对圆锥曲线中一类定点问题的启示

吴雅琴

圆锥曲线中的定点问题通常是高考命题的热点,同时也是高考题中的一大难点，在近几年的高考试卷中不乏此类问题.该类问题动中有定，定中有动，多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明，难度较大，综合性较强．该类问题对学生的分析问题的能力及计算能力要求都比较高，不少同学遇到此类问题都觉得“棘手”.下面我们就一起谈谈这类问题的处理方法.

动直线或曲线过定点问题：动直线或曲线方程中一定含有参数，在解题时需写出直线或曲线方程，将它转化为f(x,y)+λg(x,y)=0（λ为参数）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ为参数）得定点坐标.

例1如图,已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上顶点A,右焦点F,直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点,AP·AQ=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．

（1）解：（过程略）x23+y2=1.

（2）分析1直线l与椭圆交于P、Q两点，

由AP·AQ=0得，直线AP与直线AQ垂直，且直线AP与x轴不垂直，故选择设直线AP的斜率k为参数.

解设直线AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以点P的坐标为(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因为直线AP与直线AQ垂直，将点P的坐标中的k用-1k代替即可得Q点的坐标为(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直线l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直线l过定点(0，－12)．

分析2直线l与椭圆交于P、Q两点，设出直线l的方程：y=kx+b，利用设而不求法及AP·AQ=0找出k与b的关系.

解设P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因为动直线l不过点A，所以b=-12，直线l∶y=kx-12恒过定点(0，－12)．

小结本题对AP·AQ=0这个条件，（1）我们利用直线AP与直线AQ垂直，选择直线AP或直线AQ的斜率为参数，通过解方程组的思想求出P、Q两点的坐标，进而求出直线l的方程；（2）利用向量的坐标运算，得到x1+x2与x1x2的关系式，因此设出直线的斜截式方程y=kx+b与椭圆方程联立方程组，借助于根与系数之间的关系将x1+x2与x1x2用k和b来表示，从而找到k与b的关系，体现了“设而不求”的思想.

处理直线过定点问题：

（1）引进参数——从目标对应关系式出发，引进参数，通常引进的参数有直线的斜率、点的坐标等；

（2）找关系式——建立方程组，常用设而不求法；

（3）探求直线过定点——将它转化为f(x,y)+λg(x,y)=0（λ为参数）的形式；

（4）得结论——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ为参数）得定点坐标.

究不断地构建科学的知识体系，完善和修复自己的知识结构，教师则需要适时地给学生建立一个“支点”，使学生在探究中更为高效、深入.

三、总结教学反思，师生同进教学相长

生成性资源使学生共同成长，充分体现了教学相长.从双向角度反馈来分析，生成性动态资源的开发和利用，一方面提升了教师的专业水平，动态资源的开发体现了教师的教育智慧，发挥了教师的主观能动性和创造性，激发了教师对自己专业的学习，使他们不断丰富自己的知识，提高自己的注意力和灵活性，将教师置于课堂的“主导”位置，在给学生“一碗水”时，积极准备自己的“一桶水”，增加了教师的教学阅历，为教师的成长提供了空间.另一方面提升了学生的学习能力，学生的动态生成源于它对课堂问题的思考，激发了学生对学习的兴趣，探究问题的激情，培养了学生的综合能力.生成性资源在课堂教学中的应用，有效的促进了师生的共同进步，促进新课改的快速发展.

总之，科学合理地利用和开发课堂的“动态生成”，是激发学生生机蓬勃的动力源泉.它将引导广大的教师转变教育观念，树立正确的课程观和学生观，具有强烈的资源意识，在高中数学课堂教学中，积极地有效地开发“新能源”，在充满不确定的课堂中，引导学生正确的学习方法，科学的探究数学新思路，全面提升学生综合能力，展示高中数学教师的教育智慧.

圆锥曲线中的定点问题通常是高考命题的热点,同时也是高考题中的一大难点，在近几年的高考试卷中不乏此类问题.该类问题动中有定，定中有动，多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明，难度较大，综合性较强．该类问题对学生的分析问题的能力及计算能力要求都比较高，不少同学遇到此类问题都觉得“棘手”.下面我们就一起谈谈这类问题的处理方法.

动直线或曲线过定点问题：动直线或曲线方程中一定含有参数，在解题时需写出直线或曲线方程，将它转化为f(x,y)+λg(x,y)=0（λ为参数）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ为参数）得定点坐标.

例1如图,已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上顶点A,右焦点F,直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点,AP·AQ=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．

（1）解：（过程略）x23+y2=1.

（2）分析1直线l与椭圆交于P、Q两点，

由AP·AQ=0得，直线AP与直线AQ垂直，且直线AP与x轴不垂直，故选择设直线AP的斜率k为参数.

解设直线AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以点P的坐标为(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因为直线AP与直线AQ垂直，将点P的坐标中的k用-1k代替即可得Q点的坐标为(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直线l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直线l过定点(0，－12)．

分析2直线l与椭圆交于P、Q两点，设出直线l的方程：y=kx+b，利用设而不求法及AP·AQ=0找出k与b的关系.

解设P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因为动直线l不过点A，所以b=-12，直线l∶y=kx-12恒过定点(0，－12)．

小结本题对AP·AQ=0这个条件，（1）我们利用直线AP与直线AQ垂直，选择直线AP或直线AQ的斜率为参数，通过解方程组的思想求出P、Q两点的坐标，进而求出直线l的方程；（2）利用向量的坐标运算，得到x1+x2与x1x2的关系式，因此设出直线的斜截式方程y=kx+b与椭圆方程联立方程组，借助于根与系数之间的关系将x1+x2与x1x2用k和b来表示，从而找到k与b的关系，体现了“设而不求”的思想.

处理直线过定点问题：

（1）引进参数——从目标对应关系式出发，引进参数，通常引进的参数有直线的斜率、点的坐标等；

（2）找关系式——建立方程组，常用设而不求法；

（3）探求直线过定点——将它转化为f(x,y)+λg(x,y)=0（λ为参数）的形式；

（4）得结论——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ为参数）得定点坐标.

究不断地构建科学的知识体系，完善和修复自己的知识结构，教师则需要适时地给学生建立一个“支点”，使学生在探究中更为高效、深入.

三、总结教学反思，师生同进教学相长

生成性资源使学生共同成长，充分体现了教学相长.从双向角度反馈来分析，生成性动态资源的开发和利用，一方面提升了教师的专业水平，动态资源的开发体现了教师的教育智慧，发挥了教师的主观能动性和创造性，激发了教师对自己专业的学习，使他们不断丰富自己的知识，提高自己的注意力和灵活性，将教师置于课堂的“主导”位置，在给学生“一碗水”时，积极准备自己的“一桶水”，增加了教师的教学阅历，为教师的成长提供了空间.另一方面提升了学生的学习能力，学生的动态生成源于它对课堂问题的思考，激发了学生对学习的兴趣，探究问题的激情，培养了学生的综合能力.生成性资源在课堂教学中的应用，有效的促进了师生的共同进步，促进新课改的快速发展.

总之，科学合理地利用和开发课堂的“动态生成”，是激发学生生机蓬勃的动力源泉.它将引导广大的教师转变教育观念，树立正确的课程观和学生观，具有强烈的资源意识，在高中数学课堂教学中，积极地有效地开发“新能源”，在充满不确定的课堂中，引导学生正确的学习方法，科学的探究数学新思路，全面提升学生综合能力，展示高中数学教师的教育智慧.

圆锥曲线中的定点问题通常是高考命题的热点,同时也是高考题中的一大难点，在近几年的高考试卷中不乏此类问题.该类问题动中有定，定中有动，多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明，难度较大，综合性较强．该类问题对学生的分析问题的能力及计算能力要求都比较高，不少同学遇到此类问题都觉得“棘手”.下面我们就一起谈谈这类问题的处理方法.

动直线或曲线过定点问题：动直线或曲线方程中一定含有参数，在解题时需写出直线或曲线方程，将它转化为f(x,y)+λg(x,y)=0（λ为参数）的形式，由f(x,y)=0

g(x,y)=0（λ为参数）得定点坐标.

例1如图,已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上顶点A,右焦点F,直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点,AP·AQ=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．

（1）解：（过程略）x23+y2=1.

（2）分析1直线l与椭圆交于P、Q两点，

由AP·AQ=0得，直线AP与直线AQ垂直，且直线AP与x轴不垂直，故选择设直线AP的斜率k为参数.

解设直线AP： y=kx+1，

x23+y2=1，

y=kx+1， 消y得(1+3k2)x2+6kx=0.

所以点P的坐标为(－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2).因为直线AP与直线AQ垂直，将点P的坐标中的k用-1k代替即可得Q点的坐标为(6kk2＋3，k2－3k2＋3).

所以kPQ=k2-3k2+3-1-3k21+3k2

6kk2+3+6k1+3k2=k2+14k.

所以直线l：y＝k2－14k(x－6kk2＋3)＋k2－3k2＋3，

即y＝k2－14kx－12，故直线l过定点(0，－12)．

分析2直线l与椭圆交于P、Q两点，设出直线l的方程：y=kx+b，利用设而不求法及AP·AQ=0找出k与b的关系.

解设P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线l∶y=kx+b

y=kx+b,

x23+y2=1,

消y得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.

x1+x2=-6kb1+3k2,x1x2=3b2-31+3k2.（*）

由AP·AQ=0得，

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0

所以(1+k2)x1x2+(kb-k)(x1+x2)+b2-2b+1=0代入（*）式得

4b2-2b-21+3k2=0即b=-12或b=1.

因为动直线l不过点A，所以b=-12，直线l∶y=kx-12恒过定点(0，－12)．

小结本题对AP·AQ=0这个条件，（1）我们利用直线AP与直线AQ垂直，选择直线AP或直线AQ的斜率为参数，通过解方程组的思想求出P、Q两点的坐标，进而求出直线l的方程；（2）利用向量的坐标运算，得到x1+x2与x1x2的关系式，因此设出直线的斜截式方程y=kx+b与椭圆方程联立方程组，借助于根与系数之间的关系将x1+x2与x1x2用k和b来表示，从而找到k与b的关系，体现了“设而不求”的思想.

处理直线过定点问题：

（1）引进参数——从目标对应关系式出发，引进参数，通常引进的参数有直线的斜率、点的坐标等；

（2）找关系式——建立方程组，常用设而不求法；

（3）探求直线过定点——将它转化为f(x,y)+λg(x,y)=0（λ为参数）的形式；

（4）得结论——由f(x,y)=0,

g(x,y)=0（λ为参数）得定点坐标.

究不断地构建科学的知识体系，完善和修复自己的知识结构，教师则需要适时地给学生建立一个“支点”，使学生在探究中更为高效、深入.

三、总结教学反思，师生同进教学相长

生成性资源使学生共同成长，充分体现了教学相长.从双向角度反馈来分析，生成性动态资源的开发和利用，一方面提升了教师的专业水平，动态资源的开发体现了教师的教育智慧，发挥了教师的主观能动性和创造性，激发了教师对自己专业的学习，使他们不断丰富自己的知识，提高自己的注意力和灵活性，将教师置于课堂的“主导”位置，在给学生“一碗水”时，积极准备自己的“一桶水”，增加了教师的教学阅历，为教师的成长提供了空间.另一方面提升了学生的学习能力，学生的动态生成源于它对课堂问题的思考，激发了学生对学习的兴趣，探究问题的激情，培养了学生的综合能力.生成性资源在课堂教学中的应用，有效的促进了师生的共同进步，促进新课改的快速发展.

总之，科学合理地利用和开发课堂的“动态生成”，是激发学生生机蓬勃的动力源泉.它将引导广大的教师转变教育观念，树立正确的课程观和学生观，具有强烈的资源意识，在高中数学课堂教学中，积极地有效地开发“新能源”，在充满不确定的课堂中，引导学生正确的学习方法，科学的探究数学新思路，全面提升学生综合能力，展示高中数学教师的教育智慧.