半鞅的极大值不等式①

冯德成， 陈彩龙， 蒋文君

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070)

0 引言

本文用 X1，X2，… 或 S1，S2，… 表示定义在固定的概率空间(Ω，F，P)上的随机变量序列，X+=max(0，－X)，I(A)表示集合A上的示性函数．

定义1 设S1，S2，…是L1随机变量序列，如果对任意的j=1，2，…都有

E{(Sj+1－ Sj)f(S1，…，Sj)}≥0 (1)其中f是任一使上述期望存在且对每个变元均非降的函数，则称{Sn，n≥1}为一个半鞅．此外，如果f是非负的，则称{Sn，n≥1}为一个半下鞅．

上述定义首先是由Newman和Wright提出来的，此后有很多学者对半(下)鞅进行了研究(如文献[1]－[9]等)．

而本文将文献[1]中关于半鞅的极大值不等式的结论进行了改进和推广，并得到了该不等式的一些应用．

1 主要结果及证明

定理1 设{Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一个不减函数，{ck，k≥1}是一正数序列，若函数g(·)满足g(0)=0，且对∀x，y∈R，有g(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，k≥1，则对∀ε ＞ 0，有

证明: 令m(·)为R上的非负不减函数，且m(0)=0，定义Sn'=max(c1g(S1)，cng(Sn))，S0'=0．由于

由Sn'的定义知，S1'＜0则m(Si')=0，而且当 Si' ＞ Si－1'有 Si'=cig(Si)，m(Si')=m(Si－1')，因此有

又因为 m(·)是 R上非负不减函数，Si'＞Si－1'，则

设

又因为(ck－ ck+1)g(Sk)≥0，k≥1，则

因为 g(·)满足g(0)=0，且对 ∀x，y∈R，有g(y)－g(x)≥(y－x)h(x)，h(Si)m(Si')是关于S1，…，Si的不减函数，由{Si，i≥ 1}是半鞅，则ciE[(g(Si)－ g(Si－1))m(Sn')]令 m(r)=I{t≥ ε}，则

三组学生网上收集“汶川地震17岁少年马健用双手救同学”的故事，谈谈勇气、坚毅、信心、意志和干劲是人的精神状态，如何理解“精神不是万能的，但没有精神是万万不能的”？

注 若令g(·)是一个凸函数，h(·)是函数g(·)的左导数函数，即

则h(·)是不减函数，且满足

g(x)－g(x)≥(y－x)h(x)

此时定理1则为文献[1]中的定理2．1．

定理2 设{Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一个不减函数，{ck，k≥1}是一正数序列，若函数g(·)满足g(0)=0，且对∀x，y∈R，有g(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，对p＞1，∀k≥1，都有E(g(Sk))p＜ ∞，则

其中

证明 由定理1，得

又因为 a≥0，b≥0，有alogb≤aloga++be+，则

由(9)得到(7)．

推论1 设{Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一个不减函数，{ck，k≥1}是一正数序列，若函数g(·)满足g(0)=0，且对∀x，y∈R，有g(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，对p＞1，∀k≥1，都有E(g(Sk))p＜ ∞，则

其中p＞1，

证明 由定理2，取ck≡1，则得(10)和(11)．

定理3 设{Sn，n≥1}是半鞅，h(·)是一个不减函数，{ck，k≥1}是一正数序列，若函数g(·)满足g(0)=0，且对∀x，y∈R，有g(y)－g(x)≥(y－x)h(x)且(ck－ck+1)g(Sk)≥0，∀k≥1，对0＜p＜1有

证明

由定理1，得

则(12)成立．

推论2 条件同定理1，则对k≥1，0＜p＜1，n≥1，有

证明 由定理3，取ck≡1，则得(13)．

本文给出了半鞅的另一种形式的Chow型不等式，推广了文献[1]的结论．在此基础上，得到了半鞅的其它极大值不等式，并进行了一些应用．

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