由课本上的一道例题所引出的变式训练

刘学军

摘 要：数学课堂的关键是要揭示数学思维活动的全过程，正确、巧妙地使用变式训练，对于拓宽学生思维视野，激发学习兴趣，提高数学能力是非常有效的教学策略。特别是一些典型例题的教学，用好变式训练，对于那些重要的数学概念、定理等的理解和应用可以收到事半功倍的效果。

关键词：课本；例题；变式

变式训练是课堂教学中最常见的一种训练方法，教师只要善于挖掘，就会发现课本上的很多问题，包括例题和习题都可以进行变式，这对于强化和巩固所学知识点常常会收到较好的效果。九年级数学上册《证明（三）》一章就有一道这样的例题，稍加拓展就能成为一道很好的变式训练题。

原题是：如图（图略），任意作一四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？并证明你的结论。该题是出现在三角形中位线性质定理之后的，所以只要老师稍加分析，中等以上水平的学生很快就会得到结论是平行四边形。当然，分析后教师要求学生很快写出证明过程，并加以讲评。这时，教师要注意把握好时机，趁热打铁乘势提出下面的问题：该题已知的是什么四边形？是用什么方法得到平行四边形的？那么，如果把任意四边形换成平行四边形，结果怎样呢？（变式1）问题提出后，由于学生有前一题的经验，顺着这一思路，同桌相互讨论，很快就会得出结论，仍是平行四边形，其证明思路与前一题完全相同。

接着，进行下一轮变式，如果改成矩形，结果怎样？（变式2）启发学生思考，矩形一个重要特征是两条对角线相等，所以得到的平行四边形邻边一定相等，那么一组邻边相等的平行四边形是什么特殊的四边形呢？是菱形。

变式3，如果将任意四边形改成菱形呢？这一问题有点难度，要充分考虑菱形的特征。菱形的对角线互相垂直，但不相等，所以顺次连接各边中点所得四边形的四边不可能相等，考虑菱形两条对角线互相垂直，所以得到的平行四边形有一个角一定是直角，故结果一定是矩形。这样的分析学生一定会豁然开朗，对矩形、菱形的特征有了进一步的理解。

变式4，如果将任意四边形换成正方形呢？正方形是最特殊的平行四边形，具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征，所以如果顺次连接各边中点所得四边形一定也很特殊，可以这样去思考：正方形对角线相等，所得四边形四边一定相等，是菱形；正方形对角线互相垂直，所得四边形定是矩形，故综合起来一定是正方形。分析到这里，学生对平行四边形有关定理一定有了全面的理解，特别对有关性质和判定方法一定会有一个全新的认识，从而激起学生对数学的兴趣，会觉得数学真是神奇，看似一道简单的题竟会变成这么多！正当学生惊讶于数学神奇时，教师又适时提出下面的变式，将他们的精力又带入另一轮研究之中。

变式5，将任意四边形改成等腰梯形，情况又怎样呢？这里同样提醒学生注意其对角线特征，等腰梯形的对角线相等，故所得四边形的四边一定相等，有了前面的分析所得，学生会很快得出结论，是菱形。

上面的变式训练后，学生对这方面的知识有了基本的理解，教师要及时引导学生进行必要的归纳和总结，让所学知识进一步升华到一定理论层面。可以设计下面的问题请学生思考：刚进行的变式训练中，已知四边形有哪些形状？结果都有哪几种？结论与已知之间有什么关系？学生如果回答有困难，教师不要急于告知，可以让学生之间相互讨论，注意观察他们的表现，特别要注意倾听他们的意见，然后再做必要的点拨。最后引导得出：顺次连接四边形各边中点所得四边形是什么形状，关键是看已知四边形对角线具有什么特征，大体可分四种情况：（1）当对角线不相等不垂直时，那么所得四边形一定是平行四边形；（2）当对角线相等但不垂直时，那么所得四边形一定是菱形；（3）当对角线垂直但不相等时，所得四边形一定是矩形；（4）当对角线垂直且相等时，那么所得四边形一定是正方形。至此，本节课的变式训练就达到了预定目的，相信大多数学生有了上面的变式训练，对平行四边形这一部分知识一定有了更深刻的理解。事实上，这节课的变式训练就是对平行四边形相关知识的一个全面复习。由此可见，变式训练用好了可以起到事半功倍的效果。

（作者单位 陕西省西乡县柳树镇民族学校）endprint