可让学生在直观材料和直观活动中经历知识的产生、形成和发展的过程，增加学习体验，形成鲜明的感知和表象，利于概念的透彻理解。

【责任编辑：陈国庆】endprint

数学概念的形成是对“一类”数学实例的共同特征的归纳、概括、抽象，进而获得其本质属性，形成概念。在对具体的数学实例进行归纳时，如果具有丰富的直观背景，不仅有利于学生对本质特征的获取，同时也利于学生形成清晰且丰富的概念意象。在数学概念教学中发现：向学生提供一定量的直观背景比直接向学生呈现概念定义更利于学生表征概念。但是，如果直观背景选择不当，会导致学生分散注意力，误将直观背景的非本质特征当作本质特征。笔者结合自身的教学实践，认为直观背景的选择应注意以下几点。

一、 选择典型性直观背景，形成感知

在数学概念学习的初期阶段，具体材料的典型性，有助于学生揭示概念的本质特征。直观材料作为概念的实物原型，其中融入了概念的本质属性，其直观形象性便于学生感知概念的表面特征，利于形成直观表象。

例如，“角的认识”教学伊始，教师出示剪刀、三角尺、闹钟等实物，让学生指认角在哪儿。学生指认之后，教师又问：“你还能在哪些物体上找到角呢？”接着学生们在书面上、黑板上、门框上……找到了角。这里所呈现的实物中，包含了角的一般属性，学生在指认角的过程中初步感知了“角”，并在头脑中初步形成角的直观表象，使直观材料与概念原型、表象与概念之间发生关联。

再例如，“百分数”的教学开始，以投篮比赛的情境为载体，在围绕解决“谁投篮最准”的问题中，学生通过讨论交流，不断寻求解决问题的办法，由起初的仅仅根据“投中个数”的多少作为不充分的判断依据，到后来的依据“投中的比率”作为判断的依据，这一过程中，学生通过不断地否定自我，使原有认识不断被打破，迫使他们在寻求科学的解决问题办法的过程中，经历百分数产生的过程，感受百分数的客观存在性，形成对百分数的初步感知，使得“百分数表示两个数量之间的比率”这一本质根植于学生的头脑之中。

二、 选择正例性直观背景，建立表象

任何一个概念的建立，都应有丰富的正例作为支撑，同时为了帮助学生正确地理解概念，不至于将概念的认识停留在以形象性为主的直观背景上，教师应借助丰富的直观背景材料帮助学生形成正确的概念表象，并使之成为后一阶段深入学习的基础。

例如，在进行“乘法分配律”的教学中，教师引领学生在一组问题情境中通过“一题两解”的方式发现形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的等式，紧接着又让学生举出很多这样的等式，并逐一加以检验。教学至此，一个准确、清晰的规律表象已形成，至于下一步揭示规律、建立概念已水到渠成。

再例如，教学“倒数”时，教师以计算引入，通过给计算过的一组算式进行分类，找出乘积是“1”的一组算式，并列举大量的乘积是“1”的算式，再通过观察此类算式的特点帮助学生建立起“倒数”的表象，为概念的揭示做好铺垫。

三、 选择相异性直观背景，深化理解

诸多教学实践表明，愈是具有相异性的学习材料，愈容易区分概念的本质属性和非本质属性。因此，运用有差异的学习材料来揭示概念，有助于深化对概念本质属性的理解，使概念的形成愈发清晰。

例如，教学“百分数”中，在感知百分数是表示两个量之间的比率关系后，教师出示了一个问题情境“一堆煤■吨，运走了它的■”，让学生判断那个分数可以改写成百分数。学生在思辨中明确了百分数与分数的不同，从而理解了百分数是表示两个量之间的关系这一本质。

再如，学习“角的认识”中，在形成感知、建立表象之后，为了帮助学生深入认识角，教师出示了这样一组图，要求学生判断哪些是角，哪些不是角，为什么？

图①、③是一组肯定例证，图②、④是一组否定例证。通过这组相异的材料，突出了肯定例证中无关特征的变化和否定例证中本质特征的变化，让学生在辨析中深刻感悟到概念的外在形式的可变性与内在本质属性的不变性，从而深入理解了概念的本质属性。

四、 选择创造性直观背景，发展能力

教学中提供直观背景的目的，是为了让学生在接受这些材料刺激时，借助这些材料进行思维活动，以便在揭示概念的本质属性时，很快经历由抽象到具体的过程，发展学生的想象力，提高理解及运用概念的能力。因此，提供的直观材料本身必须具有潜在的启发性、想象性和创造性。

例如，认识“立方米”后，教师让学生交流自己对“立方米”的认识，学生的回答可谓五花八门：“1立方米的空间大约可容纳8位同学。”“讲桌所占有的空间大约是1立方米。”“我们教室的空间大约是140立方米。”……

再如，学习了“正比例”之后，教师出示了一组汽车行驶时间、行驶路程、耗油量、尾气排放量的数据，让学生判断，哪两个量成正比例（汽车行驶时间分别与耗油量、尾气排放量成正比例），并请学生根据这一现象发表自己的看法。（学生自然想到应倡导绿色出行，注意环保。）

这样，在概念形成的各个阶段都注重选择与之相适应的直观背景，既切合学生不同阶段数学学习心理的特征，又可让学生在直观材料和直观活动中经历知识的产生、形成和发展的过程，增加学习体验，形成鲜明的感知和表象，利于概念的透彻理解。

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数学概念的形成是对“一类”数学实例的共同特征的归纳、概括、抽象，进而获得其本质属性，形成概念。在对具体的数学实例进行归纳时，如果具有丰富的直观背景，不仅有利于学生对本质特征的获取，同时也利于学生形成清晰且丰富的概念意象。在数学概念教学中发现：向学生提供一定量的直观背景比直接向学生呈现概念定义更利于学生表征概念。但是，如果直观背景选择不当，会导致学生分散注意力，误将直观背景的非本质特征当作本质特征。笔者结合自身的教学实践，认为直观背景的选择应注意以下几点。

一、 选择典型性直观背景，形成感知

在数学概念学习的初期阶段，具体材料的典型性，有助于学生揭示概念的本质特征。直观材料作为概念的实物原型，其中融入了概念的本质属性，其直观形象性便于学生感知概念的表面特征，利于形成直观表象。

例如，“角的认识”教学伊始，教师出示剪刀、三角尺、闹钟等实物，让学生指认角在哪儿。学生指认之后，教师又问：“你还能在哪些物体上找到角呢？”接着学生们在书面上、黑板上、门框上……找到了角。这里所呈现的实物中，包含了角的一般属性，学生在指认角的过程中初步感知了“角”，并在头脑中初步形成角的直观表象，使直观材料与概念原型、表象与概念之间发生关联。

再例如，“百分数”的教学开始，以投篮比赛的情境为载体，在围绕解决“谁投篮最准”的问题中，学生通过讨论交流，不断寻求解决问题的办法，由起初的仅仅根据“投中个数”的多少作为不充分的判断依据，到后来的依据“投中的比率”作为判断的依据，这一过程中，学生通过不断地否定自我，使原有认识不断被打破，迫使他们在寻求科学的解决问题办法的过程中，经历百分数产生的过程，感受百分数的客观存在性，形成对百分数的初步感知，使得“百分数表示两个数量之间的比率”这一本质根植于学生的头脑之中。

二、 选择正例性直观背景，建立表象

任何一个概念的建立，都应有丰富的正例作为支撑，同时为了帮助学生正确地理解概念，不至于将概念的认识停留在以形象性为主的直观背景上，教师应借助丰富的直观背景材料帮助学生形成正确的概念表象，并使之成为后一阶段深入学习的基础。

例如，在进行“乘法分配律”的教学中，教师引领学生在一组问题情境中通过“一题两解”的方式发现形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的等式，紧接着又让学生举出很多这样的等式，并逐一加以检验。教学至此，一个准确、清晰的规律表象已形成，至于下一步揭示规律、建立概念已水到渠成。

再例如，教学“倒数”时，教师以计算引入，通过给计算过的一组算式进行分类，找出乘积是“1”的一组算式，并列举大量的乘积是“1”的算式，再通过观察此类算式的特点帮助学生建立起“倒数”的表象，为概念的揭示做好铺垫。

三、 选择相异性直观背景，深化理解

诸多教学实践表明，愈是具有相异性的学习材料，愈容易区分概念的本质属性和非本质属性。因此，运用有差异的学习材料来揭示概念，有助于深化对概念本质属性的理解，使概念的形成愈发清晰。

例如，教学“百分数”中，在感知百分数是表示两个量之间的比率关系后，教师出示了一个问题情境“一堆煤■吨，运走了它的■”，让学生判断那个分数可以改写成百分数。学生在思辨中明确了百分数与分数的不同，从而理解了百分数是表示两个量之间的关系这一本质。

再如，学习“角的认识”中，在形成感知、建立表象之后，为了帮助学生深入认识角，教师出示了这样一组图，要求学生判断哪些是角，哪些不是角，为什么？

图①、③是一组肯定例证，图②、④是一组否定例证。通过这组相异的材料，突出了肯定例证中无关特征的变化和否定例证中本质特征的变化，让学生在辨析中深刻感悟到概念的外在形式的可变性与内在本质属性的不变性，从而深入理解了概念的本质属性。

四、 选择创造性直观背景，发展能力

教学中提供直观背景的目的，是为了让学生在接受这些材料刺激时，借助这些材料进行思维活动，以便在揭示概念的本质属性时，很快经历由抽象到具体的过程，发展学生的想象力，提高理解及运用概念的能力。因此，提供的直观材料本身必须具有潜在的启发性、想象性和创造性。

例如，认识“立方米”后，教师让学生交流自己对“立方米”的认识，学生的回答可谓五花八门：“1立方米的空间大约可容纳8位同学。”“讲桌所占有的空间大约是1立方米。”“我们教室的空间大约是140立方米。”……

再如，学习了“正比例”之后，教师出示了一组汽车行驶时间、行驶路程、耗油量、尾气排放量的数据，让学生判断，哪两个量成正比例（汽车行驶时间分别与耗油量、尾气排放量成正比例），并请学生根据这一现象发表自己的看法。（学生自然想到应倡导绿色出行，注意环保。）

这样，在概念形成的各个阶段都注重选择与之相适应的直观背景，既切合学生不同阶段数学学习心理的特征，又可让学生在直观材料和直观活动中经历知识的产生、形成和发展的过程，增加学习体验，形成鲜明的感知和表象，利于概念的透彻理解。

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