谈解圆锥曲线的两种方法

刘亚艳

借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.解析几何就是用坐标法研究几何图形的知识，因此说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.

平面解析几何研究的主要问题是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

（2）通过方程，研究平面曲线的性质.

对解析几何问题，要把“形”等价“翻译”转化为“数”，几何问题代数化（也就是方程化），数形结合，这是解析几何的灵魂.

一、曲线和方程

1.概念

在平面直角坐标系中，如果曲线C和二元方程f（x，y）=0有如下关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

曲线的方程是曲线的代数刻画；方程的曲线是方程的几何表示.“数”与“形”角度不同，但二者是“等价”的.

2.求曲线的方程

求曲线的方程，就是把曲线上点的运动规律用代数方程表示出来，也就是求动点M的坐标x，y之间的关系式，即方程，而不是求x，y.要知道，x，y不是要被消灭的，而恰是我们要保留的.这点尤要注意。求曲线方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点M的坐标；（例如设M（x，y））

（2）写出适合条件p的M的集合P={M│p（M）}；

（3）用坐标表示p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）整理化简方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

一般情况下，化简前后的方程解集相同，步骤（5）可以省略，特殊情况，可适当予以说明.

二、求曲线方程的基本方法

主要有两类基本方法：待定系数法和代入法.

1.待定系数法：根据已知条件，可以确定曲线类型和方程形式，只需确定方程中几个参量（系数），便可求出曲线的方程，这类问题一般用待定系数法。设出曲线的方程，列出关于参量的方程组，求出参量，代入所设方程，整理即可.

这类问题，求方程变成了求参量，因为方程“什么样”已经知道.

想一想，求直线的方程基本上都是待定系數法.

2.代入法：根据已知条件，无法判断曲线类型和方程形式，这类问题一般用代入法.常用的代入法有：（1）直接代入；（2）相关点代入；（3）消参代入.

这说明Q点的轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点.

（作者单位 吉林省松原市长岭县第三中学）