一阶电路瞬态过程的分析方法探究

李景琴

（赤峰学院 数学与统计学院， 内蒙古 赤峰024000）

一阶电路瞬态过程的分析方法探究

李景琴

（赤峰学院 数学与统计学院， 内蒙古 赤峰024000）

本文主要讨论了三种分析一阶电路的的方法：1、利用基尔霍夫定律和电容、电感的关系及微积分的知识；2、三要素法进行分析；3、利用拉普拉斯变换进行分析.

初始值；终了值；拉普拉斯变换；反拉普拉斯变换

对于一个复杂的电路，当工作条件发生改变时，电阻电路和动态电路的工作状态都将随之发生变化.电阻电路的变化可在瞬间完成，无需经历任何过程.但动态电路的变化则是一个渐变的过程，不能在瞬间完成，这一渐变的过程称为瞬态过程，处于瞬态过程中的状态称为瞬态.

关于动态电路，常以描述该电路性状的微分方程的阶数加以区别，对应于一阶微分方程的电路，称为一阶电路.只含有一个储能元件（电感或电容）的电路就是一阶电路.

所谓瞬态过程的分析就是指对于给定的电路，随着电路或电源的接通与断开，电路连接结构或元件参数发生改变时，计算出各支路中的电流或电压随时间的变化规律.下面介绍三种分析一阶瞬态电路的方法.

1 基尔霍夫定律分析法

利用基尔霍夫电流定律：对于任一节点，所有与之相边的支路电流的代数和恒等于零，即：∑i=0；电压定律：对于任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即：∑u=0；以及电感感应电动势与电流的关系；电容的电压与电容电流之间的关系来分析研究瞬态过程的一种方法.下面通过具体的实例加以介绍：

在右图的电路中，两线圈的自感分别为L1和L2，电阻为零，两者之间无互感耦合，电源的内阻已计入R中，设开关闭合前各支路无电流，设t=0，开关闭合，各支路电流如图所示，则根据基尔霍夫定律有：

对以上各式整理，有：

由以上分析可见，利用该方法分析需有扎实的数学知识做基础.

2 三要素分析法

2.1 三要素分析法的由来

一阶电路是指只包含一个或者经化简后只剩下一个独立储能元件的电路，即该电路依据基尔霍夫定律列出的方程是一阶的常微分方程.激励和响应之间的关系可概括为下列形式:

式中:

f(t)——任意激励函数，

y(t)——电路中任一响应函数(电压或电流).

y(0+)——初始条件，

a——电路的结构与参数决定的常数

由数学知识可知微分方程（1）的解为：

式中：为电路的稳态响应，与激励函数f(t)具有相同的形式，它就是非齐次微分方程式(1)的特解；

yb(t)=ce-at为电路的暂态响应，它就是式(1)所对应的齐次微分方程的通解，该齐次微分方程的特征方程为s+a=0,所以特征根,其中 τ为一阶电路的时间常数，仅与电路的结构与参数有关，而与外施激励无关.这样电路的暂态相应可写为

而电路的全响应为

式中c为由初始条件决定的积分常数.

将t=0+的初始值代入（3）式可得：

所以

把c代入式（3）中得这就是一阶线性电路在任意激励作用下，决定电路全响应的一般公式.其中y(0+)、yp(t)、yp(0+)、τ分别代表响应的初始值、稳态值、稳态初始值和电路的时间常数，而y(0+)、yp(t)、τ称为一阶电路的“三要素”，只要求得了这三个要素，就可以根据式(4)直接写出电路全响应的函数式.

对阶跃激励而言有

式（4）变为

上式即为一阶线性电路在阶跃激励作用下全响应的“三要素法”的一般公式.

另外，在一阶电路中，任一响应的初始值都可以通过初始值等效电路来求得.通过求解一阶电路中电容(或电感)元件以外线性电路的戴维南或诺顿等效电路，总可以找到一个等效电阻R，从而算出电路的时间常数：

对RC电路：τ=RC

2.2 举例

如图示电路，设开关S动作前电路已处于稳态，在t≥0时，开关由a扳向b，下面分析电路中的电流i和iL随时间变化的规律：

计算初始值，由换路定理有：

应用基尔霍夫定律，在t=0+时的电路方程为：

解得：i(0+)=0.2A i1(0+)=1.4A

计算稳态值：由电路可得：

计算时间常数：

电感两端的等效电阻为

时间常数为

根据三要素法则可得到：

由上例可见，用三要素法计算一阶电路的完全解，简便易算，可以避开高等数学，很适合不具备高等数学基础的人使用.

3 一阶电路的拉普拉斯变换分析法

3.1 在复频域中电阻、电容、电感、电源的等效模型

3.1.1 电阻

由于：u(t)=Ri(t)

两边取拉普拉斯变换

则有：

U(S)=RI(S)则电阻的等效模型如上图所示.

3.1.2 电容

对于电容有：

两边取拉普拉斯变换则有：

3.1.3 电感

对于电感有：

两边取拉普拉斯变换有：

U(S)=SLI(S)-Li(0-)故电感在复频域可等效为一电源与复阻抗的串联.

3.1.4 电源

两边取拉普拉斯变换有：

3.2 一阶电路拉普拉斯变换分析法

对于电路首先从时域转换为复域的运算电路，计算出对应在复域中的电流或电压，再应用拉普拉斯反变换，计算出在时域下的电流或电压.下面通过一具体的实例加以介绍：

在右图所示的电路中，开关S在t=0时由1位置合到2位置，设开关动作前电路已处于稳态，下面讨论i和uC随时间变化的规律.

开关动作前对于电容：

在t≥0时电路在复频域中的等效图为：电流I (S)和UC(S)的大小为：

对I(S)和UC(S)进行拉普拉斯反变换有：

通过以上的分析过程可知，利用拉普拉斯变换分析可将复杂的高等数学运算中的微分方程转化为初等数学运算，从而将计算难度大大降低.利用拉普拉斯变换不仅可以分析一阶电路，也可用来分析二阶电路.

〔1〕贺洪江,等.电路基础[M].北京：高等教育出版社, 2004.

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1673-260X（2014）06-0012-03