三点共线向量式及应用

于淼

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4（人教B版）第97页以例题的形式给出了三点共线向量式：

例题 已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点。求证：对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为并且满足式的点P一定在l上。

为了方便学生记忆和运用，常将上述内容改写为：

一、应用于平面几何求值问题

为了使用第二组共线关系，在①式左右两端同时替换得：

二、应用于立体几何证明问题

（1）证明：PQ∥平面BCD；

分析：本题（1）是一道典型的立体几何问题转化为平面几何证明，笔者尝试用三点共线向量式来求解，过程较为简洁，不妨作为一种解法来储备。

从而PQ∥CN，又PQ？埭平面BCD，CN？奂平面BCD，

所以PQ∥平面BCD。

三、应用于扇形中的最值问题

参考文献：

[1]胡良星.三点共线的向量表示及其应用[J].中学数学研究，2011（6）：35-36.

[2]吴成强.三点共线向量式的巧妙运用[J].中学数学教学，2010（5）：42-45.

（作者单位 辽宁省大连市第十六中学）endprint

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4（人教B版）第97页以例题的形式给出了三点共线向量式：

例题 已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点。求证：对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为并且满足式的点P一定在l上。

为了方便学生记忆和运用，常将上述内容改写为：

一、应用于平面几何求值问题

为了使用第二组共线关系，在①式左右两端同时替换得：

二、应用于立体几何证明问题

（1）证明：PQ∥平面BCD；

分析：本题（1）是一道典型的立体几何问题转化为平面几何证明，笔者尝试用三点共线向量式来求解，过程较为简洁，不妨作为一种解法来储备。

从而PQ∥CN，又PQ？埭平面BCD，CN？奂平面BCD，

所以PQ∥平面BCD。

三、应用于扇形中的最值问题

参考文献：

[1]胡良星.三点共线的向量表示及其应用[J].中学数学研究，2011（6）：35-36.

[2]吴成强.三点共线向量式的巧妙运用[J].中学数学教学，2010（5）：42-45.

（作者单位 辽宁省大连市第十六中学）endprint

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4（人教B版）第97页以例题的形式给出了三点共线向量式：

例题 已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点。求证：对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为并且满足式的点P一定在l上。

为了方便学生记忆和运用，常将上述内容改写为：

一、应用于平面几何求值问题

为了使用第二组共线关系，在①式左右两端同时替换得：

二、应用于立体几何证明问题

（1）证明：PQ∥平面BCD；

分析：本题（1）是一道典型的立体几何问题转化为平面几何证明，笔者尝试用三点共线向量式来求解，过程较为简洁，不妨作为一种解法来储备。

从而PQ∥CN，又PQ？埭平面BCD，CN？奂平面BCD，

所以PQ∥平面BCD。

三、应用于扇形中的最值问题

参考文献：

[1]胡良星.三点共线的向量表示及其应用[J].中学数学研究，2011（6）：35-36.

[2]吴成强.三点共线向量式的巧妙运用[J].中学数学教学，2010（5）：42-45.

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