浅谈集合在概率中的应用

徐法增

摘 要：集合思想和集合语言已渗透到数学的各个领域。中学数学人教B版实验教材处理概率内容的指导思想就是建立集合与概率的联系，使用集合语言和集合运算较精确地叙述概率的有关概念。运用集合语言和运算来表述概率中的几个基本概念和一些事件，并把概率和集合的性质进行对比，从集合的角度来处理概率问题，从而进一步说明集合思想在概率中的应用。

关键词：集合；概率；联系；应用

数学是一门非常迷人的学科，久远的历史、勃勃的生机使她发展成为一棵枝繁叶茂的参天大树。人们不禁要问：这棵大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，数学家们提出了集合论。可以认为，数学的所有内容都是建立在集合的基础之上的。

在中学阶段，由于众多的数学内容可以用集合思想来描述，因而不仅为理解与分析数学问题开辟了新的途径，而且使许多表面上孤立、零乱的数学知识在本质上得到了统一，这对于掌握数学的真谛无疑大有裨益。人教B版实验教材在处理概率内容时，其指导思想就是建立集合与概率的联系，使用集合语言和集合运算较精确地叙述概率的有关概念。下面谈一下笔者对集合思想在概率中应用的看法。

一、用集合语言和运算来表述概率事件和公式

1.基本事件空间

在一次试验中，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写希腊字母?赘表示。这里的基本事件空间类似于集合中的全集，每一个基本事件都是基本事件空间的元素，随机事件是基本事件空间的子集。这样就可以用维恩图的方法来表示随机事件之间的关系，并且我们知道基本事件空间容量为n的实验能够发生的事件应为2n-1，从集合的角度讲就是基本时间空间这一集合的真子集个数。

2.两个事件的并与交

（1）两个事件的并。由事件和A至B少有一个发生（即A发生，或B发生，或A，B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作C=A∪B，事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合。因此A?哿A∪B,B?哿A∪B且P(A)≤P(A∪B)，P(B)≤P(A∪B)，P(A∪B)≤P(A)+P(B).

（2）两个事件的交。由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交（或积），记作D=A∩B（或D=AB），事件A∩B是由事件A和B所共同含有的基本事件组成的集合。因此有：A?勐A∩B,B?勐A∩B且P(A)≥P(A∩B),P(B)≥P(A∩B)，P（A∩B）≤P（A）+P（B）.当A，B是相互独立事件时，有P(A∩B)＝P(A)×P(B).

（3）与集合类比。两个事件的并与交其实质就是两事件对应集合的并集与交集，所以无论从定义、表示、性质上都与两集合的并集与交集类似。这样就可以借助于集合的运算来表示和理解两事件的并与交。

（4）概率的一般加法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).从集合的观点来看，概率的一般加法公式对应关于集合元素个数的容斥定理：card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B)-cardP(A∩B)，它们的形式完全一致，可对比记忆和理解。

3.互斥事件

（1）互斥事件。不可能同时发生的两个事件叫互斥事件（或称互不相容事件）。若A,B是互斥事件，从集合的角度看，是指由各个事件所含的结果组成的集合互不相交，即有A∩B=?覫，从而得互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；而对于两个有限集合A,B来说，若A∩B=?覫，有card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B).

（2）对立事件。不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件的对立事件记作A，从集合的角度看，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。因此有A∪A=?赘，A∩A=?覫，且P(A∪A)=P(?赘)=P(A)+P(A)=1，从而得到P(A)=1-P(A)。这个公式为求P(A)提供了另外一种方法，当我们直接求P（A）有困难时，可转化为求P(A)。这实际是集合中补集思想的应用。

（3）古典概型。对于古典概型，如果试验有个两两互斥的基本事件，而随机事件A包含的基本事件数为m。设此试验的基本事件空间为?赘，则A?哿?赘，card(?赘)=n,card(A)=m，所以P(A)=■=■，即事件A的概率是子集A的元素个数与全集?赘的元素个数的比值。

4.条件概率

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫条件概率，用符号P(B|A)来表示。P(B|A)=■，P(A)>0.

若此试验为古典概型，基本事件空间为?赘，则A?哿?赘,B?哿?赘,P(A)=■,P(A∩B)=■.从而有P(B|A)=■=■，即此时事件B发生的条件概率就是A∩B的元素个数与A的元素个数之比。

5.几何概型

几何概型中事件A理解为?赘区域的某一子区域A，实际上就是A?哿?赘.

二、借助集合思想来处理概率问题

通过以上的叙述和对比，我们发现概率与集合有着千丝万缕的联系，可以借助于集合知识来理解概率内容，也可运用集合思想来解决概率问题。

例1：掷一颗骰子，观察掷出的点数。（1）写出这个试验的基本事件空间；（2）写出“掷出偶出点”这一随机事件对应的集合A；（3）求掷得奇数点的概率。

略解：（1）?赘={1,2,3,4,5,6};（2）A={2,4,6}；（3）事件B=“掷得奇数点”={1,3,5}，所以=P(B)=■=■=■.

例2：在一段线路中并联着三个独立自动控制的单开开关，只要其中有一个开关闭合，线路就正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指三个开关中至少有一个闭合，这可以包括恰有其中某一个开关闭合、恰有其中某两个开关闭合和恰好三个开关都闭合共七种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦。为此，我们转而先求三个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件——三个开关中至少有一个能够闭合的概率。由于这段时间内三个开关是否能够闭合相互之间没有影响，可根据相互独立事件的概率乘法公式来求解。这里也可体会到用补集的思想处理问题，可使问题的解答变得简便。

解：分别记这段时间内三个开关能够闭合为事件A,B,C。根据题意，A,B,C相互独立，所以这段时间内至少有一个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是：P(A∪B∪C)=1-P(A∪B∪C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.73)=0.973.

例3：设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？

解：设A=“能活到20岁”，B=“能活到25岁”，则P(A)=0.8,P(B)=0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B?哿A，故A∩B=B，于是P(B|A)=■=■=■=0.5.所以这个动物能活到25岁的概率是0.5。

说明：以上题目的解决中，借助了集合的思想及表示，使问题的解决更简单、明了。特别是例3中求P(A∩B)，题目中未明确给出，是通过分析集合A,B之间的包含关系，利用交集的性质得出的。

使用集合语言，能简洁、准确地表达数学内容，发展学生运用数学语言进行交流的能力。所以在概率的教学中，我们应努力贯彻本章的指导思想，讲授概率内容前可先布置学生自己复习、回顾集合的知识，平时教学时多让学生把集合与概率进行对比，多应用维恩图来表示事件之间的关系，通过数形结合变抽象为具体，多用集合语言和集合运算来表述概率事件，多从集合的角度来考虑概率问题。相信通过师生共同努力，能让学生明确集合与概率的联系，借助于集合的知识更深刻地理解概率。