(F，α，ρ，d)－凸性下的非光滑多目标分式规划问题的对偶

姚元金

(吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000)

在(F，α，ρ，d)－凸性条件下，研究了一类非光滑多目标分式规划问题的对偶问题，给出并证明了该对偶问题的弱对偶定理，强对偶定理和严格逆对偶定理.所得结论改进和推广了相关的结果.

(F，α，ρ，d)－凸;非光滑多目标分式规划;弱对偶定理;强对偶定理;严格逆对偶定理

本文考虑如下多目标分式规划:

其中 X0⊂Rn，fi:X0→R，gi:X0→R，i=1，2，…，p 和 hj:X0→R，j=1，2，…，m，是局部 Lipschitz函数.假定对所有x∈X0，gi(x)＞0，i=1，2，…，p.并记可行集为 X={x∈X0|hj(x)≤0，j=1，2，…，m}.

对于多目标分式规划的对偶问题，已有很多文献进行了研究.文献［1］和文献［2］对具有伪不变凸的多目标分式规划问题和(F，ρ)－凸函数的多目标分式规划问题分别给出了相应的对偶定理.文献［3］对(F，ρ)－凸函数的同分母多目标分式规划问题给出了相应的对偶定理.文献［4］和文献［5］对可微的函数引入了(F ，α，ρ，d)－凸和广义 ( F ，α，ρ，d )－凸的概念，并在 ( F ，α，ρ，d )－凸和广义 ( F ，α，ρ，d)－凸性下，获得了一类多目标分式规划的对偶问题的弱对偶定理.

文献［6］建立了(MFP)的一个如下对偶模型:

其中∂f(y)为Clarke广义梯度.并对局部Lipschitz函数引入了一类非光滑广义不变凸的概念，并在此条件下，给出并证明了该对偶(D)的弱对偶定理，强对偶定理和严格逆对偶定理.

本文对文献［6］定义的非光滑广义不变凸概念进行推广，定义了一类新的(F，α，ρ，d)－凸性概念，然后在此凸性条件下给出并证明了该对偶(D)的弱对偶定理，强对偶定理和严格逆对偶定理.改进和推广了文献［6］的相应结果.

1 预备知识

设 X0⊂Rn.对 x=(x1，x2，…，xn)∈X0和 y=(y1，y2，…，yn)∈X0，约定:

定义1［7］设有实值函数f:Rn→R，若对正常数k和z的一个邻域N使得对任何x，y∈N有:|f(x)－f(y)|≤k||x－y||，则称函数 f:Rn→R 是局部 Lipschitz的，其中||·||为 Rn中的范数.对于局部Lipschitz函数f(x)，Clarke［7］曾经给出如下广义方向导数和广义梯度概念:

引理1［7］(1)∂f(x)是非空凸紧集;(2)∂(－f(x))= －∂f(x);(3)∂(f+g)(x)⊆∂f(x)+∂g(x).

定义 2［8］称函数 F:X0×X0×Rn→R 为次线性的，若对任何 x，y∈X0，有:

以下均设 X0⊂Rn，函数 F:X0×X0×Rn→R 为次线性的.

定义3 称局部 Lipschitz函数 f(x):X0→R 为在∈X0处是(F，α，ρ，d)－凸的，若存在函数 α:X0×X0→R+{0}和 d:X0×X0→R 以及 ρ∈R，使得∀x∈X0和∀ξ∈∂f(x－)，有:

为了给出对偶(D)的强对偶定理，需要先考虑如下规划(EFPk):

引理 2［6］设是(MFP)的有效解且对每个 k∈{1，2，…，p}，(EFP)的约束在处满足约束规格 B，则

2 对偶定理

定理1(弱对偶定理)设x是(MFP)的任一可行解，(y，u，v)是(D)的任一可行解，且∀x∈X0、∀i∈{1，2，…，p}、∀j∈{1，2，…，m}，若下面条件之一成立:

［1］Liu J C.Optimality and duality for multiobjective fractional programming involving nonsmooth pseudoinvex functions［J］.Optimization，1996，37:27－39.

［2］Liu J C.Optimality and duality for multiobjective fractional programming involving nonsmooth(F，ρ)convex functions［J］.Optimization，1996，36:333－346.

［3］Chen X H.Optimization and duality theorem for multiobjective fractional programming with the generalized(F，ρ)convexity［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2002，273:190－205.

［4］曾德胜，吴泽忠.(F，α，ρ，d)－凸和广义(F，α，ρ，d)－凸性下一类多目标规划问题的对偶［J］.四川师范大学学报，2006，29(1):63－66.

［5］吴泽忠.广义(F，α，ρ，d)－凸性下一类多目标规划问题的对偶［J］.经济数学，2006，23(3):320－324.

［6］姚元金.一类非凸非光滑多目标分式规划问题的对偶［J］.西南大学学报，2010，32(3):10－14.

［7］Clarke F H.Optimization and nonsmooth analysis［M］.New York:Wiley－Interscience，1983.

［8］Preta V.On efficiency and duality for multiobjective programs［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，166(2):356－377.