运算律教学因数形结合而绽放光彩

陈芹

摘 要：数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数学结合的思想方法在应用上包含“以形助数”和“以数解形”两方面，本文主要从“以形助数”入手，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，以及数形结合的妙处。

关键词：数形结合；运算律；数学学习

数学课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在数学世界，有四大基本思想：函数、转化与化归、分类讨论和数形结合。数与形是现实世界客观事物的抽象与反映，同时是数学的基石，在小学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合思想，由此可见其重要性。数形结合是根据数量与图形之间的关系，通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而解决数学问题的一种重要的思想方法。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常利用图形的直观性帮助解决某些数学问题。

一个人学习数学，不只是为了“记住”数学，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，体会到数学学习的成功与快乐。

【教学片段——加法运算律】

讲“朝三暮四”的故事，引出3+4=4+3，让学生经历猜测—验证—结论的过程，经过学生的不完全归纳，得出加法交换律。但要说，更有说服力的线段图起了很重要的作用，让学生经历从不完全归纳到完全归纳的数学思想方法。

■

a+b=b+a代表无数算式，完全归纳了加法交换律。

同理，加法结合律和减法的性质也可以用线段图表示：

加法结合律：

■

a+b+c=b+c+a=a+c+b

减法的性质：

■

c-a-b=c-(a+b)

【乘法分配律教学探讨】

乘法分配律是重要的数学模型，在小学阶段的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就稀里糊涂，弄不明白乘法分配律这种形式上的变化；有些学生虽然能在课堂上机械地模仿，但遗忘地很快，更谈不上自觉和灵活地运用……许多教师一说到这一内容的教学纷纷抱怨：既让学生举例验证了，也让学生抽象概括了，学生也经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？

笔者认为，最主要的原因是教师在教学时只重视引导学生对规律的外在格式进行研究，忽视了对规律、算理的本质进行探究，导致学生对规律的本质体验得不到位，感悟得不够深。教师要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。

一、充分借助主题图

心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买3件上衣和3条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。

情景设计：

学校购买校服。每件■35元，每条■25元。买这样3套校服，一共要多少元？■

分开算：上衣的价钱+裤子的价钱=校服的总价钱

横着看35×3+25×33个35+3个25

配套算：一套的价钱×套数=校服的总价钱

竖着看（35+25）×3 3个（35+25）

从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买3件上衣与3条裤子一共要付多少元，即3个35与3个25的和一共是多少，所以（35+25）×3=35×3+25×3，从而从根本上进一步说明了算理。

二、巧妙运用数形图

在教学中，许多教师都让学生列举了大量体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为，仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，教师可以引导学生借助数形图进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：

75 75 75 75 75 75………6个75的和

25 25 25 25 25 25………6个25的和

“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。

上衣a元，裤子b元，买了c套。根据图形得到乘法分配律的字母表达式

■

对于（a+b）×c=a×c+b×c，“分”别算（横看），列式为：a×c+b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c=a×c+b×c。

这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。

三、适当探究拓展式

学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c=a×c+b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。

拓展：

（1）上衣比裤子贵多少元？可以得到乘法对减法的分配律。

（2）上衣、裤子、裙子三件套一共多少元？可以拓展到三个数相加或更多数相加的形式。

生活中寻找乘法分配律的影子

1.王师傅在给墙壁贴瓷砖（如图），他一共贴好了几块瓷砖呢？

分开算：黑色的+白色的=瓷砖总数

4×3+6×34个3+6个3

合起来算：一行的×3行=瓷砖总数

（4+6）×33个（4+6）

（4+6）×3=4×3+6×3

2.有两块宽都是4厘米，长分别是10厘米和6厘米的长方形，如果把他们合在一起组成一个大长方形，求大长方形的面积是多少。

进入高年级，学生在计算公式的推导方面对于乘法分配律的应用也很广泛，例如梯形面积、圆面积计算公式推导、环形面积问题的解决等对其也有涉及。数形结合也是数学课堂中的一大功臣。

■

除法的性质：

■

重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。

摘 要：数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数学结合的思想方法在应用上包含“以形助数”和“以数解形”两方面，本文主要从“以形助数”入手，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，以及数形结合的妙处。

关键词：数形结合；运算律；数学学习

数学课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在数学世界，有四大基本思想：函数、转化与化归、分类讨论和数形结合。数与形是现实世界客观事物的抽象与反映，同时是数学的基石，在小学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合思想，由此可见其重要性。数形结合是根据数量与图形之间的关系，通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而解决数学问题的一种重要的思想方法。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常利用图形的直观性帮助解决某些数学问题。

一个人学习数学，不只是为了“记住”数学，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，体会到数学学习的成功与快乐。

【教学片段——加法运算律】

讲“朝三暮四”的故事，引出3+4=4+3，让学生经历猜测—验证—结论的过程，经过学生的不完全归纳，得出加法交换律。但要说，更有说服力的线段图起了很重要的作用，让学生经历从不完全归纳到完全归纳的数学思想方法。

■

a+b=b+a代表无数算式，完全归纳了加法交换律。

同理，加法结合律和减法的性质也可以用线段图表示：

加法结合律：

■

a+b+c=b+c+a=a+c+b

减法的性质：

■

c-a-b=c-(a+b)

【乘法分配律教学探讨】

乘法分配律是重要的数学模型，在小学阶段的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就稀里糊涂，弄不明白乘法分配律这种形式上的变化；有些学生虽然能在课堂上机械地模仿，但遗忘地很快，更谈不上自觉和灵活地运用……许多教师一说到这一内容的教学纷纷抱怨：既让学生举例验证了，也让学生抽象概括了，学生也经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？

笔者认为，最主要的原因是教师在教学时只重视引导学生对规律的外在格式进行研究，忽视了对规律、算理的本质进行探究，导致学生对规律的本质体验得不到位，感悟得不够深。教师要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。

一、充分借助主题图

心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买3件上衣和3条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。

情景设计：

学校购买校服。每件■35元，每条■25元。买这样3套校服，一共要多少元？■

分开算：上衣的价钱+裤子的价钱=校服的总价钱

横着看35×3+25×33个35+3个25

配套算：一套的价钱×套数=校服的总价钱

竖着看（35+25）×3 3个（35+25）

从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买3件上衣与3条裤子一共要付多少元，即3个35与3个25的和一共是多少，所以（35+25）×3=35×3+25×3，从而从根本上进一步说明了算理。

二、巧妙运用数形图

在教学中，许多教师都让学生列举了大量体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为，仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，教师可以引导学生借助数形图进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：

75 75 75 75 75 75………6个75的和

25 25 25 25 25 25………6个25的和

“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。

上衣a元，裤子b元，买了c套。根据图形得到乘法分配律的字母表达式

■

对于（a+b）×c=a×c+b×c，“分”别算（横看），列式为：a×c+b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c=a×c+b×c。

这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。

三、适当探究拓展式

学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c=a×c+b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。

拓展：

（1）上衣比裤子贵多少元？可以得到乘法对减法的分配律。

（2）上衣、裤子、裙子三件套一共多少元？可以拓展到三个数相加或更多数相加的形式。

生活中寻找乘法分配律的影子

1.王师傅在给墙壁贴瓷砖（如图），他一共贴好了几块瓷砖呢？

分开算：黑色的+白色的=瓷砖总数

4×3+6×34个3+6个3

合起来算：一行的×3行=瓷砖总数

（4+6）×33个（4+6）

（4+6）×3=4×3+6×3

2.有两块宽都是4厘米，长分别是10厘米和6厘米的长方形，如果把他们合在一起组成一个大长方形，求大长方形的面积是多少。

进入高年级，学生在计算公式的推导方面对于乘法分配律的应用也很广泛，例如梯形面积、圆面积计算公式推导、环形面积问题的解决等对其也有涉及。数形结合也是数学课堂中的一大功臣。

■

除法的性质：

■

重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。

摘 要：数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数学结合的思想方法在应用上包含“以形助数”和“以数解形”两方面，本文主要从“以形助数”入手，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，以及数形结合的妙处。

关键词：数形结合；运算律；数学学习

数学课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。在数学世界，有四大基本思想：函数、转化与化归、分类讨论和数形结合。数与形是现实世界客观事物的抽象与反映，同时是数学的基石，在小学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合思想，由此可见其重要性。数形结合是根据数量与图形之间的关系，通过“以形助数，以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而解决数学问题的一种重要的思想方法。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常利用图形的直观性帮助解决某些数学问题。

一个人学习数学，不只是为了“记住”数学，更重要的是在学习数学的过程中领悟数学的思想和方法，体会到数学学习的成功与快乐。

【教学片段——加法运算律】

讲“朝三暮四”的故事，引出3+4=4+3，让学生经历猜测—验证—结论的过程，经过学生的不完全归纳，得出加法交换律。但要说，更有说服力的线段图起了很重要的作用，让学生经历从不完全归纳到完全归纳的数学思想方法。

■

a+b=b+a代表无数算式，完全归纳了加法交换律。

同理，加法结合律和减法的性质也可以用线段图表示：

加法结合律：

■

a+b+c=b+c+a=a+c+b

减法的性质：

■

c-a-b=c-(a+b)

【乘法分配律教学探讨】

乘法分配律是重要的数学模型，在小学阶段的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就稀里糊涂，弄不明白乘法分配律这种形式上的变化；有些学生虽然能在课堂上机械地模仿，但遗忘地很快，更谈不上自觉和灵活地运用……许多教师一说到这一内容的教学纷纷抱怨：既让学生举例验证了，也让学生抽象概括了，学生也经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？

笔者认为，最主要的原因是教师在教学时只重视引导学生对规律的外在格式进行研究，忽视了对规律、算理的本质进行探究，导致学生对规律的本质体验得不到位，感悟得不够深。教师要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。

一、充分借助主题图

心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买3件上衣和3条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。

情景设计：

学校购买校服。每件■35元，每条■25元。买这样3套校服，一共要多少元？■

分开算：上衣的价钱+裤子的价钱=校服的总价钱

横着看35×3+25×33个35+3个25

配套算：一套的价钱×套数=校服的总价钱

竖着看（35+25）×3 3个（35+25）

从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买3件上衣与3条裤子一共要付多少元，即3个35与3个25的和一共是多少，所以（35+25）×3=35×3+25×3，从而从根本上进一步说明了算理。

二、巧妙运用数形图

在教学中，许多教师都让学生列举了大量体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为，仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，教师可以引导学生借助数形图进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：

75 75 75 75 75 75………6个75的和

25 25 25 25 25 25………6个25的和

“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。

上衣a元，裤子b元，买了c套。根据图形得到乘法分配律的字母表达式

■

对于（a+b）×c=a×c+b×c，“分”别算（横看），列式为：a×c+b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c=a×c+b×c。

这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。

三、适当探究拓展式

学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c=a×c+b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。

拓展：

（1）上衣比裤子贵多少元？可以得到乘法对减法的分配律。

（2）上衣、裤子、裙子三件套一共多少元？可以拓展到三个数相加或更多数相加的形式。

生活中寻找乘法分配律的影子

1.王师傅在给墙壁贴瓷砖（如图），他一共贴好了几块瓷砖呢？

分开算：黑色的+白色的=瓷砖总数

4×3+6×34个3+6个3

合起来算：一行的×3行=瓷砖总数

（4+6）×33个（4+6）

（4+6）×3=4×3+6×3

2.有两块宽都是4厘米，长分别是10厘米和6厘米的长方形，如果把他们合在一起组成一个大长方形，求大长方形的面积是多少。

进入高年级，学生在计算公式的推导方面对于乘法分配律的应用也很广泛，例如梯形面积、圆面积计算公式推导、环形面积问题的解决等对其也有涉及。数形结合也是数学课堂中的一大功臣。

■

除法的性质：

■

重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利、高效率地学好数学知识，更利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。