一类非线性系统的周期扰动Hopf分支

殷红燕

(中南民族大学数学与统计学学院,湖北武汉430074)

一类非线性系统的周期扰动Hopf分支

殷红燕

(中南民族大学数学与统计学学院,湖北武汉430074)

研究了小周期扰动对一类存在Hopf分支的非线性系统的影响.特别是应用平均法讨论了扰动频率与Hopf分支固有频率在共振及二阶次调和共振的情形周期解分支的存在性.表明了在某些参数区域内,系统存在调和解分支和次调和解分支,并进一步讨论了二阶次调和分支周期解的稳定性.

Hopf分支;平均法;调和解分支;次调和解分支;稳定性

1 引言

周期扰动分支所考虑的问题是:当一个非线性动力系统正在经历着某种分支状态时,给它加上小周期扰动,研究其变化情况.其中周期扰动Hopf分支尤为引起人们的兴趣.文献[1-3]主要应用多重尺度法研究了周期扰动对一个分支系统的影响,文献[4]用更替法对此类问题进行了研究.文献[5]使用规范型及平均法研究了周期扰动Hopf分支问题的首次分支与二次分支现象.平均法是研究含小参数周期系统解的性质的一种比较方便简捷的方法,此方法不仅用于研究常微分方程的周期扰动Hopf分支,还可用来研究滞后型泛函微分方程,相关结果可见文献[6-7].本文主要使用平均法对常微分方程中的一类非线性系统的周期扰动Hopf分支情况进行研究,详细给出了分支周期解存在的参数区域,并表明在不同的参数范围内存在的周期解的个数是不同的.

所研究的系统为:

和

这里µ是分支参数,ε,a,b是实的参数,并且0<ε≪1,进一步,引进一个去谐参数η,它由等式Ω=ω(1−η)所定义.

当ε=0时,系统(1)和(2)为:

当µ=0时,系统(3)以(0,0)为唯一的平衡点,平衡点是中心型的,且容易验证此平衡点是稳定的,当µ>0时,系统(3)以(0,0)为不稳定焦点.因此,当ε=0时,系统(1)和(2)在µ=0时存在Hopf分支,且分支发生在µ>0方向(上临界),并且分支周期解是稳定的.

在第二节中,研究系统(1)在ε/=0的情形.主要讨论周期扰动频率Ω接近于临界固有Hopf分支频率ω0的情形.表明在某些参数范围内,系统(1)存在调和解分支,并且随着参数的变化,分支周期解的个数也会发生变化.

在第三节中,讨论系统(2)在ε/=0的情形.主要讨论周期扰动频率Ω接近于临界固有Hopf分支频率ω0在二阶次调和共振的情形.表明在某些参数范围内,系统(2)存在次调和解分支,并且讨论了次调和解的稳定性.

2 调和解分支

首先,对系统(1)进行尺度变换,令

则系统(1)化为:

再引入新的时间变量τ=Ωt,做变换

下面讨论k=1的情形(共振情形),忽略O(ε2)项,对(5)式进行积分平均得到:

由平均定理[8],系统(6)的非平凡常数解对应于系统(4)的周期解.在系统(6)中令解得r所满足的方程为:

1.当µ2−32≤0时,对任意b2>0,方程只有一个正实根(包含有三重根情形).

2.当µ2−32>0,µ>0时,若b2∈C0,则方程(7)恰有三个正实根;若b2∈∂C,则方程(7)恰有两个正实根(其中有一个是二重根);若b2∈CC,则方程(7)只有一个正实根.这里C={x∈R|0

这样就得到了:

定理2.1若系统(1)的参数µ>0,且那么当ε充分小时系统(1)存在调和解分支,而且调和解的个数随着参数b的变化而不同.

3 次调和解分支和稳定性

对系统(2)进行尺度变换,令

则系统(2)化为:

由方程(10)可看出其正根的分布情况:

1.当时,方程(10)有两个正实根,从方程(10)中可求得这两个正实根为:

2.当时,方程(10)只有一个正根,取(11)式中符号为正的.

下面来考虑非平凡解的稳定性.令r=r0+ν1,ϕ=ϕ0+ν2,得到关于非平凡解的线性变分

方程为:

设方程(12)有形如exp(ρετ/ω)的解,那么ρ所满足的特征方程为:

容易看出,当条件P(1)成立时,系统(9)的两个非平凡解中,

是稳定的,而

是不稳定的.当条件P(2)成立时,若a>0,则系统(9)唯一的非平凡解为此解是稳定的;若a<0,则系统(9)唯一的非平凡解为此解是不稳定的.于是得到如下结论:

定理3.1若系统(2)的参数µ>0,且µ=O(ε),η=O(ε),那么当ε充分小时系统(2)存在二阶次调和解.且当条件P(1)成立时,系统(2)存在两个次调和解,其中一个为稳定的,一个为不稳定的.当条件P(2)成立时,若a>0,则系统(2)存在唯一的稳定的次调和解;若a<0,则系统(2)存在唯一的不稳定的次调和解.

参考文献

[1]Rosenblat S,Cohen D S.Periodically perturbed bifurcation.I.Simple bifurcation[J].Stud.Appl.Math., 1980,63:1-23.

[2]Rosenblat S,Cohen D S.Periodically perturbed bifurcation.II.Hopf bifurcation[J].Stud.Appl.Math., 1981,64:143-175.

[3]Kath W L.Resonance in periodically perturbed Hopf bifurcation[J].Stud.Appl.Math.,1981,65:95-112.

[4]Bajaj A K.Resonant parametric perturbations of the Hopf bifurcation[J].J.Math.Anal.Appl.,1986, 115:214-224.

[5]Namachchivaya N S,Ariaratnam S T.Periodically perturbed Hopf bifurcation[J].Siam.J.Appl.Math., 1987,47:15-39.

[6]殷红燕,陈作清,胡智全.周期扰动对具有限时滞Lienard方程的Hopf分支的影响[J].华中师范大学学报:自然科学版,2010,44(3):361-364.

[7]吕堂红,周林华.一类物价瑞利模型在小周期扰动下的Hopf分支[J].扬州大学学报:自然科学版,2012, 15(4):20-24.

[8]韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京:科学出版社,2002.

Periodically perturbed Hopf bifurcation of a kind of nonlinear systems

Yin Hongyan
(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities, Wuhan430074,China)

The in fl uence of small periodic perturbations on a kind of nonlinear systems exhibiting Hopf bifurcation is studied.In particular,we discuss the existence of bifurcating periodic solutions in the case that the excitation frequency and the critical natural frequency of Hopf bifurcation is resonance and subharmonic resonance.In this work,the ideas related method of averaging.It is shown that in some parameter regions the systems exhibit harmonic solution bifurcation and subharmonic solution bifurcation.Furthermore,the stability of subharmonic solutions is discussed.

Hopf bifurcation,method of averaging,harmonic solution bifurcation, subharmonic solution bifurcation,stability

O175

A

1008-5513(2014)03-0240-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.004

2014-02-28.

中央高校基本科研业务费专项资金(CZQ13016).

殷红燕(1978-),硕士,讲师,研究方向：微分方程定性理论.

2010 MSC:34C23