浅谈初中数学的思想方法教学

李洁

数学思想，就是在本质上对数学知识和方法产生的认识，是一种理性认识。所谓数学方法，是把数学问题进行解决的策略，是数学思想的更深一步的体现。数学思想是思维，数学方法则是思维指导下的行动。在运用数学思想指导下的数学方法解决问题的过程中，感性认识会上升为理性认识，产生新的数学思想。若把数学理论看作一座宏伟的大厦，那么数学方法就是施工的材料和手段，而这张施工的设计图纸就是数学思想。

数学思想方法是数学教学内容的主体和精髓，数学思想方法能将数学知识转化成学生的数学能力。进行初中数学思想方法教育，为的是全面提高初中生的数学素质，加强数学思想方法的教学是增强学生的数学观念，形成良好数学素养的有效途径。《义务教育初中数学教学大纲》中明确指出：“初中数学基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”大纲把数学思想和方法视为数学基础知识，是以前教学大纲中从来没有的。新的课程标准突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教学应作为新课程改革中的必要教学要求。重视数学思想方法的教学具有非常重要的意义。

现在的初中教材中，所渗透的数学思想方法大概可以分成三种：第一种是技巧型的，有消元、换元、降次、配方等，这种方法是通过一些操作过程才能实现的。第二种是推理型的，有分类、类比、抽象、概括、完全归纳、分析、综合、演绎、特殊化方法、反证法等，这种方法需要运用逻辑思维。第三种是观察型的，包括用字母表示数、数形结合、归纳猜想、化归、数学模型等，这类方法较多地需要运用直观形象思维，对于数学的发展起着非常重要的作用。

那么如何在初中数学教学过程中渗透这些数学思想方法呢？下面我谈四点通过自己亲身的教学实践产生的看法。

一、在揭示新知识的过程中渗透数学思想方法

由于初中数学知识点比较少，把数学思想方法作为独立的一部分知识这是不现实的。教师应该在教学过程中把数学知识看作载体，在关键的时刻进行数学思想方法的渗透。教师要把握好渗透的关键时机，重视数学新内容的提出过程，知识的形成和发展过程，解决问题和规律的掌握过程，使学生在这些过程中运用数学思想方法去解决问题。不重视这些过程，一味地灌输，就会失去渗透数学思想方法的一次次重要时机。比如，在苏科版数学八年级教材中，将平方根知识转移到勾股定理之后，这样在教学过程中就比较巧妙地渗透了数形结合的思想。平方根的知识本来比较抽象和枯燥，但是这样的教材内容安排就抓住了契机。

在渗透数学思想方法的过程中，教师要认真设计教学环节、有效结合相关内容，有意识地、恰当地对数学思想方法进行渗透，千万不能生搬硬套，全盘托出，做出脱离实际等错误做法。思想方法不可以脱离知识和技能。空谈思想方法，学生感觉空洞无味，无法运用，思想方法只有通过具体的知识、技能才可呈现。苏科版数学八年级教材中，平方根和勾股定理次序的交换就是一种合理的渗透。对于勾股定理，平方根知识就变成解决问题的一种思想方法，让学生体会学以致用。

二、让学生学会在分析过程中领悟数学思想方法

在解决数学问题之前进行分析，对于领悟数学思想方法能起非常大的作用。在教学过程中要教会学生如何去分析问题，在分析问题的过程中发现新的数学思想方法，这种分析出的数学思想方法学生将终身难忘。例如，在教授使用加减消元法解二元一次方程组的过程中，可以让学生进行这样的分析：前面已经学习了代入消元法，可以向学生提问：这种方法的作用是什么？相信很多学生会回答，是消去一个未知数。那么教师可以给出一个二元一次方程组，一个方程中未知数x前的系数是3，另一个方程中未知数x前的系数是-3，提问：如何消去这个方程组中的未知数x呢？学生这时就会分析得出：因为3x和-3x互为相反数，而互为相反数之和等于零，所以只要运用等式性质将这两个方程的左右两边各自相加，就可以消去未知数x，达到消元的目的。这样分析就把消元的思想介绍得非常清楚，学生学会了分析的方法，养成了分析的习惯，便可以在分析中真正领会数学思想方法。这样的学习是真正主动的学习。

三、运用多媒体渗透形象化的数学思想方法

多媒体技术在现代课堂上的利用已经越来越广泛，现代教育技术资源的充分开发，综合利用各种有益而丰富的数学学习资源，使数学学习越来越形象化。教师应该加强熟练多媒体操作技能，学会利用各种媒体工具，发挥多媒体优势，取得最优化的教学效果，使數学思想、方法借助于知识、技能的载体更加形象化地出示在学生面前。比如，在教授《直线和圆的位置关系》以及《圆和圆的位置关系》时，运用多媒体动画的演示，能让学生直观地发现半径和圆心距的大小跟图形位置的联系。

四、在重视分层教学的原则下渗透数学思想方法

首先要在教学中鼓励学生质疑。任何探索冲动都来自疑惑问题的刺激，学会发现问题、提出问题是培养创新技能的第一步。使学生明白：有价值的问题远比解决问题更有意义的道理。因为只有发现了问题，才有可能将问题解决。而解决问题的方法首先是猜想，然后举例求证，并可从不同的角度去验证，从中获得创新成功的体验。民主和谐的教学氛围是学生敢想敢说的催化剂，学生的创新思维必然引发教师的即时思维，有的还能促进新的教学生成。我们否定“满堂灌”，必须将封闭的课堂变成开放的课堂，师生之间可以开诚布公地交换看法，大家可以在平等、民主、和谐、宽松的氛围中学习。只有这样才有可能让课堂变成师生思维暴露的场所，让学生体会到教师思维的过程，而教师的思维也会被学生的思维所激发，并作用于学生的思维。可以肯定地说：没有思维含量的师生互动是形式上的互动，是假互动。那种简单的“是”与“不是”的互动应该尽量少用。鼓励猜想、鼓励探索，注重追求思维的过程而不盲从于结论结果。

我曾做过这样一个教学实验：在补充正比例函数的教学中，先讨论了在函数y=2x中，y随着x的增大而增大；在函数y=-2x中，y随着x的增大而减小。

师：当k取何值时，y随着x的增大而增大；k取何值时，y随着x的增大而减小？

生1：当k>1时，y随着x的增大而增大。

生2：当k>0时，y随着x的增大而增大。

师：哪位同学的回答更合理，为什么？

生众：第2位同学的更合理。

师：为什么？

生：一时语塞。

师：提示在几何证明题里，若要否定一个命题，应该用什么方法？

生4：（非常积极）：举一个反例。如k=0.5，所以应该是当k>0时，y随着x的增大而增大……再得出结论：当k>0时，k越大，y随x的变化就越快；当k<0时，k越小，y随x的变化也就越快。

师：能否用一句话概括出这两层意思呢？

生5（迅速地）：当k的平方越大，y随x的变化就越快。

生6：当k的绝对值越大，y随x的变化就越快。

生7：当k≠0时，k的平方越大，y随x的变化就越快。

师：为什么k要求≠0呢？

生7：因为当k=0时，y始终为0。

师：非常棒。三位同学的回答都很好。用平方和绝对值都可以。只是平方计算稍微复杂一些，人们一般用绝对值来度量。

不会猜想与探索，就不会有实践与创新；不敢反驳，就不会有“新人辈出”。我们既要充分肯定数学思想方法在创新思维培养中的作用，又要看到猜想反驳在数学教学中的难以培养的艰巨性。

数学思想方法的形成应是一种阶梯式的，从一般到特殊，从感性到理性的上升过程。在教学的时候，要弄清楚不同的数学思想方法在不同的教学阶段的不同要求，在某一个数学知识点渗透某一种数学思想方法时要把握好尺度和分寸，分层次进行教学。数学思想方法和数学知识一样，它的教学要求可划分为三个阶段：了解、理解和掌握。“了解”只要求学生明确思想方法是什么，认識是认知的感性阶段。“理解”要求学生在这个基础上学会运用数学知识，它是认知的理性阶段。“掌握”则要求学生会合理地选用方法。比如，数形结合思想方法的渗透，在七年级讲数轴时，学生能借助数轴比较有理数的大小，八年级讲到不等式组的解法时，学生能通过数轴来找不等式组的解集。这个时候，学生已经能通过数轴的形象来解决数学问题。在七年级下学习乘法公式时，可以借助拼图来导出乘法公式，让学生初步体会数形结合思想方法的作用。到了初三学习函数的知识时，在教师的精心指导下，通过反复画图，结合函数图像求解析式，这时大多数学生都能逐步形成数形结合的数学思想方法，因为函数这部分内容很多题目求解都要求学生主动画出函数图像，主动画图解题的数形结合思想在学生解题过程中屡次出现。此时教学时不仅要求学生发现数形结合具有简化、转化和沟通的作用，还要要求他们合理地运用数形结合思想。

当然，要使学生真正地去掌握更多的数学思想方法，并不是通过几堂课，或者就单单做到上述所谈的四点就能达到，只要我们在教学中大胆实践，积极钻研，大胆创新，我们一定能更好地在教学中渗透数学思想方法。数学教学的根本目的是培养学生的数学素养，这就要求我们广大的教师在知识的传道授业解惑过程中，通过知识的传授、数学思想方法的渗透与应用来开发学生的智力，培养他们大胆创新的能力，而这正是目前所进行的创新教育所要求的。教学实践证明，加强数学思想方法的教学对于提高教学质量具有重大而深远的意义。

（作者单位 浙江师范大学 江苏省无锡市东林中学）