从一道求最值的题目看高三数学课堂

范欣

高三第一轮复习的主要目的是巩固学生基础，帮助学生回忆所学知识内容，在题目的处理上切合学生实际，主要以简单题和中档题为主。对于基本不等式这部分内容，高考命题重点考查基本不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题.但是学生对基本不等式求最值的应用普遍掌握得不太好，很多题目难以上手。课堂上，面对一道求最值的问题，如何启发学生的思维显得尤为重要。以今天课堂上的一道题目为例：

题目：已知x>0，y>0且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为 。

题目出示之后，先让学生思考，因为本节复习内容是基本不等式，学生自然会想到用基本不等式求解.利用基本不等式求解的三个前提条件是“正”“定”“等”，这是经常加以强调的，“正”首先可以满足，但是定值的寻找就要好好思考了，这往往是考查的难点。我的想法是“配凑”，即要通过一定的变形来寻找定值，如果拼凑不成功的话，基本不等式是不能使用的.在给出了一定的提示之后，五分钟学生思考时间。令我意外的是，学生给出了至少三种解法，有些是我都没有想到的，因此让我看到了学生潜在的思维能力。

总结：这种解法的第一步比较容易想，直接用基本不等式，巧妙之处在于换元之后变成了二次函数求最值的问题，转化成求出2xy的最大值，从而有和为定值，求出了x+2y的最大值.

总结：这种解法学生的想法是二元的基本不等式不如一元的容易凑出定值来，于是想到了根据条件的定值，转化成一元的问题，最后一步用到了配凑定值的方法，而这种方法是之前在基本不等式的证明中常用的，学生掌握的比较好.值得注意的是，每一次用基本不等式求最值都要想到三个必须满足的条件。

总结：这种方法在第一步就用到了配凑，原因是想对题目条件的定值直接应用，但如何能凑出x+2y+2xy呢？于是想到给x和2y分别加1再相乘，这种方法不容易想到，因为直接的配凑需要学生对题目条件有个更深刻的认识，从而“挖掘”出需要配凑的元素。

这一节课很充实，特别是这道题学生给出的多种解法，让我看到了学生在这部分内容上所呈现出的思维的广泛性。作为一名高三的数学教师，在给学生进行知识系统复习的时候，绝对不能单纯的就题论题，而是希望从一道题总结出思维的方法，尤其是启发学生的思维.基本不等式的考查本来就很灵活，只要能够抓住求解题目的关键点——“定值”，就能够找到问题的突破口，进而有效地掌握这一求最值的数学方法。

（作者单位 陕西省西安中学）endprint

高三第一轮复习的主要目的是巩固学生基础，帮助学生回忆所学知识内容，在题目的处理上切合学生实际，主要以简单题和中档题为主。对于基本不等式这部分内容，高考命题重点考查基本不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题.但是学生对基本不等式求最值的应用普遍掌握得不太好，很多题目难以上手。课堂上，面对一道求最值的问题，如何启发学生的思维显得尤为重要。以今天课堂上的一道题目为例：

题目：已知x>0，y>0且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为 。

题目出示之后，先让学生思考，因为本节复习内容是基本不等式，学生自然会想到用基本不等式求解.利用基本不等式求解的三个前提条件是“正”“定”“等”，这是经常加以强调的，“正”首先可以满足，但是定值的寻找就要好好思考了，这往往是考查的难点。我的想法是“配凑”，即要通过一定的变形来寻找定值，如果拼凑不成功的话，基本不等式是不能使用的.在给出了一定的提示之后，五分钟学生思考时间。令我意外的是，学生给出了至少三种解法，有些是我都没有想到的，因此让我看到了学生潜在的思维能力。

总结：这种解法的第一步比较容易想，直接用基本不等式，巧妙之处在于换元之后变成了二次函数求最值的问题，转化成求出2xy的最大值，从而有和为定值，求出了x+2y的最大值.

总结：这种解法学生的想法是二元的基本不等式不如一元的容易凑出定值来，于是想到了根据条件的定值，转化成一元的问题，最后一步用到了配凑定值的方法，而这种方法是之前在基本不等式的证明中常用的，学生掌握的比较好.值得注意的是，每一次用基本不等式求最值都要想到三个必须满足的条件。

总结：这种方法在第一步就用到了配凑，原因是想对题目条件的定值直接应用，但如何能凑出x+2y+2xy呢？于是想到给x和2y分别加1再相乘，这种方法不容易想到，因为直接的配凑需要学生对题目条件有个更深刻的认识，从而“挖掘”出需要配凑的元素。

这一节课很充实，特别是这道题学生给出的多种解法，让我看到了学生在这部分内容上所呈现出的思维的广泛性。作为一名高三的数学教师，在给学生进行知识系统复习的时候，绝对不能单纯的就题论题，而是希望从一道题总结出思维的方法，尤其是启发学生的思维.基本不等式的考查本来就很灵活，只要能够抓住求解题目的关键点——“定值”，就能够找到问题的突破口，进而有效地掌握这一求最值的数学方法。

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高三第一轮复习的主要目的是巩固学生基础，帮助学生回忆所学知识内容，在题目的处理上切合学生实际，主要以简单题和中档题为主。对于基本不等式这部分内容，高考命题重点考查基本不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题.但是学生对基本不等式求最值的应用普遍掌握得不太好，很多题目难以上手。课堂上，面对一道求最值的问题，如何启发学生的思维显得尤为重要。以今天课堂上的一道题目为例：

题目：已知x>0，y>0且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为 。

题目出示之后，先让学生思考，因为本节复习内容是基本不等式，学生自然会想到用基本不等式求解.利用基本不等式求解的三个前提条件是“正”“定”“等”，这是经常加以强调的，“正”首先可以满足，但是定值的寻找就要好好思考了，这往往是考查的难点。我的想法是“配凑”，即要通过一定的变形来寻找定值，如果拼凑不成功的话，基本不等式是不能使用的.在给出了一定的提示之后，五分钟学生思考时间。令我意外的是，学生给出了至少三种解法，有些是我都没有想到的，因此让我看到了学生潜在的思维能力。

总结：这种解法的第一步比较容易想，直接用基本不等式，巧妙之处在于换元之后变成了二次函数求最值的问题，转化成求出2xy的最大值，从而有和为定值，求出了x+2y的最大值.

总结：这种解法学生的想法是二元的基本不等式不如一元的容易凑出定值来，于是想到了根据条件的定值，转化成一元的问题，最后一步用到了配凑定值的方法，而这种方法是之前在基本不等式的证明中常用的，学生掌握的比较好.值得注意的是，每一次用基本不等式求最值都要想到三个必须满足的条件。

总结：这种方法在第一步就用到了配凑，原因是想对题目条件的定值直接应用，但如何能凑出x+2y+2xy呢？于是想到给x和2y分别加1再相乘，这种方法不容易想到，因为直接的配凑需要学生对题目条件有个更深刻的认识，从而“挖掘”出需要配凑的元素。

这一节课很充实，特别是这道题学生给出的多种解法，让我看到了学生在这部分内容上所呈现出的思维的广泛性。作为一名高三的数学教师，在给学生进行知识系统复习的时候，绝对不能单纯的就题论题，而是希望从一道题总结出思维的方法，尤其是启发学生的思维.基本不等式的考查本来就很灵活，只要能够抓住求解题目的关键点——“定值”，就能够找到问题的突破口，进而有效地掌握这一求最值的数学方法。

（作者单位 陕西省西安中学）endprint