一种相干分布式信号二维DOA快速估计方法

王莉，罗海

1.四川农业大学信息与工程技术学院，四川雅安 625014

2.成都工业学院通信工程系，成都 611730

一种相干分布式信号二维DOA快速估计方法

王莉1，罗海2

1.四川农业大学信息与工程技术学院，四川雅安 625014

2.成都工业学院通信工程系，成都 611730

基于L型线阵，提出了一种估计相干分布源二维波达方向（DOA）的快速算法。通过对两组平移子阵的广义方向矢量做泰勒近似获得关于分布源中心DOA的两个旋转不变矩阵，利用传播算子法求解旋转不变矩阵从而估计出分布源的中心DOA。该算法避免了常规子空间算法中的谱峰搜索和对高维样本协方差矩阵做特征分解，显著降低了计算量。算法在小角度扩展情形下有优异的估计性能，且低信噪比时的估计性能优于一维交替搜索算法。此外，算法无需知道分布源的角分布形式，是一种盲估计。仿真结果验证了算法的有效性。

相干分布源；二维波达方向估计；L型线阵；旋转不变矩阵；传播算子法

1 引言

波达方向（DOA）估计是阵列信号处理中一个重要的研究方向。传统的DOA估计方法全都假定目标信号为点源，即信号的能量集中于某一离散的角度[1-2]。但在阵列成像、声源定位、对流层及电离层无线电传播和移动通信等领域中目标信号常具有空间分布特性[2]，即信号的能量在某一空间区域内连续扩散。此时基于点源假设的估计方法由于忽略了信号的分布特性其性能将严重恶化，甚至得到错误的估计结果。

对于分布信号源，一般是先给出参数化模型，然后利用最大似然[1]、DSPE[2]和DISPARE[3]等方法估计其DOA参数，这些方法均假设信号的角分布函数形式已知，且均需进行多维搜索，计算负担较重。对于二维分布源，由于有四个待估参数：中心方位角、方位角扩展、中心俯仰角和俯仰角扩展，采用类似的搜索类算法将会导致异常巨大的计算量。因此，二维分布源DOA估计的首要问题是如何有效降低算法的计算复杂度。迄今为止，针对二维相干分布源，人们已给出了一些低复杂度参数估计算法。文献[4-8]给出了几种相干分布源的二维DOA估计方法。这些方法的统一思路是把多维参数估计问题转化为低维参数估计问题处理，一定程度上降低了计算量，但仍需一维或二维搜索，计算复杂度很高。文献[9-12]虽提出了几种无需搜索的算法，但它们都需要对高维样本协方差矩阵进行特征分解，计算复杂度依然较高。

为了进一步降低算法的复杂度而获得快速的DOA估计，本文研究传播算子法[13]在分布源参数估计中的应用。利用L型线阵，本文提出了一种相干分布源二维DOA快速估计算法。该算法通过分别对x轴和y轴上平移子阵的广义方向矢量做泰勒近似获得了两个旋转不变矩阵，并构建传播算子估计这两个矩阵。最终，利用两个旋转不变矩阵的主对角元素估计出二维中心DOA参数。本文算法无需谱搜索，也不需要对高维样本协方差矩阵进行特征分解，计算复杂度很低。此外，算法无需预先知道分布源的角分布形式，对模型误差稳健。

2 数据模型

考虑图1所示的阵列结构，此阵列由x轴上的均匀线阵X和y轴上的均匀线阵Y组成。每个阵列均含M个阵元，阵元间距均为d。假设远场空间中有D个窄带相干分布源入射到阵列，其中θi和φi(i=1，2，…，D)分别表示第i个分布源的中心方位角和中心俯仰角(θi∈[-π/2，π/2]，φi∈[0，π/2])，σθi和σφi分别为θi和φi的角度扩展参数。假设各阵元上的噪声为加性高斯白噪声，并且与信号不相关。

图1 L型线阵

在t时刻，阵列X和Y的观测数据可表示为：

式中，X(t)和Y(t)是数据矢量，nX(t)和nY(t)是噪声矢量。aX(θ，φ)=[1，ejℓsinφcosθ，…，ejℓ(M-1)sinφcosθ]T和aY(θ，φ)= [1，ejℓsinφsinθ，…，ejℓ(M-1)sinφsinθ]T为点源的方向矢量，且ℓ=2πd/λ（λ为信号波长）。si(θ，φ，t)为第i个分布源的角信号密度函数。

对于相干分布源，有：

其中，si(t)是一个随机信号，它刻画了角信号密度函数的时间特征。gi(θ，φ;μi)为归一化确定性角信号分布函数，μi=(θi，σθi，φi，σφi)为对应的角度参数矢量。

定义子阵X和Y的广义方向矢量分别为：

则式（1）可重写为：

其中，BX(μ)=[bX(μ1)，bX(μ2)，…，bX(μD)]和BY(μ)= [bY(μ1)，bY(μ2)，…，bY(μD)]都是M×D维的广义方向矩阵。

如图1所示，将X分割成子阵X1和X2，则X1和X2的广义方向矢量可定义为：

同样，将Y分割成子阵Y1和Y2，可定义Y1和Y2的广义方向矢量：

3 算法描述

3.1 平移子阵间的近似旋转不变关系

首先将积分形式的广义方向矢量化为分布源二维中心波达方向的解耦形式。

以x轴上的子阵X1和X2为例，定义θ=θi+˜和φ=φi+φ˜。在小角度扩展条件下，将aX(θ，φ)的第k个元素在中心波达方向(θi，φi)处做如下一阶泰勒近似（忽略了高次项）：

将式（10）代入式（6），可得：

3.2 相干分布源二维波达方向快速估计算法

本节阐述了对阵列X上观测数据处理的方法，阵列Y上的观测数据处理与此类同。

若阵列X的广义方向矩阵BX是列满秩的，则BX中有D行是线性独立的，其他行可由这D行线性表示。假设BX的前D行线性独立，则BX可分块为：

式中，B1和B2分别为D×D维和(M-D)×D维矩阵。

定义传播算子P为从M-D维复空间CM-D到D维复空间CD的唯一线性算子，则P满足：

其中，PH表示对P求共轭转置。将PH按行划分成两个矩阵，其中第1到第M-1-D行记为P1，第2到第M-D行记为P2，则由式（20），可得：

同理，对阵列Y上的观测数据做类似处理，可以求得主对角线元素为ξyi的旋转矩阵ΦY。当只有一个分布源时，可直接由式（30）和（31）计算分布源的中心方位角和中心俯仰角。对于多个分布源的情形，可先用文献[13]中的方法完成参数配对，再估计中心DOA参数。

式中，angle(·)表示取相位运算。

从式（23）～（25）可以看出，本文算法在应用传播算子法估计分布源的DOA时用到了M-D（阵元数与信号数之差）个阵元的数据，而文献[14]中的算法只用到了D（信号数）个阵元的数据。显然，相比于文献[14]，本文算法大大减少了阵列孔径损失，因而提高了参数估计的精度。

图2 方位角估计的均方根误差随信噪比变化情况

图3 俯仰角估计的均方根误差随信噪比变化情况

3.3 计算复杂度比较

比较本文算法、文献[8]中的一维交替搜索（SOS）算法，以及文献[11]中算法的计算复杂度。本文算法的计算花费（以阵列X上的观测数据处理为例，阵列Y类同）主要集中在估计样本协方差矩阵RXX和对矩阵P2进行特征分解上。其中，估计RXX所需的计算量为O(M2N)，对P2做特征分解所需计算量为O(D3)。因此，总的计算花费约为O(2M2N+2D3)。SOS算法属于一维搜索算法，它需要构造一个谱搜索函数并完成两次搜索。在构造谱函数时，需要计算一个2M阶的样本协方差矩阵并对其做特征分解，所需的计算量为O(4M2N+8M3)，而完成一次精细的一维搜索所需的计算量至少在O(M6)以上。因此，SOS算法总的计算花费约为O(4M2N+8M3)+O(2M6)。文献[11]中算法无需搜索，它在估计俯仰角时需要计算一个2M阶的样本协方差矩阵并对其做特征分解（计算量为O(4M2N+8M3)），估计方位角时需要计算一个M阶的样本协方差矩并对其做特征分解（计算量为O(M2N+M3)），总的计算量约为O(5M2N+9M3)。显然，本文算法的计算复杂度比其他两种算法都低。

4 仿真实验与讨论

本章通过几个Monte-Carlo仿真实验验证所提算法的性能。所有实验均基于图1所示的阵列结构。其中，阵列X和Y的阵元数为M=10，阵元间距均为d=0.5λ (λ=c/(0.8×106))。

实验1假设一窄带相干分布源入射到阵列，其角分布为高斯形式，且μi=(-50°，2°，30°，2°)。快拍数为400，实验结果由500次Monte-Carlo仿真得到。图2表示方位角估计的均方根误差随信噪比变化的曲线，而图3表示俯仰角估计的均方根误差随信噪比变化的曲线。由图2和图3可知，本文算法在低信噪比时的估计精度比SOS及文献[11]中的算法更高。而且随着信噪比的增大，方位角和俯仰角估计的均方根误差越来越接近于克拉美-罗界（CRB）。

实验2分布源的角分布形式及参数矢量与实验1相同。图4表示在信噪比为10 dB的实验条件下，以不同的快拍数分别做500次Monte-Carlo仿真得到的方位角和俯仰角估计的均方根误差随快拍数变化的情况。从图4中可以看出，随着快拍数的增加，方位角和俯仰角估计的均方根误差均越来越小，即算法的性能得到改善。而且，即使在快拍数很少时（例如100），算法的估计精度仍能维持在一个较高的水平（均方根误差大约为角度扩展的十分之一），能满足工程应用的基本要求。

图4 方位角和俯仰角估计的均方根误差随快拍数变化情况

图5 方位角估计的均方根误差随方位角扩展变化情况

图6 俯仰角估计的均方根误差随俯仰角扩展变化情况

实验3分布源的角分布为高斯分布，二维中心DOA参数为(-50°，30°)。实验的信噪比为10 dB，快拍数为200，实验结果由500次Monte-Carlo仿真得到。图5表示当σφi=2°时，方位角估计的均方根误差随方位角扩展变化的曲线；图6表示当σθi=2°时，俯仰角估计的均方根误差随俯仰角扩展变化的曲线。由图5和图6可知，在小角度扩展情形下，例如在5°以内，方位角和俯仰角估计的均方根误差变化均相当小，而当它们超过5°时，两者的均方根误差都急剧上升。这说明本文算法主要适合于小角度扩展的分布源。

实验4考虑两个窄带分布源同时入射到阵列的情形。其中一个是角度服从均匀分布的相干分布（UCD）源，角度参数为μ1=(-25°，2°，60°，2°)。另一个是角度服从高斯分布的相干分布（GCD）源，角度参数为μ2= (45°，2°，20°，2°)。在快拍数为500的实验条件下，以不同的信噪比分别进行500次Monte-Carlo仿真，得到图7所示分布源二维中心DOA估计的均方根误差随信噪比变化的两条曲线。由两条曲线可知，本文算法能够有效估计多个角分布形式不同的相干分布源。

图7 二维中心DOA估计的均方根误差随信噪比变化情况

5 结束语

本文研究了相干分布源的二维波达方向估计问题。基于一种特殊的L型阵列，提出了一种相干分布源二维DOA快速估计算法。由计算复杂度分析可知，该算法避免了谱峰搜索和对高维样本协方差矩阵的特征分解运算，和传统方法相比，显著降低了计算量。仿真结果表明：在低信噪比时，本文算法的估计性能优于SOS算法。而且，算法无需知道分布源角分布形式的先验信息，是一种对模型误差稳健的算法。

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WANG Li1,LUO Hai2

1.School of Information and Engineering Technology, Sichuan Agricultural University, Ya’an, Sichuan 625014, China
2.Department of Communication Engineering, Chengdu Technological University, Chengdu 611730, China

Based on L-shaped linear array,this paper presents a fast method for the two-dimensional（2D）Direction-Of-A rrival（DOA）estimation of Coherently Distributed（CD）source.The presented method obtains two rotational invariance matrixes about the central DOAs of CD sources by one order Taylor approximation to the generalized steering vectors of two pairs of shifted subarrays.The central DOAs of 2D CD sources are estimated using a new propagator method to solve the rotational invariance matrixes.The method avoids spectrum-peak searching and the eigen decom position of the high-dimensional sample covariance matrix in classical subspace methods.As a result,the com putational cost is significantly reduced.Under small angular spread,the proposed method provides a good estimation performance and outperform s Sequential One-dimensional Searching（SOS）algorithm at low SNR.As the new method is a blind estimator,the prior information of the specific angular distribution shapes of distributed sources is not necessary.Simulation results demonstrate the effectiveness of the method.

coherently distributed sources; 2-dimensional Direction-Of-Arrival（DOA）estimation; L-shaped linear array;rotational invariance matrix; propagator method

WANG Li, LUO Hai. Fast method for 2D DOA estimation of coherently distributed signals. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：200-204.

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0315

王莉（1976—），女，讲师，主要研究方向为信号处理技术、计算机仿真技术等；罗海（1977—），男，讲师，主要研究方向为通信信号与信息处理等。E-mail：mail_wangli@163.com

2013-09-22

2014-02-10

1002-8331（2014）17-0200-05

CNKI网络优先出版：2014-03-03,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0315.htm l