人教版七年级数学（上）常见的分类讨论

高学军

《义务教育数学课程标准》明确提出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在《义务教育数学课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。由于初一学生刚升入初中，受小学数学思维定式的影响，往往对分类讨论的问题容易出错，得出的答案不全，这就需要我们教师逐步渗透分类讨论思想。

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。分类讨论思想，贯穿于整個中学数学的全部内容中。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性和条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力。分类讨论一般应遵循同一性原则、相称性原则、互斥性原则、层次性原则。下面就七年级数学上册中引起分类讨论的一些常见情况作一归纳。

一、在定义中渗透分类思想

有些数学概念是分类定义的，例如，对有理数进行分类。将有理数按性质分为正有理数、零、负有理数，将有理数按定义分为整数、分数，让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏，标准不同则分类不同的基本原则，所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。再如，“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a<0三种情况考虑。在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括a>0，a=0，a<0时应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题。化简式子

二、在法则、定理、公式中体现分类讨论思想

两个有理数比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。

三、根据图形中位置的不同分类

在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大困难，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采取分而治之的方法来各个击破。比如在教学线段的相关计算时，学生对以下这类题特别容易出错，已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7 cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3 cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长。

解析：（1）点C在线段AB上：

（2）点C在线段AB的延长线上

再如角度的计算，在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

（1）射线OC在内；（2）射线OC在外。

在讲解时既渗透了分类讨论思想，又渗透了数形结合思想，一

举两得。

四、根据条件的不确定性分类

有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。例如，甲、乙两人分别从相距30 km的A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米，问两人几小时后相距10千米？就要讨论相遇还是没有相遇两种情况。

当然，上面归纳的这几种分类根据不是相互独立的，也不是很全面，有时这几种分类根据常常要交叉使用，尤其对一些较复杂的讨论题更是如此。

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在日常的教学中应有意识地突出分类讨论思想，自觉地重视和加强分类讨论思想的教学，这也是实施素质教育的具体表现，数学中的分类讨论教学与素质教育中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好地掌握好初中数学中的分类讨论思想。

（作者单位 青海油田昆仑石油中学）